1.4 用一元二次方程解决问题 同步讲义 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦用一元二次方程解决实际问题，系统梳理从抽象方程（如降价率、握手问题）到应用（增长率、形积、运动点等）的脉络，以解题步骤和常见问题类型为学习支架，帮助学生构建知识体系。 资料特色在于结合新能源汽车销量、矩形空地修路等真实情境，培养学生用数学眼光观察现实，通过典例变式提升抽象等量关系的推理意识，用方程模型表达问题的数学语言。课中辅助教师引导分析，课后验收题助力学生查漏补缺。

1.4 用一元二次方程解决问题 内 容 导 航 题型1 由实际问题抽象出一元二次方程 题型2 一元二次方程的应用 考 点 演 练 题型1 由实际问题抽象出一元二次方程 解｜题｜知｜识 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 【典例1】近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为36万元，4月份售价为25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A．25（1﹣2x）＝36 B．25（1+x）2＝36 C．36（1﹣x）2＝25 D．25（1﹣x）2＝36 【变式1】某小区计划在一块长32m、宽20m的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　） A．32×20﹣3x2＝570 B．（32﹣x）（20﹣x）＝570 C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 D．3x2＝570 【变式2】在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手（每两人只握一次），大家一共握了21次手，设参加这次聚会的同学共有x人，根据题意得方程（　　） A．x（x+1）＝42 B．x（x﹣1）＝42 C．x（x﹣1）＝21 D．x（x+1）＝21 【变式3】九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了870份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝870 D．x（x+1）＝870 题型2 一元二次方程的应用 解｜题｜知｜识 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 【变式1】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是（x+x+2）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5，在下面四个选项中，能正确说明方程x2﹣5x﹣6＝0解法的构图是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，某小区在一块长为16m，宽为9m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为40m2，求小路的宽度．设小路的宽度为xm，甲、乙两位同学分别得到如下方程： 甲：（16﹣2x）（9﹣x）＝16×9﹣40； 乙：9×2x+16x﹣x2＝40． 其中正确的是（　　） A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【变式3】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+2x﹣35＝0，即x（x+2）＝35为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是（x+x+2）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5，在下面四个选项中，能正确说明方程x2﹣5x﹣6＝0解法的构图是（　　） A． B． C． D． 过 关 验 收 1．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为22万辆．销售量逐年增加，2024年预估销售量为28.6万辆．求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（　　） A．22（1+x2）＝28.6 B．22（1﹣x）2＝28.6 C．28.6（1﹣x）2＝22 D．22（1+x）2＝28.6 2．“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆750人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程（　　） A．180（1+x）2＝750 B．180（1+x）+180（1+x）2＝750 C．180（1+x+x2）＝750 D．180+180（1+x）+180（1+x）2＝750 3．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了x个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（　　） A．（3x）2+102＝（7x﹣10）2 B．（3x）2+（7x﹣10）2＝102 C．（7x）2+102＝（3x﹣10）2 D．（7x）2+（3x﹣10）2＝102 4．某地计划三年内投入1900万元资金进行生态建设，以此带动本地旅游业的发展，本年度当地旅游业收入估计为400万元，如果在今后的三年内（本年度为第一年）每年旅游业的收入比上年增长百分数相同，则三年内旅游业的总收入恰好等于投资总额，设旅游业的收入比上年增长的百分数为x，则下列方程正确的是（　　） A．400（1+x）＝1900 B．400（1+x）2＝1900 C．400（1+x）+400（1+x）2＝1900 D．400+400（1+x）+400（1+x）2＝1900 5．《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为x尺，则可列方程为（　　） A．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝2x2 B．（x﹣2）2+42＝x2 C．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2 D．（x﹣4）2+x2＝（x﹣2）2 6．如图，在一块长28m、宽10m的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是243m2．设小路的宽度为xm，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．28×10﹣28x﹣10x＝243 B．2（28﹣x+10﹣x）＝243 C．（28﹣x）（10﹣x）+x2＝243 D．（28﹣x）（10﹣x）＝243 7．“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年64万字增加到九年级的每年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（　　） A．64（1+x）2＝144 B．64（1+x%）2＝144 C．64（1+2x）＝144 D．64+64（1+x）+64（1+x）2＝144 8．如图，小红想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当羊圈的面积为600m2时，AB的长为多少米？设矩形ABCD的边AB＝xm，根据题意所列的方程是（　　） A．x（62﹣2x）＝600 B．x（60﹣2x）＝600 C．x（58﹣2x）＝600 D．x（60﹣x）＝600 9．如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的墙（图中阴影部分），另外三边用25m长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为xm，若花圃的面积为80m2，所列方程正确的是（　　） A．x（26﹣2x）＝80 B．x（24﹣2x）＝80 C．（x﹣1）（26﹣2x）＝80 D．（x﹣1）（25﹣2x）＝80 10．某商品原价为289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A．289（1﹣x%）2＝25 B．289（1﹣x）2＝256 C．256（1﹣x%）2＝289 D．256（1﹣x）2＝289 11．《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈＝10尺，1尺＝10寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（　　） A．x2+（x﹣68）2＝102 B．x2+（x﹣6.8）2＝12 C．x2+（x+68）2＝1002 D．x2+（x﹣6.8）2＝102 12．近年来，我国人工智能核心产业规模快速增长．2023年某地区人工智能核心产业规模为50亿元，2025年达到72亿元．设该地区这两年人工智能核心产业规模的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（　　） A．50（1+x）＝72 B．50（1+x）2＝72 C．50（1+2x）＝72 D．50（1+x2）＝72 13．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块8平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　） A．6（1+x2）＝8 B．6（1+x）2＝8 C．x（6﹣x）＝8 D．6x2＝8 14．古算趣题：“愚人持竿欲入门，怎奈门框把竹阻，横余五尺竖余三，焦急无措泪潸潸．有位邻居智慧高，教其斜竿对两角，愚人依言行一试，不多不少正合适，试问竿长是几何，能解此题我点赞．”大意是：“一人拿着一根竹竿进屋内，竹竿比门宽多5尺，比门高多3尺，如果竹竿斜着进门，恰好通过．若设竹竿的长为x尺，则可列方程为（　　） A．（x+3）2+（x﹣5）2＝x2 B．（x﹣3）2+（x﹣5）2＝x2 C．（x﹣3）2+（x+5）2＝x2 D．（x+3）2+（x+5）2＝x2 15．2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，据网络平台数据显示，截至3月1日0时26分票房突破140亿，位居全球动漫电影票房榜首．2025年清明档（4月4日﹣4月6日）以总票房3.78亿元收官，4月4日的单日票房达到1.2亿，假设平均每天的票房增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．1.2（1+2x）＝3.78 B．1.2+1.2（1+x）+1.2（1+x）2＝3.78 C．1.2（1+x）2＝3.78 D．1.2（1+x2）＝3.78 16．如图，一块长16m，宽8m的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为105m2．设石子路的宽度为xm，则下面所列方程正确的是（　　） A．（16﹣x）（8﹣x）+x2＝105 B．（16﹣x）（8﹣x）＝105 C．（16﹣2x）（8﹣x）+x2＝105 D．（16﹣2x）（8﹣x）＝105 17．制造一种产品，原来每件的成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元．设平均每次降低成本的百分率为x，则列方程为　 　 ． 18．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（　　） A．20.3% B．25.2% C．29.3% D．50% 19．某城市为绿化环境，改善城市容貌，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（　　） A．19% B．20% C．21% D．22% 20．如图，琪琪的爸爸用一段12m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6.5m）的矩形鸡舍ABCD，其面积为21m2．在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC长为（　　） A．6m或7m B．3m或3.5m C．3.5m D．6m 21．如图，要把长为4m、宽为3m的长方形花坛四周扩展相同的宽度xm，得到面积为30m2的新长方形花坛，则x的值为（　　） A．4.5 B．2 C．1.5 D．1 22．某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有　　 人． 23．2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程，某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长36m，宽24m，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为805m2，则所修道路的宽为　　 m． 24．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 25．综合与实践 主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的长方形（一张长为60cm，宽为50cm的硬纸板）． 目标： （1）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为2000cm2，求剪去的小正方形的边长． （2）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为468cm2．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒． 26．银川市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出75个，六月份售出108个，且从四月份到六月份的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，该品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 27．冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只． （1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 28．学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形ABCD），该实验田两面靠墙（AD位置的墙最大可用27米，AB位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田CD的长为x米． （1）AD的长为　 　 米（用含x的式子表示）； （2）若实验田（矩形ABCD）的面积为180平方米，求x的值； （3）通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 29．园林部门计划在某公园建一个长方形花圃ABCD，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，如图2所示BC＝2AB，建成后所用木栏总长120米，在图2总面积不变的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图3，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉， 花卉种植的面积为1728平方米． （1）求长方形ABCD花圃的长和宽； （2）求出网红打卡点的面积． 30．如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）运动开始后，当t为何值时，PQ的长度等于5cm？ （2）连接PC，当t为何值时，△PQC的面积等于8cm2？ 31．如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为30m的篱笆围成．如图，墙长为16m，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为xm．请列出方程并解答： （1）若苗圃园的面积为108m2，求x的值； （2）苗圃园的面积能达到120m2吗？若能，求出x的值；若不能，说明理由． 32．某邻里中心新建一个三层停车楼，其中一层布局如图所示，已知每层长为50米，宽20米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位面积为616平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，停车场多余60个车位可以对外出租，每个车位的月租金为200元时；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位；现在要求既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14560元，应该月租金定价多少？ 33．某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． （1）若销售单价为每件60元，则每天的销售量为　　 件，销售利润为　 　 元； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，每件工艺品售价应为多少元？ （3）公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由． 34．第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？ （2）从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 用一元二次方程解决问题 内 容 导 航 题型1 由实际问题抽象出一元二次方程 题型2 一元二次方程的应用 考 点 演 练 题型1 由实际问题抽象出一元二次方程 解｜题｜知｜识 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 【典例1】近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为36万元，4月份售价为25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A．25（1﹣2x）＝36 B．25（1+x）2＝36 C．36（1﹣x）2＝25 D．25（1﹣x）2＝36 【答案】C 【解答】解：根据题意得：36（1﹣x）2＝25． 故选：C． 【变式1】某小区计划在一块长32m、宽20m的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　） A．32×20﹣3x2＝570 B．（32﹣x）（20﹣x）＝570 C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 D．3x2＝570 【答案】C 【解答】解：将三条路平移，如图所示： ∵剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2，设道路的宽为xm， ∴（20﹣x）（32﹣2x）＝570， 故选：C． 【变式2】在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手（每两人只握一次），大家一共握了21次手，设参加这次聚会的同学共有x人，根据题意得方程（　　） A．x（x+1）＝42 B．x（x﹣1）＝42 C．x（x﹣1）＝21 D．x（x+1）＝21 【答案】B 【解答】解：设参加这次聚会的同学共有x人，由题意得： x（x﹣1）＝21， 即：x（x﹣1）＝42， 故选：B． 【变式3】九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了870份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝870 D．x（x+1）＝870 【答案】C 【解答】解：根据题意得x（x﹣1）＝870， 故选：C． 题型2 一元二次方程的应用 解｜题｜知｜识 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∴， 设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm， 根据题意列一元二次方程得： ， 整理得，2x2﹣24x+56＝0， 整理得：x2﹣12x+20＝0， 解得x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）． 即当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为2s． 故选：A． 【变式1】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是（x+x+2）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5，在下面四个选项中，能正确说明方程x2﹣5x﹣6＝0解法的构图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵方程x2﹣5x﹣6＝0， ∴x（x﹣5）＝6， 拼图如图， ∴中间小正方形的边长为x﹣（x﹣5）＝5，其面积为25， 大正方形的面积：（x+x﹣5）2＝4x（x﹣5）+25＝4×6+25＝49，其边长为7， 因此，能正确说明方程x2﹣5x﹣6＝0解法的构图是， 故选：A． 【变式2】如图，某小区在一块长为16m，宽为9m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为40m2，求小路的宽度．设小路的宽度为xm，甲、乙两位同学分别得到如下方程： 甲：（16﹣2x）（9﹣x）＝16×9﹣40； 乙：9×2x+16x﹣x2＝40． 其中正确的是（　　） A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】A 【解答】解：由已知条件可知：种植花草的面积为（16×9﹣40）m2， 从平移的角度考虑，把种植花草的区域拼成一个矩形，矩形的长为（16﹣2x）m，宽为（9﹣x）m， ∴矩形的面积为（16﹣2x）（9﹣x）m2， ∴可列方程（16﹣2x）（9﹣x）＝16×9﹣40， ∴甲列的方程正确； ∵两条竖着的小路的长为9m，宽为xm， ∴两条竖着的小路的面积为9×2xm2， ∵横着的小路的长度为16m，宽为xm， ∴横着的小路的面积为16xm2， 三条小路有两个重叠的区域，重叠区域是边长为xm的正方形， ∴重叠部分的面积为2x2m2， ∴小路的面积可表示为（9×2x+16x﹣2x2）m2， ∴可列方程为9×2x+16x﹣2x2＝40， ∴乙列的方程错误； 综上所述，甲对、乙不对． 故选：A． 【变式3】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+2x﹣35＝0，即x（x+2）＝35为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是（x+x+2）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5，在下面四个选项中，能正确说明方程x2﹣5x﹣6＝0解法的构图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：方程x2﹣5x﹣6＝0，即x（x﹣5）＝6的拼图如下： 中间小正方形的边长为x﹣（x﹣5）＝5，其面积为25， 大正方形的面积：（x+x﹣5）2＝4x（x﹣5）+25＝4×6+25＝49，其边长为7， 因此，能正确说明方程x2﹣5x﹣6＝0解法的构图是A， 故选：A． 过 关 验 收 1．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为22万辆．销售量逐年增加，2024年预估销售量为28.6万辆．求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（　　） A．22（1+x2）＝28.6 B．22（1﹣x）2＝28.6 C．28.6（1﹣x）2＝22 D．22（1+x）2＝28.6 【答案】D 【解答】解：根据题意得：22（1+x）2＝28.6． 故选：D． 2．“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆750人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程（　　） A．180（1+x）2＝750 B．180（1+x）+180（1+x）2＝750 C．180（1+x+x2）＝750 D．180+180（1+x）+180（1+x）2＝750 【答案】D 【解答】解：设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程为180+180（1+x）+180（1+x）2＝750， 故选：D． 3．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了x个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（　　） A．（3x）2+102＝（7x﹣10）2 B．（3x）2+（7x﹣10）2＝102 C．（7x）2+102＝（3x﹣10）2 D．（7x）2+（3x﹣10）2＝102 【答案】A 【解答】解：如图，设相遇时，甲、乙行走了x个单位时间， 则AB＝3x，BC＝7x﹣10， 由勾股定理得（3x）2+102＝（7x﹣10）2． 故选：A． 4．某地计划三年内投入1900万元资金进行生态建设，以此带动本地旅游业的发展，本年度当地旅游业收入估计为400万元，如果在今后的三年内（本年度为第一年）每年旅游业的收入比上年增长百分数相同，则三年内旅游业的总收入恰好等于投资总额，设旅游业的收入比上年增长的百分数为x，则下列方程正确的是（　　） A．400（1+x）＝1900 B．400（1+x）2＝1900 C．400（1+x）+400（1+x）2＝1900 D．400+400（1+x）+400（1+x）2＝1900 【答案】D 【解答】解：根据题意得，400+400（1+x）+400（1+x）2＝1900． 故选：D． 5．《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为x尺，则可列方程为（　　） A．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝2x2 B．（x﹣2）2+42＝x2 C．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2 D．（x﹣4）2+x2＝（x﹣2）2 【答案】C 【解答】解：根据勾股定理可得： （x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2， 故选：C． 6．如图，在一块长28m、宽10m的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是243m2．设小路的宽度为xm，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．28×10﹣28x﹣10x＝243 B．2（28﹣x+10﹣x）＝243 C．（28﹣x）（10﹣x）+x2＝243 D．（28﹣x）（10﹣x）＝243 【答案】D 【解答】解：在一块长28m、宽10m的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是243m2． 设道路的宽xm，由题意可得： （28﹣x）（10﹣x）＝243． 故选：D． 7．“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年64万字增加到九年级的每年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（　　） A．64（1+x）2＝144 B．64（1+x%）2＝144 C．64（1+2x）＝144 D．64+64（1+x）+64（1+x）2＝144 【答案】A 【解答】解：根据题意得：64（1+x）2＝144． 故选：A． 8．如图，小红想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当羊圈的面积为600m2时，AB的长为多少米？设矩形ABCD的边AB＝xm，根据题意所列的方程是（　　） A．x（62﹣2x）＝600 B．x（60﹣2x）＝600 C．x（58﹣2x）＝600 D．x（60﹣x）＝600 【答案】A 【解答】解：由题意得，BC＝60+2﹣2x＝（62﹣2x）m， 根据羊圈的面积为600m2，得x（62﹣2x）＝600， 故选：A． 9．如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的墙（图中阴影部分），另外三边用25m长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为xm，若花圃的面积为80m2，所列方程正确的是（　　） A．x（26﹣2x）＝80 B．x（24﹣2x）＝80 C．（x﹣1）（26﹣2x）＝80 D．（x﹣1）（25﹣2x）＝80 【答案】A 【解答】解：设花圃与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26﹣2x）m， 根据题意得：x（26﹣2x）＝80． 故选：A． 10．某商品原价为289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A．289（1﹣x%）2＝25 B．289（1﹣x）2＝256 C．256（1﹣x%）2＝289 D．256（1﹣x）2＝289 【答案】B 【解答】解：设平均每次降价的百分率为x， 由题意得：289（1﹣x）2＝256， 故选：B． 11．《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈＝10尺，1尺＝10寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（　　） A．x2+（x﹣68）2＝102 B．x2+（x﹣6.8）2＝12 C．x2+（x+68）2＝1002 D．x2+（x﹣6.8）2＝102 【答案】D 【解答】解：设长方形门高x尺，则宽是（x﹣6.8）尺， 根据题意得x2+（x﹣6.8）2＝102， 故选：D． 12．近年来，我国人工智能核心产业规模快速增长．2023年某地区人工智能核心产业规模为50亿元，2025年达到72亿元．设该地区这两年人工智能核心产业规模的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（　　） A．50（1+x）＝72 B．50（1+x）2＝72 C．50（1+2x）＝72 D．50（1+x2）＝72 【答案】B 【解答】解：由题意可得： 50（1+x）2＝72． 故选：B． 13．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块8平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　） A．6（1+x2）＝8 B．6（1+x）2＝8 C．x（6﹣x）＝8 D．6x2＝8 【答案】C 【解答】解：∵篱笆的总长为6米，且矩形的一边长为x米， ∴矩形的另一边长为（6﹣x）米． 根据题意得：x（6﹣x）＝8． 故选：C． 14．古算趣题：“愚人持竿欲入门，怎奈门框把竹阻，横余五尺竖余三，焦急无措泪潸潸．有位邻居智慧高，教其斜竿对两角，愚人依言行一试，不多不少正合适，试问竿长是几何，能解此题我点赞．”大意是：“一人拿着一根竹竿进屋内，竹竿比门宽多5尺，比门高多3尺，如果竹竿斜着进门，恰好通过．若设竹竿的长为x尺，则可列方程为（　　） A．（x+3）2+（x﹣5）2＝x2 B．（x﹣3）2+（x﹣5）2＝x2 C．（x﹣3）2+（x+5）2＝x2 D．（x+3）2+（x+5）2＝x2 【答案】B 【解答】解：因为设竹竿长为x尺，由题意可知门宽为（x﹣5）尺，门高为（x﹣3）尺． ∴可列方程为：（x﹣3）2+（x﹣5）2＝x2． 故选：B． 15．2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，据网络平台数据显示，截至3月1日0时26分票房突破140亿，位居全球动漫电影票房榜首．2025年清明档（4月4日﹣4月6日）以总票房3.78亿元收官，4月4日的单日票房达到1.2亿，假设平均每天的票房增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．1.2（1+2x）＝3.78 B．1.2+1.2（1+x）+1.2（1+x）2＝3.78 C．1.2（1+x）2＝3.78 D．1.2（1+x2）＝3.78 【答案】B 【解答】解：根据题意得：1.2+1.2（1+x）+1.2（1+x）2＝3.78． 故选：B． 16．如图，一块长16m，宽8m的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为105m2．设石子路的宽度为xm，则下面所列方程正确的是（　　） A．（16﹣x）（8﹣x）+x2＝105 B．（16﹣x）（8﹣x）＝105 C．（16﹣2x）（8﹣x）+x2＝105 D．（16﹣2x）（8﹣x）＝105 【答案】B 【解答】解：设小路的宽为xm，则草坪的总长度为（16﹣x）m，总宽度为（8﹣x）m， 根据题意，得：（16﹣x）（8﹣x）＝105． 故选：B． 17．制造一种产品，原来每件的成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元．设平均每次降低成本的百分率为x，则列方程为　 　 ． 【答案】100（1﹣x）2＝81 【解答】解：设每次降低的百分比是x， 根据题意得：100（1﹣x）2＝81， 故答案为：100（1﹣x）2＝81． 18．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（　　） A．20.3% B．25.2% C．29.3% D．50% 【答案】C 【解答】解：设每天“遗忘”的百分比为x， 由题意得（1﹣x）2， 解得x1，x（不合题意，舍去）， ∵0.293， ∴每天“遗忘”的百分比约为29.3%． 故选：C． 19．某城市为绿化环境，改善城市容貌，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（　　） A．19% B．20% C．21% D．22% 【答案】B 【解答】解：设增长率为x，则： （1+x）2＝1+44%， 解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去）， 故选：B． 20．如图，琪琪的爸爸用一段12m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6.5m）的矩形鸡舍ABCD，其面积为21m2．在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC长为（　　） A．6m或7m B．3m或3.5m C．3.5m D．6m 【答案】D 【解答】解：设BC＝xm，则AB m， 根据题意得：x•21， 整理得：x2﹣13x+42＝0， 解得：x1＝6，x2＝7， 又∵墙长6.5m， ∴x＝6， ∴BC长为6m． 故选：D． 21．如图，要把长为4m、宽为3m的长方形花坛四周扩展相同的宽度xm，得到面积为30m2的新长方形花坛，则x的值为（　　） A．4.5 B．2 C．1.5 D．1 【答案】D 【解答】解：依题意得：（4+2x）（3+2x）＝30， 整理得：2x2+7x﹣9＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣4.5（不合题意，舍去）． 故选：D． 22．某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有　　 人． 【答案】9． 【解答】解：设这个数学小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡， 依题意得：x（x﹣1）＝72， 整理得：x2﹣x﹣72＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去）， 即这个数学小组共有9人， 故答案为：9． 23．2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程，某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长36m，宽24m，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为805m2，则所修道路的宽为　　 m． 【答案】1m． 【解答】解：设所修道路的宽为xm， 根据题意得：（24﹣x）（36﹣x）＝805， 整理得：x2﹣60x+59＝0． 解得：x1＝59（不合题意，舍去），x2＝1． 即所修道路的宽为1m， 故答案为：1． 24．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为30%； （2）每个玩偶降价2元． 【解答】解：（1）设日平均增长率为x， 由题意列一元二次方程得：200（1+x）2＝338， 整理得，200x2+400x﹣138＝0， 解得x1＝0.3，x2＝﹣2.3（舍）， 答：日平均增长率为30%； （2）设每个玩偶降价y元， 由题意列一元二次方程得：（50﹣y﹣30）（320+5y）＝5940， 解得y1＝2，y2＝﹣46（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 25．综合与实践 主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的长方形（一张长为60cm，宽为50cm的硬纸板）． 目标： （1）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为2000cm2，求剪去的小正方形的边长． （2）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为468cm2．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设剪去的小正方形的边长为xcm，依题意得： （60﹣2x）（50﹣2x）＝2000， x2﹣55x+250＝0， 解得：x1＝5，x2＝50（舍去）， ∴剪去的小正方形的边长为5cm． （2）设小长方形的宽为xcm（x＜20），长为ycm， ， 解得：， ∴小长方形的宽为12cm． 当EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为12＜18． ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒． 26．银川市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出75个，六月份售出108个，且从四月份到六月份的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，该品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】（1）20%； （2）5元． 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 根据题意得：75（1+x）2＝108， 解得：x1＝﹣2.2（不符合题意，舍去），x2＝0.2＝20%， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设头盔每个涨价m元， 根据题意得：（500﹣20m）•（10+m）＝6000， 整理得：m2﹣15m+50＝0， 解得：m1＝5，m2＝10（不符合题意，舍去）， 答：该品牌头盔每个应涨价5元． 27．冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只． （1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：256（1+x）2＝400， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）， 答：该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为25%． （2）设该棉帽售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为 400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）只， 根据题意得：（y﹣35）（1560﹣20y）＝8400， 解得：y1＝50，y2＝63（不符合题意，舍去）． 答：该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元． 28．学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形ABCD），该实验田两面靠墙（AD位置的墙最大可用27米，AB位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田CD的长为x米． （1）AD的长为　 　 米（用含x的式子表示）； （2）若实验田（矩形ABCD）的面积为180平方米，求x的值； （3）通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 【答案】（1）（47﹣3x）； （2）x＝9或x； （3）不能．理由如下： 假设该实验田的面积能为240平方米， ∴x（47﹣3x）＝240， ∴3x2﹣47x+240＝0， ∴Δ＝（﹣47）2﹣4×3×240＜0，方程没有实数根，假设不成立， 答：该实验田的面积不能为240平方米． 【解答】解：（1）由题意得：AD＝45﹣x﹣2（x﹣1）＝47﹣3x（米）， 故答案为：（47﹣3x）． （2）由题意得：x（47﹣3x）＝180， ∴x＝9或x， 又∵， ∴． ∴x＝9或x． （3）假设该实验田的面积能为240平方米， ∴x（47﹣3x）＝240， ∴3x2﹣47x+240＝0， ∴Δ＝（﹣47）2﹣4×3×240＜0，方程没有实数根，假设不成立， 答：该实验田的面积不能为240平方米． 29．园林部门计划在某公园建一个长方形花圃ABCD，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，如图2所示BC＝2AB，建成后所用木栏总长120米，在图2总面积不变的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图3，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉， 花卉种植的面积为1728平方米． （1）求长方形ABCD花圃的长和宽； （2）求出网红打卡点的面积． 【答案】（1）长方形ABCD花圃的长为60米，宽为30米； （2）16平方米． 【解答】解：（1）设AB＝x米， ∴BC＝2AB＝2x米， 根据题意，得2x+x+x＝120， 解得x＝30， ∴AB＝30米，BC＝60米， 答：长方形ABCD花圃的长为60米，宽为30米； （2）设网红打卡点的边长为m米， 根据题意，得（60﹣m）m2＝60×30﹣1728， 解得m1＝4，m2＝﹣24（舍去）， ∴网红打卡点的面积为4×4＝16（平方米）， 答：网红打卡点的面积为16平方米． 30．如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）运动开始后，当t为何值时，PQ的长度等于5cm？ （2）连接PC，当t为何值时，△PQC的面积等于8cm2？ 【答案】（1）2； （2）1． 【解答】解：（1）由题意得BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm， 在Rt△BPQ中，根据勾股定理得一元二次方程，（5﹣t）2+（2t）2＝52， 整理得，5t2﹣10t＝0， 解得t1＝0（舍去），t2＝2． 答：当t为2时，PQ的长度等于5cm； （2）由题意得CQ＝（6﹣2t）cm， ∵△PQC的面积等于8cm2， ∴根据题意列一元二次方程得，， 解得t1＝1，t2＝7（不合题意，舍去）． 答：当t为1时，△PQC的面积等于8cm2． 31．如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为30m的篱笆围成．如图，墙长为16m，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为xm．请列出方程并解答： （1）若苗圃园的面积为108m2，求x的值； （2）苗圃园的面积能达到120m2吗？若能，求出x的值；若不能，说明理由． 【答案】（1）9； （2）苗圃园的面积不能达到120m2，理由见解答． 【解答】解：（1）根据题意得：x（30﹣2x）＝108， 整理得：x2﹣15x+54＝0， 解得：x1＝6，x2＝9， 当x＝6时，30﹣2x＝30﹣2×6＝18＞16，不符合题意，舍去； 当x＝9时，30﹣2x＝30﹣2×9＝12＜16，符合题意． 答：x的值为9； （2）苗圃园的面积不能达到120m2，理由如下： 假设苗圃园的面积能达到120m2， 根据题意得：x（30﹣2x）＝120， 整理得：x2﹣15x+60＝0， ∵Δ＝（﹣15）2﹣4×1×60＝﹣15＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即苗圃园的面积不能达到120m2． 32．某邻里中心新建一个三层停车楼，其中一层布局如图所示，已知每层长为50米，宽20米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位面积为616平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，停车场多余60个车位可以对外出租，每个车位的月租金为200元时；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位；现在要求既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14560元，应该月租金定价多少？ 【答案】（1）通道的宽是3米； （2）应该月租金定价280元． 【解答】解：（1）设通道的宽是x米， 已知每层长为50米，宽20米， ∴每一层的停车位可合成长为（50﹣2x）米，宽为（20﹣2x）米的长方形， 停车位面积为616平方米， 即（50﹣2x）（20﹣2x）＝616， 整理得：x2﹣35x+96＝0， 解得：x1＝3，x2＝32（不符合题意，舍去）． 答：通道的宽是3米； （2）设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为（200+y）元，租出的车位数量为：， 依题意得：， 整理得：y2﹣400y+25600＝0， 解得：y1＝80，y2＝320， 又∵要优惠大众， ∴y＝80， 此时月租金为：200+80＝280（元）． 答：应该月租金定价280元． 33．某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． （1）若销售单价为每件60元，则每天的销售量为　　 件，销售利润为　 　 元； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，每件工艺品售价应为多少元？ （3）公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）依题意得：销售量为：100﹣（60﹣50）×2＝100﹣20＝80（件）， 销售利润为：（60﹣40）×80＝20×80＝1600（元）， 故答案为：80；1600； （2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[100﹣2（x﹣50）]件， 根据题意列一元二次方程得：（x﹣40）[100﹣2（x﹣50）]＝1350， 整理得：x2﹣140x+4675＝0， 解得x1＝55，x2＝85＞65（不符合题意，舍去）． 答：每件工艺品售价应为55元； （3）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[100﹣2（x﹣50）]件， 根据题意列一元二次方程得：（x﹣40）[100﹣2（x﹣50）]＝2000， 整理得：x2﹣140x+5000＝0， Δ＝1402﹣4×5000＜0， ∴无解， 答：利润不能到2000元． 34．第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？ （2）从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？ 【答案】（1）25%； （2）8元． 【解答】解：（1）设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为x， 由题意列一元二次方程得：256（1+x）2＝400， 整理得，256x2+512x﹣144＝0， 解得x＝0.25＝25%或x＝﹣2.25＜0（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为25%； （2）设当该款吉祥物降价a元时，月销售利润能达到8400元， 由题意列一元二次方程得：（68﹣a﹣45）（400+20a）＝8400， 解得a＝8或a＝﹣5＜0（不符合题意，舍去）， 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润能达到8400元． 学科网（北京）股份有限公司 $