云南省昆明市第一中学等校2027届高三上学期新高考自主命题冲刺金卷（一）数学试题

云南省新高考自主命题冲刺金卷（一） 数学参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C B D B C A D AD ACD ABD 三、填空题 12． 13． 14． 四、解答题 15．解：(1)由频率分布直方图可知，上四分位数位于内，设其为x， 则，解， 所以估计年龄样本数据的上四分位数为45． 5分 （2）被调查的居民年龄在，比例为，按照分层随机抽样，应抽取人，应抽取人， 设随机抽取的3名居民中年龄在的人数为X，X的可能取值为0，1，2． ；；． 所以，随机变量X的分布列如下表所示： X 0 1 2 P 所以数学期望为． 13分 16．解：（1）中，由正弦定理得， 即， 则，又，， 又，由正弦定理得，，所以， 由余弦定理得，即A为钝角， 所以为钝角三角形． 8分 （2）中，因为，所以， 由，得，所以．则， 所以，所以的周长为9． 15分 17．解：（1）因为，M是的中点，所以， 取的中点E，，且，，所以四边形是矩形，所以，因此是正三角形，而M是的中点，所以， 又，所以平面，所以． 6分 （2）因为，所以，，．如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量， 则，即，令，则， 所以为平面的一个法向量． 设平面的法向量， 则，即，令，则，， 故为平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 15分 18．解：（1）因为，所以，所以， 3分 （2）（）， 若，则，在内单调递增， 若，当时，，所以在内单调递减， 当时，，所以在内单调递增． 8分 （3）证明：当时，，设， 则（），设（），，则在内单调递增，因为，， 所以存在，使得，即， 当时，，在内单调递减， 当时，，在内单调递增， 所以，而在单调递减， 所以， 所以． 17分 19．解：（1）当P位于上下顶点时，取得最大值， 所以解得，所以椭圆E的方程为． 4分 （2）作关于l的对称点N，则M为的中点，，由椭圆的光学性质可得，P，N共线，则，连接，由于O，M分别为，的中点，则，所以M点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，轨迹方程为．9分 （3）由题意，，设，，由题意与不重合， 设，联立可得， 由于过圆内定点，所以一定有两个交点，则， 则直线AC：，直线BD：， 则， 由韦达定理可得，所以 ， 解得，所以直线，的交点在定直线上． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 【考试时间：9月8日 14:30-16:30】 云南省新高考自主命题冲刺金卷（一） 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数，则复数z在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为 A． B．2 C．3 D．4 4．若向量，满足：，，则 A．4 B．2 C． D． 5．甲、乙等5人排成一列，要求甲在乙的前面，且甲、乙不相邻，则不同的排法有 A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 6．若，则 A． B． C．1 D．2 7．已知正三棱台，，侧棱，则正三棱台的体积为 A． B． C． D． 8．已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点，圆C：，则下列结论正确的是 A．过点P的直线与圆C都相交 B．点P与圆C上的点之间距离的最大值为5 C．若圆C关于过点P的直线l对称，则直线l的斜率为 D．若过点P的直线l截圆C的弦长最小，则l的方程为 10．已知数列的前n项和为，，，则下列结论正确的有 A． B．数列是等差数列 C． D． 11．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：（）的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于A，B两点，连接并延长与准线l交于点P，与y轴交于点Q，准线l与x轴交于点G，则 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列的前n项和，则__________． 13．在三棱锥中，平面，，，，，若S，A，B，C均在球O的表面上，则球O的表面积为__________． 14．已知函数（），若有两个零点，则a的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某市场调研小组为了解某款手机软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该软件的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的上四分位数； （2）为了解年龄在的居民的使用情况，按比例分层随机抽样的方式从，年龄段中随机共抽取6名参加调研会．若从选定的这6名居民中随机再抽取3名，记3人中在年龄段的人数为X，求X的分布列及数学期望． 16．（15分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）证明：为钝角三角形； （2）若的面积为，求的周长． 17．（15分）如图，在四棱锥中，，，平面平面，，M，N分别是，的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 18．（17分）已知函数（）． （1）若函数在处的切线与直线平行，求a的值； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，证明：． 19．（17分）已知椭圆E：（）的左、右焦点分别为，，P为椭圆上一点，椭圆的短轴长为2，的最大值为． （1）求椭圆E的方程； （2）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发向点P的光线，经过椭圆上的点P处的椭圆切线反射，反射光线必然经过椭圆的另一个焦点．设过P点的椭圆E的切线为直线l，过作l的垂线交l于M，求M点的轨迹方程； （3）M点的轨迹交x轴于A，B（A在B左侧）两点，过点作直线交于C，D两点，证明：直线，的交点在一条定直线上． 学科网（北京）股份有限公司 $