云南曲靖市马龙区第一中学2026-2027学年高三上学期开学检测数学试卷

**基本信息** 2027届新高三开学考试数学试卷以函数、几何、代数为核心，通过基础题与综合题梯度设计，检测暑期复习效果，适配高三起点能力评估，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合运算、命题否定、函数最值|基础概念辨析，如第3题函数最小值考查基本不等式应用| |多项选择|3/18|不等式解集、基本不等式应用|多选项设置，如第10题结合正数条件考查最值，体现推理能力| |填空|3/15|不等式求解、函数零点|第14题函数零点问题综合导数与参数范围，检测数学思维| |解答题|5/77|集合关系、三角函数应用、立体几何、双曲线、导数综合|第17题立体几何证明与线面角计算，体现空间观念；第19题导数证明不等式，考查逻辑推理；第7题大气压强模型，渗透数学建模|

2027届新高三开学考试数学试卷 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1．【答案】B 【详解】因为，， 所以.故选：B. 2．【答案】B 【详解】已知命题：有些实数的相反数是正数，即， 则，故选：B. 3.【答案】B 【详解】选项A，时，，最小值不是4，A错； 选项B，由基本不等式知，当且仅当时等号成立，B正确； 选项CD中，当时，函数最小值为0，CD均错．故选：B． 4.【答案】B 【详解】.故选:B. 5．【答案】B 【详解】的定义域为，，因为函数在其定义域内单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为，当且仅当时，等号成立，所以，所以.故选：B 6．【答案】C 【详解】因为，所以，因为，，所以. 当且仅当，即时取等.故选：C. 7．【答案】C 【详解】由题知①，②，①②两式相比得到， 所以③， 当时，由④，②④得到， 所以⑤，由⑤④，得到，解得.故选：C. 8．【答案】A 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知，因为，而， 即，所以，综上，， 又为增函数，故，即.故选：A. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 9．【答案】ABD 【详解】对于A，由，得，解得，所以A正确， 对于B，由，解得或，所以B正确， 对于C，，因为，所以不等式的解集为，所以C错误，对于D，，因为，所以不等式的解集为，所以D正确，故选：ABD 10．【答案】AD 【详解】对于A：∵，，.∴，.当且仅当，即，，取“”，∴A正确；对于B：，由（1）知，∴.∴.∴B不正确；对于C：.∴，∴C错误；对于D：，当且仅当，即，取“”，∴D正确.故选：AD. 11．【答案】BCD 【详解】因为，且， 对于选项A，令，得到，所以或， 若，令，得到，得到，与题不合， 所以，故选项A错误，对于选项B，由选项A知，令，得到，即，又的定义域为，所以选项B正确，对于选项C，令，得到， 所以关于点中心对称，即，所以， 又由选项B知，，得到，即， 所以为奇函数，令，由，得到， 则有，所以， 即的周期为的周期函数，所以，故选项C正确， 对于D，令，得到则①， 用代替得到②， 由①+②得， 由选项C知，所以，故选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．【答案】或 【详解】因为，所以或， 即或或或，解得或，故答案为：或 13．【答案】1 【详解】因为,所以，可得，故答案为1． 14．【答案】 【详解】依题意得与只有一个交点，即两曲线相切，则只有一个解，，化简得，将其代入得，，即，. ，则，设，则，在单调递减，，的取值范围是.故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 15．（13分）【答案】(1)；(2). （2）先判断出是A的真子集，再考虑B是否为空集两种情况考虑 【详解】（1）由题意知， 因为，所以，则，解得，则实数的取值范围是； （2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以是A的真子集， 当时，解得； 当时，（等号不能同时取得），解得，综上，. 16．（15分） 【答案】（1）和；（2）. （2）根据题意求出，再利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）， 由得，， 又，取得函数单调递增区间为：和. （2）由得，∴，由余弦定理得得 ，∴，从而. 17．（15分）【详解】（1）连接，记，连接，如下图：在梯形中，易知，则，由题意可得，所以，因为平面，平面， 所以平面. （2）由题意易知两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，可得，，，设平面的法向量，则， 令，则，所以平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则. 18．（17分）【答案】(1)(2)或 （2）先设出直线方程，然后联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得到和，再根据三角形面积公式列出关于的方程，求解出的值，从而得到直线方程. 【详解】（1）由题意可得解得，故双曲线的标准方程为. （2）由题意可知直线的斜率不为0，则设直线. 联立整理得， 则， . 因为的面积为， 所以，即， 整理得，即，即， 解得，所以， 故直线的方程为或 19．（17分）【详解】（1）时，，依题意切点坐标为，，所以函数在处的切线的斜率为，故函数在处的切线方程为，即. （2）的定义域为，，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，得，时，，单调递增，时，，单调递减.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）要证恒成立，即证恒成立，令，，由（2）可知，在上单调递增，在上单调递减，所以恒成立， 即有时恒成立，当且仅当时取“=”号，亦有即恒成立，当且仅当，即时取“=”号.所以一方面，当且仅当，即时取“=”号，另一方面恒成立，当且仅当时取“=”号， 所以恒成立，原不等式得证. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届新高三开学考试数学试卷 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知命题p：有些实数的相反数是正数，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．下列函数最小值为4的是（    ） A． B． C． D．y=(x+4) 4.设则的值为（    ） A．9 B．11 C．28 D．14 5．若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．设，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．3 7．大气压强（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，为常数.已知海拔为两地的大气压强分别为54kpa,36kpa.若测得某地的大气压强为80，则该地的海拔约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 8．已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 9．下列不等式的解集不是的是（ ） A． B． C． D． 10．已知正数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 11．已知函数均为定义在上的非常值函数，且为的导函数.对且，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．不等式的解集是 ． 13．已知,则 ． 14．已知函数有且只有一个零点，则ab的取值范围是 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 15．（13分）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16．（15分）已知函数，. （1）求函数单调递增区间； （2）在中，，，的对边分别为，，，角满足，，，求的值. 17．（15分）如图，已知四棱锥，底面，，，，，E为棱上靠近点P的三等分点． (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 18．已知双曲线的离心率为分别是双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线交于两点，当直线垂直于轴时，. (1)求双曲线的标准方程； (2)若的面积为，求直线的方程. 19．（17分）已知函数． (1)时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)证明不等式恒成立． 学科网（北京）股份有限公司 $