精品解析：湖北襄阳市第一中学2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试卷

2027届高三年级上学期数学9月阶段检测A+ 试卷满分150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，向量，向量在向量方向上的投影向量的模为（ ） A. B. C. 3 D. 4. 从1，2，3，4，5，6，7，8中任取三个数字，则至少有两个数是连续数字的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知命题：“”，命题：“”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知球的表面积为，圆台的上、下底面半径之比为，球与圆台的两个底面及侧面都相切，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知线段AB是圆O：的一条动弦，且若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A. 6 B. 8 C. 14 D. 35 8. 函数有两个极值点，满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点在第二象限 D. 是纯虚数 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 二面角的正切值为 C. 异面直线与EF所成角的余弦值为 D. 点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍 11. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. C. D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数，，且，则的最小值是__________． 13. 若函数的最小值为，则实数的取值范围为_____． 14. 圆锥曲线具有奇妙的光学性质，例如：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点．某校科创小组设计了一个基于圆锥曲线光学性质的激光演示装置（如图所示）：由共焦点的椭圆和双曲线构成，其中与的离心率之比为．一束激光从焦点发出，依次经与反射后返回，历时秒；若将装置中的去掉，激光从发出经两次反射后返回，历时秒．则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 四棱锥中，底面为等腰梯形，平面，，．求： （1）直线与面所成的角； （2）平面与平面所成锐二面角的正切值． 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求角B； （2）若，，求c； （3）若，，D是AC的中点，求BD的长. 17. 2026年7月17日至20日，世界人工智能大会在上海举办，主题为“智能伙伴共创未来”，聚焦人工智能全球治理与产业应用，习近平主席出席开幕式并发表主旨讲话．某校组织学生参加知识网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各调查了100人．设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，． （1）根据已知调查样本完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 （2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为．若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完．已知甲同学报名参加答题活动，用表示甲同学本次答题的题目数量，求的分布列和期望． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 椭圆的离心率，椭圆经过点，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求面积取最大值时的直线方程； （3）若点是线段的中点，问是否存在轴上一定点，对于任意的都有，若存在求出点坐标，若不存在请说明理由． 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，，求实数的取值范围； （3）若，且存在，，使得，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三年级上学期数学9月阶段检测A+ 试卷满分150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】联立方程组，解得或， 则交点为，得到. 2. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用方程组法求解出的解析式. 【详解】因为，所以， 两式联立可得， 故选：D. 3. 已知向量，向量，向量在向量方向上的投影向量的模为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，且， 所以在方向上的投影向量为， 故该投影向量的模为. 4. 从1，2，3，4，5，6，7，8中任取三个数字，则至少有两个数是连续数字的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先算出取3个数有几种取法，再计算没有连续的数字的取法有几种，最后拿1减去没有连续的数字的取法的概率得出结果. 【详解】取3个数字有种取法，没有连续的数字的取法 ， ， 一共20种，故至少有两个数是连续数字的概率为. 5. 已知命题：“”，命题：“”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据已知命题的真假求出相应参数的取值范围，即可求得答案. 【详解】由题意知命题：“”为全称量词命题，是真命题， 故，可得； 结合题意知命题：“”为假命题， 则，即无实数解， 则，解得， 综合上述a需满足， 可知实数的取值范围是， 故选：A 6. 如图，已知球的表面积为，圆台的上、下底面半径之比为，球与圆台的两个底面及侧面都相切，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过球的表面积公式求出球的半径，再根据圆台上下底面半径比设未知数，结合相切性质求圆台半径与母线长，最后根据圆台侧面积公式计算出结果. 【详解】设球的半径为，由球的表面积公式， 解得，即，设圆台的上底面半径为， 依题意，下底面半径为，圆台的高， 则母线长， 又因为球与圆台的两个底面及侧面都相切， 所以母线长，即得，解得， 则圆台的上下底面半径分别为1和3，母线长, 故圆台侧面积为：. 7. 已知线段AB是圆O：的一条动弦，且若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A. 6 B. 8 C. 14 D. 35 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆的性质求出弦中点的轨迹，再根据向量运算得到，最后结合点到直线的距离公式求出最小值. 【详解】设的中点为，根据圆的性质可得，如图所示. 则， 所以，点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，其方程为. 因为,所以，. 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径2， 因为，所以. 8. 函数有两个极值点，满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的极值点得到，令，则，进而得到；构造函数，，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】求导得. 由题意知，即，即，两式相除得. 设，则，因为，所以. 所以，即，两边取对数得，则， 所以，. 令，，则. 令，，则. 令，，则， 所以在上单调递增，则， 即时，，所以在上单调递增，则， 即时，，所以在上单调递增. 当时，；当时，， 所以当时，，即的取值范围为. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点在第二象限 D. 是纯虚数 【答案】ABD 【解析】 【详解】A选项，，A正确； B选项，，B正确； C选项，， 故在复平面内对应的点坐标为，在第一象限，C错误； D选项，， 为纯虚数，D正确. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 二面角的正切值为 C. 异面直线与EF所成角的余弦值为 D. 点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍 【答案】BCD 【解析】 【分析】由平行得到异面直线的夹角，判断AC选项，由二面角的平面角的定义求出平面角，即可判断B选项，由等体积转化法求得三棱锥和的体积的倍数关系即可判断D选项. 【详解】在正方体中，，所以为异面直线与的所成的角， 显然，所以不垂直，A选项错误； 在正方体中，平面，过点作直线于点， 则为二面角的平面角，， 因为，所以， 所以，B选项正确； 取中点，连接，因为分别为正方形四边中点， 所以且，所以为异面直线与EF所成的角（或其补角）， 所以，C选项正确； ，， 所以，即， 所以点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍，D选项正确. 11. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. C. D. 在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法及偶函数的定义判断ABC，根据单调性的定义判断D. 【详解】令，，， 再令，得（1）， 即，所以，故B正确； 令，得， 由（1）得，，故A正确； 令，，，，， 即，故C不正确； 设，则，则由B，C的分析及题意可得 即，在上单调递减，又是偶函数， 在上单调递增，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件等式，合理给变量赋值以及赋变量，化抽象为具体函数，再判断奇偶性和单调性. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数，，且，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得：， 当时，即时，等号成立. 13. 若函数的最小值为，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，由二次函数单调性以及基本不等式求得两部分取得最小值的表达式，解不等式即可得出结果. 【详解】当 时，关于对称， 若最小值为，可知，即可得； 又当 时，，当且仅当 时等号成立； 若最小值为，可得， 即，解得： 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为： 14. 圆锥曲线具有奇妙的光学性质，例如：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点．某校科创小组设计了一个基于圆锥曲线光学性质的激光演示装置（如图所示）：由共焦点的椭圆和双曲线构成，其中与的离心率之比为．一束激光从焦点发出，依次经与反射后返回，历时秒；若将装置中的去掉，激光从发出经两次反射后返回，历时秒．则______． 【答案】8 【解析】 【分析】由椭圆定义、双曲线定义结合离心率公式即可得解. 【详解】由椭圆定义得①，②， ①﹣②得，， 即的周长为， 将装置中的去掉，激光从发出经两次反射后返回， 不妨设，激光从发出后经C处反射后经过，再由D处反射后返回，如图， 由椭圆定义知的周长为， 一束激光从焦点发出，依次经与反射后返回， 经过的路程为的周长为， 将装置中的去掉，激光从发出经两次反射后返回，经过的路程为的周长为， 因为光线的速度相同，且双曲线与椭圆共焦点， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 四棱锥中，底面为等腰梯形，平面，，．求： （1）直线与面所成的角； （2）平面与平面所成锐二面角的正切值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过求解直线的方向向量与平面的法向量，利用向量夹角公式求出它们的余弦值，从而得到线面角的正弦值及所成角. （2）分别求出平面与平面的法向量，计算这两个法向量夹角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系将其转化为锐二面角的正切值. 【小问1详解】 作于点， 因为平面，且平面，所以， 可以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如下： 由题意得， 因为且，在面内，与轴正方向夹角为， 投影到轴的长度为，投影到轴的长度为， 即，因为且，所以，则， ，取作为的方向向量， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设直线与平面所成的角为， 则， 由于，解得. 【小问2详解】 设平面的法向量为，由上知， 则，故可取， 设平面的法向量为，由上知， 则故可取， 设所求锐二面角为， 则， 进而，则. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求角B； （2）若，，求c； （3）若，，D是AC的中点，求BD的长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，结合三角恒等变换化简，由求得，进而得到. （2）由求，再通过正弦定理直接计算. （3）由是的中点可得，然后两边平方化简可求出的长度. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 所以， 即. 因为，所以. 故. 由于，所以. 又，所以. 【小问2详解】 由，得. 由正弦定理，得 . 【小问3详解】 ，，， 因为是的中点，所以， 所以 ， 所以，即. 17. 2026年7月17日至20日，世界人工智能大会在上海举办，主题为“智能伙伴共创未来”，聚焦人工智能全球治理与产业应用，习近平主席出席开幕式并发表主旨讲话．某校组织学生参加知识网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各调查了100人．设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，． （1）根据已知调查样本完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 （2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为．若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完．已知甲同学报名参加答题活动，用表示甲同学本次答题的题目数量，求的分布列和期望． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 认为学生报名参加答题活动与性别有关联. （2） 1 2 3 4 . 【解析】 【分析】（1）根据题意完成列联表中的数据，再计算出的值判断即可； （2）列举的所有可能取值，结合独立事件的概率特征求出对应的概率，从而可得出的分布列和数学期望. 【小问1详解】 ，所以不愿意报名参加答题活动人数为，愿意报名参加答题活动人数为， 又，所以愿意报名参加答题活动的男生人数为，愿意报名参加答题活动的女生人数为， 则可得到列联表为： 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 零假设：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为学生报名参加答题活动与性别有关联. 【小问2详解】 的所有可能取值为：， ，，，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 故． 18. 椭圆的离心率，椭圆经过点，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求面积取最大值时的直线方程； （3）若点是线段的中点，问是否存在轴上一定点，对于任意的都有，若存在求出点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1） （2）（或、） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率及过定点条件，结合联立求解参数，即可得椭圆标准方程. （2）设出直线的方程，联立椭圆方程求得点纵坐标，结合三角形面积公式表达的面积，利用基本不等式求最值及对应斜率，即可得直线方程. （3）先求出点及中点的坐标，假设存在定点，根据垂直关系斜率乘积为列式求解，验证结果与无关即可. 【小问1详解】 ∵ 椭圆离心率，∴ . 又，∴ ，椭圆方程可化为. 将点代入得，化简得， ∴ ，，. ∴ 椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意得左顶点，设直线的方程为. 联立，消去整理得. 已知是方程的一个根，设，由韦达定理得， ∴， 代入直线方程得. 的面积，其中， ∴. ∵，由基本不等式得， 当且仅当时，即时等号成立. ∴，即面积最大值为，此时， 直线的方程为. 【小问3详解】 在中令，得，∴. ∵是线段的中点，∴，， ∴直线的斜率. 假设轴上存在定点满足题意，则直线的斜率. ∵，∴，即，解得. 该结果与的取值无关，对任意均成立. ∴存在定点满足题意. 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，，求实数的取值范围； （3）若，且存在，，使得，证明：． 【答案】（1） （2） （3）若，则，， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，， 则，不妨设，则， 由，则， 两边同取对数，可得， 故，令，则， 即，，故， 要证，只需证，即只需证， 令， 则， 故在上单调递增，则， 即有恒成立，即得证． 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义直接求解即可； （2）由题意在上恒成立，参变分离后，构造函数求导后计算最小值即可求解； （3）利用导数求出单调性后，设，结合正负性可得、范围，再利用比值换元法，可得，，即可将证明转化为证明在上恒成立，构造相应函数并借助导数研究其单调性即可求解． 【小问1详解】 若，则， ，， 又，故曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 由时，，即，整理得， 令，，则， 故在上单调递减，则，即； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $