第2章 培优课2 嵌套函数的零点问题-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版 基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“嵌套函数零点问题”核心考点，依据高考评价体系明确求零点个数、已知零点个数求参数范围两大考查要求。通过梳理近五年真题，归纳出“解套换元”“数形结合”等高频解题方法，构建了从外层函数到内层函数的完整分析框架，体现备考的针对性与实用性。 课件亮点在于“真题案例+方法提炼+素养培养”的复习模式，如例1通过换元转化为外层函数零点与内层函数交点问题，培养学生的抽象能力与几何直观。方法总结中“内外层分步分析”策略，帮助学生掌握参数范围确定的推理逻辑，提升数学思维。配套题型训练覆盖高考常见陷阱，教师可借此精准指导，助力学生高效突破函数难点。

培优课2　嵌套函数的零点问题 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 培优　课堂练习 内容索引 2 形如y=f(f(x))或y=f(g(x))的函数称为嵌套函数,嵌套函数零点涉及内外两层函数零点,解决此类问题的方法一般为“解套换元”. 类型一　求嵌套函数的零点或零点的个数 [例1]　已知函数f(x)=则方程f(f(x))=k的实数解的个数至多是(　　) A.5个　　　　　　　　　　 B.6个 C.7个 D.8个 B [解析]　设t=f(x),则f(f(x))=k化为f(t)=k. 又f(x)= 所以f(0)=-3=f(-2)=f(),f(-1)=-4=f(), 作出函数f(x)的大致图象,如图所示, 由图可得,当k>-3时,f(t)=k有两个根t1<-2,t2>, 即t=f(x)<-2或t=f(x)>,此时方程f(f(x))=k最多有5个根; 当-4<k≤-3时,f(t)=k有三个根-2≤t3<-1,-1<t4≤0,<t5≤, 即-2≤t=f(x)<-1或-1<t=f(x)≤0或<t=f(x)≤, 此时方程f(f(x))=k最多有6个根; 当k=-4时,f(t)=k有两个根t6=-1,t7=,即f(x)=-1或f(x)=, 此时方程f(f(x))=k有4个根; 当k<-4时,f(t)=k有一个根0<t8<,即0<f(x)<, 此时方程f(f(x))=k有2个根. 综上,方程f(f(x))=k的实数解至多是6个. 对于嵌套函数y=f(g(x))的零点个数问题,求解思路如下: 1.确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u). 2.确定外层函数y=f(u)的零点u=ui(i=1,2,3,…,n). 3.确定直线u=ui(i=1,2,3,…,n)与内层函数u=g(x)图象的交点个数分别为a1,a2,a3,…,an,则函数y=f(g(x))的零点个数为a1+a2+a3+…+an. 方法总结 跟踪训练 1.设定义域为R的函数f(x)=则关于x的函数y=f2(x)-3f(x)+2的零点的个数为(　　) A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 C 解析:方程f2(x)-3f(x)+2=0的解为f(x)=1或f(x)=2,作出y=f(x)的图象,由图象可知零点的个数为6个. 类型二　已知嵌套函数零点的个数求参数范围 [例2]　已知函数f(x)=若函数g(x)=f2(x)-(m+2)|f(x)|+ 2m有7个不同的零点,则实数m的取值范围为(　　) A.(1,2]∪[3,4) B.(1,2]∪(3,4) C.(2,3)∪(4,+∞) D.(4,+∞) D [解析]　令|f(x)|=t,由函数g(x)=f2(x)-(m+2)|f(x)|+2m有7个不同的零点可知方程t2-(m+2)t+2m=(t-2)(t-m)=0有两个不相等的实数根t1,t2, 且t1,t2对应的x的取值共有7个. 作出|f(x)|的图象如图所示. 显然t1=|f(x)|=2,即|f(x)|的图象与y=t1的图象有4个交点,对应的x的取值共有 4个, 因此|f(x)|=t2对应的x的取值共有3个,即|f(x)|的图象与y=t2的图象有3个交点, 由图可知,当m>4时满足题意. 1.对于形如y=af2(x)+bf(x)+c(a≠0)的嵌套函数范围问题,通常是换元解套,将问题转化为一元二次方程实数根分布问题,然后结合图象开口方向、端点、对称轴、判别式等建立不等式或不等式组求解.利用数形结合解题时,其关键点、关键线至关重要,若关注不够,易导致错误. 2.对于形如f(g(x))-a=0的方程问题,通常是换元解套,令g(x)=t,则f(t)=a,作出图象,结合图象特征,进行分析、求解.注意a与t,t与x的对应关系,注意让参数动起来. 方法总结 跟踪训练 2.已知函数f(x)=若函数y=f(f(x)-a)有3个零点,则实数a的取值范围为　 　　　.  6<a≤10或a=1 解析:当x≤0时,由f(x)=0得x2+6x+5=0,解得x=-5或x=-1, 当x>0时,由f(x)=0得=0,解得x=0(舍), 作出f(x)的图象,如图, 由y=f(f(x)-a)=0得f(x)-a=-5或f(x)-a=-1, 即f(x)=a-5或f(x)=a-1. 当a-5<-4,即a<1时,f(x)=a-5无实根,此时a-1<0,f(x)=a-1最多有两个实根,与题意不符; 当a-5=-4,即a=1时,f(x)=a-5有一个实根,f(x)=a-1有两个实根,符合题意; 当-4<a-5≤0,即1<a≤5时,f(x)=a-5有两个实根, 此时0<a-1≤4,f(x)=a-1至少有两个实根,不符合题意; 当0<a-5<1,即5<a<6时,f(x)=a-5有三个实根,f(x)= a-1有两个实根,不符合题意; 当a-5=1,即a=6时,f(x)=a-5有两个实根,f(x)=a-1有两个实根,不符合题意; 当1<a-5<5,即6<a<10时,f(x)=a-5有两个实根,此时5<a-1<9,f(x)=a-1有一个实根,符合题意; 当a-5=5,即a=10时,f(x)=a-5有两个实根,f(x)=a-1有一个实根,符合题意; 当a-5>5,即a>10时,f(x)=a-5有一个实根,f(x)=a-1有一个实根,不符合题意. 综上所述,y=f(f(x)-a)有3个零点时,6<a≤10或a=1. 培优　课堂练习 1.已知f(x)=则方程f(f(x))=2的实数根的个数是(　　) A.5个　　　　　　　　　 B.6个 C.7个 D.8个 C 解析:当f(x)≤1时,f(f(x))==2,解得f(x)=1,∴=1或|log2(x-1)|=1, ∴x-1=或x-1=2,故x=或x=3. 若f(x)>1,则f(f(x))=|log2[f(x)-1]|=2,∴f(x)-1=或f(x)-1=4,∴f(x)=或f(x)=5, 若f(x)=,则=或|log2(x-1)|=,则x=-1或x=1+或x=1+; 若f(x)=5,则=5或|log2(x-1)|=5, 则x=3(舍去)或x=1+2-5或x=1+25. 综上所述,方程f(f(x))=2的实数根的个数是7. 2.已知函数f(x)=则函数g(x)=f(f(x)-1)-2的零点个数为(　　) A.5个　　　B.6个　　　 C.7个　　　D.8个 A 解析:求函数g(x)=f(f(x)-1)-2的零点个数,即求方程f(f(x)-1)=2的不同实数根的个数, 如图,作出函数y=f(x)的大致图象, 令t=f(x)-1,则f(t)=2,解得t1=-2,t2=0,t3=log35. 当t1=-2时,f(x)-1=-2,则f(x)=-1,此时方程无解; 当t2=0时,f(x)-1=0,则f(x)=1,此时方程有3个不同实数根; 当t3=log35时,f(x)-1=log35,则f(x)=1+log35,此时方程有2个不同实数根. 综上可知,函数g(x)=f(f(x)-1)-2的零点个数为5. 3.已知函数f(x)=若函数g(x)=[f(x)]2-2(m+1)·f(x)+4m恰有5个零点,则实数m的取值范围是(　　) A.(0,1] B.(0,] C.(0,) D.(0,1) B 解析:令g(x)=0,则[f(x)-2m][f(x)-2]=0, 故f(x)=2m或f(x)=2, 令f(x)=2,则故x=或x=9,故f(x)=2m有3个不同的解, 故,9,故m≠1,且0<2m≤1,解得0<m≤. 4.设实数m≠0,已知函数f(x)=若函数F(x)=2[f(x)]2 -mf(x)有7个零点,则m的取值范围是　　　　.  (0,2) 解析:作出函数f(x)的大致图象,如图所示. 由F(x)=f(x)[2f(x)-m]=0,得f(x)=0或2f(x)-m=0. 当f(x)=0时,f(x)有3个零点, 要使函数F(x)=2[f(x)]2-mf(x)有7个零点,则使2f(x)-m=0有4个零点, 即当2f(x)-m=0,即f(x)=(m≠0)时,曲线y=f(x)与直线y=有4个交点, 结合图象可得0<<1,解得0<m<2,即m的取值范围为(0,2). $