26.2.2 第2课时 二次函数y=a（x-h)²的图象和性质 （教案+同步练习） 2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.2.2 第2课时 二次函数y＝a（x-h）²的图象和性质（详解版） —— 夯实基础 —— 1．在平面直角坐标系中，二次函数y＝2（x﹣2）2的图象可能是（　　） A．B． C．D． 【解答】解：二次函数y＝2（x﹣1）2的图象开口向上，顶点坐标为（2，0），它的顶点坐标在x轴的正半轴上， 故选：D． 2．抛物线y＝﹣5（x﹣4）2与抛物线y＝4x2的相同点是（　　） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．抛物线形状相同 D．顶点都在x轴上 【解答】解：∵抛物线y＝﹣5（x﹣4）2的开口向下，对称轴为直线x＝4，顶点是（4，0），抛物线y＝4x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点为（0，0）， ∴抛物线y＝﹣5（x﹣4）2与抛物线y＝4x2的相同点是顶点都在x轴上． 故选：D． 3．已知二次函数y＝﹣2（x+b）2，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，当x＞﹣3时，y随x的增大而减小，则当x＝1时，y的值为（　　） A．﹣12 B．12 C．32 D．﹣32 【解答】解：∵y＝﹣2（x+b）2， ∴其对称轴方程为x＝﹣b， 又当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，当x＞﹣3时，y随x的增大而减小， ∴其对称轴为x＝﹣3， ∴﹣b＝﹣3，解得b＝3， ∴二次函数为y＝﹣2（x+3）2， 把x＝1代入得，y＝﹣2（1+3）2＝﹣32； 故选：D． 4．若将抛物线y＝﹣3（x﹣3）2的顶点平移到原点，则下列平移方法正确的是（　　） A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度 C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度 【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣3）2的顶点坐标为（3，0），原点坐标为（0，0）， ∴将（3，0）左平移3个单位得到（0，0）， 故平移过程为：向左平移3个单位长度． 故选：C． 5．二次函数y＝a（x﹣h）2的图象如图所示，若A（﹣2，y1），B（﹣4，y2）是该图象上的两点，则y1　＝　 y2．（填“＞”“＜”或“＝”） 【解答】解：由图象知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣3， 又点A（﹣2，y1），B（﹣4，y2）关于直线x＝﹣3对称， ∴y1＝y2， 故答案为：＝． 6．将抛物线y＝（x+m）2向右平移3个单位后，对称轴是y轴，那么m的值是 　3　 ． 【解答】解：将抛物线y＝（x+m）2向右平移3个单位后，得到y＝（x+m﹣3）2， ∵对称轴是y轴， ∴m﹣3＝0， ∴m＝3， 故答案为：3． 7．顶点坐标是（﹣1，0），且开口方向和形状与抛物线y＝﹣3x2相同的抛物线的解析式是y＝﹣3（x+1）2 ． 【解答】解：根据抛物线的开口方向和形状与a值有关可知： 抛物线的顶点坐标（﹣1，0），开口方向和形状与抛物线y＝﹣3x2相同， ∴这个二次函数的解析式为y＝﹣3（x+1）2． 故答案为：y＝﹣3（x+1）2． 8．在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y＝x2，y＝（x﹣1）2和y＝（x+1）2的图象，并根据图象解答下列问题： （1）二次函数y＝（x﹣1）2的图象的顶点坐标是 　（1，0）　 ，对称轴是 　直线x＝1　 ； （2）对于二次函数y＝（x+1）2，当x　＜﹣1　 时，y随x的增大而减小；当x　＞﹣1　 时，y随x的增大而增大； （3）抛物线y＝（x﹣1）2和y＝（x+1）2可以看作是将抛物线y＝x2作怎样的平移得到的？ 【解答】解：二次函数y＝x2、y＝（x﹣1）2、y＝（x+1）2的图象如图所示： （1）二次函数y＝（x﹣1）2的图象的顶点坐标是（1，0），对称轴是直线x＝1； 故答案为：（1，0），直线x＝1； （2）对于二次函数y＝（x+1）2，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；当x＞﹣1时，y随x的增大而增大； 故答案为：＜﹣1，＞﹣1； —— 能力提升 —— 9．若抛物线向右平移m个单位长度后经过点（3，3），则m＝（　　） A．﹣2 B．﹣2或4 C．2或4 D．2或﹣4 【解答】解：设把抛物线向右平移m个单位长度后得到， ∵经过点（3，3）， ∴， 解得：m＝﹣2或m＝4． 故选：B． 10．已知二次函数y＝（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，其对应的函数值y的最小值为1，则h的值为（　　） A．2或4 B．0或4 C．2或3 D．0或3 【解答】解：函数的对称轴为：x＝h， ①当h≥3时， x＝3时，y取得最小值，即（3﹣h）2＝1， 解得：h＝2或4（舍去2）， 故h＝4； ②当h≤1时， x＝1时，y取得最小值，即（1﹣h）2＝1， 解得：h＝0或2（舍去2）， 故h＝0； ③当1＜h＜3时， x＝h取得最小值，最小值为0，不符合题意，舍去，故此结论不成立； 综上，h＝0或4， 故选：B． 11.设函数，，直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，c1），B（1，c2），得（　　） A．若1＜a1＜a2，则c1＜c2 B．若a1＜1＜a2，则c1＜c2 C．若a1＜a2＜1，则c1＜c2 D．若a1＜a2＜1，则c2＜c1 【解答】解：由题意可得： A．若1＜a1＜a2，如图所示， 则c1＞c2 B．若a1＜1＜a2，如图所示， 则c1＞c2， 故B选项不合题意， C．若a1＜a2＜1，如图所示， ∴c1＜c2，故C选项正确，D选项不正确； 故选：C． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A，B两点．若AB＝3，则点M到直线l的距离为 　　 ． 【解答】解：∵y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M， ∴M（h，0），对称轴为x＝h， ∵抛物线与平行于x轴的直线l交于A，B两点， ∴A，B两点的纵坐标相同，设为a， 则a＝（x﹣h）2时，x﹣h＝±， 解得：x＝h±， ∴点A的横坐标是（h），点B的横坐标是（h）， ∵AB＝3， ∴（h）﹣（h）＝3， 解得：a； 故答案为：． 13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝（x+h）2的顶点为B（2，0），与y轴交于点A，过点A作AC⊥y轴，交该抛物线于点C，连接BC，以AC，BC为边作▱ACBD． （1）求该抛物线的表达式； （2）求点D的坐标． 解：（1）∵抛物线y＝（x+h）2的顶点为B（2，0）， ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2； （2）当x＝0时，y＝（x﹣2）2＝4， ∴A（0，4）， ∵顶点为B（2，0）， ∴对称轴为直线x＝2， ∵AC⊥y轴，交该抛物线于点C， ∴A、C关于直线x＝2对称， ∴C（4，4）， ∴AC＝4， ∵▱ACBD中，BD＝AC＝4，B（2，0）， ∴D（﹣2，0）． —— 思维拓展 —— 14．已知二次函数y＝a（x﹣h）2（a＞0）过点A（0，1），B（1，1）． （1）求二次函数解析式； （2）已知M（x1，m），N（x2，m）在二次函数图象上不同的两个点． （i）若m＜1，求证：|x1﹣x2|＜1； （ii）存在实数t≠0，使得，求t的取值范围． （1）解：二次函数y＝a（x﹣h）2（a＞0）过点A（0，1），B（1，1）， ∵A（0，1），B（1，1）关于直线x对称， ∴h， 则y＝a（x）2（a＞0）代入点A（0，1）得到1a， ∴a＝4， ∴二次函数解析式为y＝4（x）2； （2）解：∵， 由题意知x1+x2＝1，x1x2， ∵4x21﹣4x1+1﹣m＝0， ∴x21﹣x1， ∵M、N不重合， ∴m≠1， ∴m＞0且m≠1， ∴23， ∵， ∴3＝tm， 整理得tm2+（3﹣t）m+1＝0， 则Δ＝（3﹣t）2﹣4t≥0，即（t﹣9）（t﹣1）≥0， ∴t≥9或t≤1且t≠0， ∵m＞0且m≠1， ∴0，0， ∴t＞3或t＜0， ∴t≥9或t＜0． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质 ▶ 【1分钟知识回顾】 已知二次函数y＝4x2＋3. (1)图象的开口向__上__，对称轴是__y轴__，顶点坐标是__(0，3)__； (2)在对称轴的左侧，y随x的增大而__减小__，在对称轴的右侧，y随x的增大而__增大__； (3)可以看作由抛物线y＝4x2向__上__平移__3__个单位长度得到. ★ 【教学目标】 课题 26.2.2　第2课时　二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质 授课人 素养目标 1.会用描点法画二次函数y＝a(x－h)2的图象，体会数形结合的思想与方法，并掌握它的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及函数的增减性等． 2．理解抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的位置关系，掌握二次函数y＝a(x－h)2的图象的平移规律． 3．在探索二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质的过程中，会用数形结合的思想与方法解决问题. 教学重点 掌握二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质. 教学难点 掌握抛物线y＝a(x－h)2与抛物线y＝ax2之间的平移规律. 授课类型 新授课 课时 ✓ 【课堂流程】 教学步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.将二次函数y＝2x2的图象向上平移1个单位长度后所得抛物线的函数解析式为y＝2x2＋1． 2．顶点坐标为(0，3)，开口方向与抛物线y＝－x2的开口方向相反，形状相同的抛物线的函数解析式为y＝x2＋3． 3．抛物线y＝2x2＋1关于x轴对称的抛物线的函数解析式为y＝－2x2－1． 学生自主解答问题，教师做好提示、点评. 以题组形式引入新课，让学生在解题中复习回顾二次函数图象的平移规律等旧知，激活已有经验， 活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 问题：在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y＝－(x＋1)2，y＝－(x－1)2的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性． 学生动手列表，在准备好的坐标纸上描点、连线，画出函数的图象． 在列表过程中，教师允许学生交流计算的准确性． 教师巡视指导，做好纠正和点拨. 让学生按照规范步骤画出二次函数y＝a(x－h)²的图象，在动手操作中培养作图能力与严谨的学习态度，通过观察对比图象的位置变化， 活动二：实践探究、交流新知 　1.探究新知 观察图象，然后进行填表： 学生自主填表后，教师利用展台展示学生的回答情况，共同得到正确答案. 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 y＝－(x＋1)2 y＝－(x－1)2 2.解析新知 问题：概括二次函数y＝a(x－h)2的性质. 师生活动：学生分组讨论后，师生共同归纳： 二次函数y＝a(x－h)2的图象的对称轴是直线x＝h，顶点坐标是(h，0)．当a>0时，图象开口向上，当x<h时，y随x的增大而减小，当x>h时，y随x的增大而增大，当x＝h时，y有最小值是0；当a<0时，图象开口向下，当x<h时，y随x的增大而增大，当x>h时，y随x的增大而减小，当x＝h时，y有最大值是0. 3.探究规律 在观察所画二次函数的图象后，思考并解答下列问题： (1)抛物线y＝－x2，y＝－(x＋1)2，y＝－(x－1)2的形状和大小之间有什么关系？ (2)把抛物线y＝－x2向左平移1个单位长度后，就得到抛物线y＝－(x＋1)2. (3)把抛物线y＝－x2向右平移1个单位长度后，就得到抛物线y＝－(x－1)2. 教师用多媒体展示图象的变化情况，学生观察、作答，并思考平移的规律. 4.提出问题 (1)分析抛物线y＝a(x－h)2和y＝ax2之间的区别和联系. (2)讨论二次函数y＝a(x－h)2中a和h的作用. 师生活动：学生小组内讨论得到结论，教师给予补充和总结： 抛物线y＝a(x－h)2和y＝ax2开口方向和大小都相同，对称轴和顶点不同，抛物线y＝a(x－h)2可由抛物线y＝ax2通过平移得到. a的值决定抛物线的开口方向和大小，h的值决定抛物线的对称轴. 1.引导学生通过观察、分析函数图象， 2.通过小组合作探究，引导学生从特殊到一般完成对知识的归纳，符合学生的认知规律，从而培养学生分析问题、解决问题的能力以及归纳总结的能力. 3.通过多媒体动画演示，增强学习的直观性，更有效地让学生发现二次函数图象的平移规律，同时激发学生学习数学的兴趣. 活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 例1　抛物线y＝－(x－1)2的图象一定经过(D) A．第一、二象限　 　B．第一、三象限　 　 C．第二、四象限　 　D．第三、四象限 例2　把抛物线y＝2x2向右平移4个单位长度，所得的抛物线的解析式是y＝2(x－4)2，其开口向上，对称轴是直线x＝4，当x＝4时，y有最小值是0． 学生自主解答问题后，分组展开讨论，待学生充分交流后，教师组织学生展示自己的答案，共同得到正确的结论． 【变式训练】 1．关于抛物线y＝－2(x－1)2说法正确的是(B) A．顶点坐标为(－2，1) B．当x＜1时，y随x的增大而增大 C．当x＝0时，y有最大值1 D．抛物线的对称轴为直线x＝－2 2．抛物线y＝ax2向右平移3个单位长度后经过点(－1，4)，求a的值和平移后抛物线对应的二次函数解析式． 解：抛物线y＝ax2向右平移3个单位长度的抛物线的解析式为y＝a(x－3)2. 把点(－1，4)代入，得4＝a(－1－3)2， 解得a＝. ∴该抛物线的解析式为y＝(x－3)2. 1.学生在掌握基 础知识和基本技 能的基础上，怀 着浓厚的兴趣去 进行深层次的合 作探究和体验解 决问题的过程， 提 高了 思 维 能力 . 2.对抛物线的顶 点坐标、二次函 数与一次函数图 象综合的提升练 习，加强学生对 函数解析式中的 字母系数与图象 关系的认识，进 一步体会数形结 合思想. 3.对变式训练的 学习，可以体现 知识的延伸，使 学生进一步掌握 新知，并养成分 类讨论的思想 活动四：随堂检测 【随堂检测】 1.已知抛物线y＝(x－3)2. (1)开口向__上__； (2)顶点坐标是__(3，0)__； (3)对称轴是__直线x＝3__； (4)当x＝__3__时，则y的最小值是__0__； (5)当x__＞3__时，则y随x的增大而增大； (6)若3≤x≤5，则y的取值范围是__0≤y≤4__； (7)若－1≤x≤5，则y的取值范围是__0≤y≤16__； (8)若抛物线上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2＜3，则y1与y2的大小关系是__y1＞y2__. 2．将抛物线y＝a(x－h)2向左平移2个单位长度后，得到抛物线y＝－4(x－4)2，则a＝－4，h＝6． 3．若小明将如图所示的两条水平线AB，CD中的一条当成x轴，且向右为正方向；两条铅垂线AC，BD中的一条当成y轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出了二次函数y＝2（x﹣1）2的图象，则坐标原点可能是点 C . 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”. 课堂小结 1.课堂小结： (1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？ (2)本节课还有哪些疑惑？ 教学说明：梳理二次函数的图象和性质，并与其他函数的图象和性质进行比较；总结函数图象的平移规律． 2．布置作业： 教材第39页练习. 通过课堂小结引导学生回顾用一元二次方程解决实际问题的步骤与方法，自主归纳本节课的学习重点， 教学反思 这节课学生最容易卡住的地方在哪里？课后复盘，问题集中在“左加右减”的平移方向上。课堂上多数学生能通过描点作图归纳出平移规律，也能完成基础图象判断，但一旦给出 h 的具体值要求判断平移方向，就有学生把 h 的正负与平移方向对应错位，这说明对规律的理解还停留在记忆层面，没有与图象建立直观对应。 究其原因，一是作图环节学生动手充分，但“由图象读平移、由解析式想图象”的双向对应训练不足；二是综合图象题中，学生缺少“先画图再分析”的意识，面对解析式习惯直接想。 基于此，下一步将设计“由图象判平移、由平移定解析式”的双向练习，把规律放在具体图象中反复验证，同时规范“先画图、再分析、后解答”的解题顺序，并加强表述训练，为后续更复杂的二次函数形式打基础。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.2 第2课时 二次函数y＝a（x-h）²的图象和性质（原卷版） —— 夯实基础 —— 1．在平面直角坐标系中，二次函数y＝2（x﹣2）2的图象可能是（　　） A． B． C．D． 2．抛物线y＝﹣5（x﹣4）2与抛物线y＝4x2的相同点是（　　） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．抛物线形状相同 D．顶点都在x轴上 3．已知二次函数y＝﹣2（x+b）2，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，当x＞﹣3时，y随x的增大而减小，则当x＝1时，y的值为（　　） A．﹣12 B．12 C．32 D．﹣32 4．若将抛物线y＝﹣3（x﹣3）2的顶点平移到原点，则下列平移方法正确的是（　　） A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度 C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度 5．二次函数y＝a（x﹣h）2的图象如图所示，若A（﹣2，y1），B（﹣4，y2）是该图象上的两点，则y1　 　 y2．（填“＞”“＜”或“＝”） 6．将抛物线y＝（x+m）2向右平移3个单位后，对称轴是y轴，那么m的值是 　 　 ． 7．顶点坐标是（﹣1，0），且开口方向和形状与抛物线y＝﹣3x2相同的抛物线的解析式是　 　 ． 8．在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y＝x2，y＝（x﹣1）2和y＝（x+1）2的图象，并根据图象解答下列问题： （1）二次函数y＝（x﹣1）2的图象的顶点坐标是 　 　 ，对称轴是 　 　 ； （2）对于二次函数y＝（x+1）2，当x　 　 时，y随x的增大而减小；当x　 　 时，y随x的增大而增大； —— 能力提升 —— 9．若抛物线向右平移m个单位长度后经过点（3，3），则m＝（　　） A．﹣2 B．﹣2或4 C．2或4 D．2或﹣4 10．已知二次函数y＝（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，其对应的函数值y的最小值为1，则h的值为（　　） A．2或4 B．0或4 C．2或3 D．0或3 11．设函数，，直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，c1），B（1，c2），得（　　） A．若1＜a1＜a2，则c1＜c2 B．若a1＜1＜a2，则c1＜c2 C．若a1＜a2＜1，则c1＜c2 D．若a1＜a2＜1，则c2＜c1 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A，B两点．若AB＝3，则点M到直线l的距离为 　 　 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝（x+h）2的顶点为B（2，0），与y轴交于点A，过点A作AC⊥y轴，交该抛物线于点C，连接BC，以AC，BC为边作▱ACBD． （1）求该抛物线的表达式； （2）求点D的坐标． —— 思维拓展 —— 14．已知二次函数y＝a（x﹣h）2（a＞0）过点A（0，1），B（1，1）． （1）求二次函数解析式； （2）已知M（x1，m），N（x2，m）在二次函数图象上不同的两个点．若存在实数t≠0，使得，求t的取值范围． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $