第4章 第2节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版 提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦“同角三角函数基本关系式与诱导公式”专题，依据高考评价体系明确理解公式、推导应用的考查要求，通过知识表格梳理平方关系、商数关系及六组诱导公式，归纳化简、求值等高频题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，如2023年全国乙卷真题运用“弦化切”转化，培养学生运算能力与推理意识，方法总结中“知一求二”思想帮助突破考点，助力学生掌握得分技巧，教师可据此系统开展复习教学。

第二节　同角三角函数的基本关系式与诱导公式 第四章　三角函数、解三角形 1.理解同角三角函数的基本关系式.　2.能利用单位圆的对称性推导出±α,π±α,-α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点一　同角三角函数的基本关系式 1.平方关系:sin2α+cos2α= . 2.商数关系:tan α=(α≠+kπ,k∈Z). 1 知识点二　诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 ______ _____ _____ ______ ______ _____ 余弦 _____ ______ ______ _____ ______ _____ 正切 _____ ______ _____ ______     口诀 函数名不变, 符号看象限 函数名改变, 符号看象限 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α tan α tan α -tan α -tan α 常用结论 1.同角三角函数关系式的常用变形 (1)sin2α=1-cos2α=(1+cos α)(1-cos α); cos2α=1-sin2α=(1+sin α)(1-sin α); (sin α±cos α)2=1±2sin αcos α. (2)sin α=tan αcos α(α≠+kπ,k∈Z). (3)sin2α==; cos2α==. 2.sin(kπ+α)=(-1)ksin α(k∈Z); cos(kπ+α)=(-1)kcos α(k∈Z). 自我评价 1.(多选)已知x∈R,则下列等式恒成立的是(　　) A.sin(-x)=sin x B.sin(-x)=cos x C.cos(+x)=-sin x D.cos(x-π)=-cos x 解析:sin(-x)=-sin x,故A不成立; sin(-x)=-cos x,故B不成立; cos(+x)=-sin x,故C成立; cos(x-π)=-cos x,故D成立. CD 2.化简sin 690°=(　　) A.　　　　　　　　 B.- C. D.- 解析:sin 690°=sin(720°-30°)=-sin 30°=-. B 3.(人A必修第一册P195T5)已知sin(+α)=,那么cos α=(　　) A.- B.- C. D. 解析:因为sin(+α)=-cos α=, 所以cos α=-. B 4.若sin xcos x=,则cos x-sin x=　　　　　　.  解析:(cos x-sin x)2=1-2sin xcos x=1-2×=,所以cos x-sin x=±. ± 关键能力　重点探究 考点一　同角三角函数的基本关系式 [例1]　(1)(多选)下列各结论正确的是(　 　) A.已知cos α=-,则13sin α+5tan α=0或1 B.已知tan α=2,π<α<,则sin α+cos α=- C.若tan θ=-2,则= D.已知sin α+cos α=3cos αtan α,则cos αsin α= BCD [解析]　对于A,∵cos α=-<0,且cos α≠-1, ∴α是第二或第三象限角. 若α是第二象限角, 则sin α===, ∴tan α===-. 此时13sin α+5tan α=13×+5×(-)=0. 若α是第三象限角, 则sin α=-=-=-, ∴tan α===, 此时13sin α+5tan α=13×(-)+5×=0. 综上,13sin α+5tan α=0,A错误. 对于B,由tan α==2,得sin α=2cos α. 代入sin2α+cos2α=1,得cos2α=. 又π<α<,∴cos α=-,sin α=tan αcos α=-, ∴sin α+cos α=-,B正确. 对于C, 法一(求值代入法):∵tan θ=-2,∴角θ的终边在第二或第四象限, ∴∴== sin θ(sin θ+cos θ)=sin2θ+sin θcos θ=-=,C正确. 法二(弦化切法):∵tan θ=-2,∴==sin θ (sin θ+cos θ) ====,C正确. 对于D,∵sin α+cos α=3cos αtan α, ∴sin α+cos α=3sin α,所以tan α=, ∴cos αsin α===,D正确. (2)(多选)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则下列结论正确的是(　　 ) A.sin θ=　　　　　 B.<θ<π C.tan θ=- D.sin θ-cos θ= ABD [解析]　由题意知sin θ+cos θ=, ∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=, ∴2sin θcos θ=-<0. 又∵θ∈(0,π),∴<θ<π, ∴sin θ-cos θ>0, ∴sin θ-cos θ====, ∴sin θ=,cos θ=-, ∴tan θ=-, ∴A,B,D正确. 方法总结 1.利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以实现角α的弦切互化. 2.形如,asin2α+bsin αcos α+ccos2α等类型可进行弦化切. 3.对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子,知一可求二,若令sin α+cos α=t,则sin αcos α=,sin α-cos α=±(注意根据α的范围选取正、负号),体现了方程思想的应用. 跟踪训练 1.若θ是△ABC的一个内角,且sin θcos θ=-,则sin θ-cos θ=(　　) A.B.- C.± D.± 解析:∵θ是△ABC的一个内角,且sin θcos θ=-, ∴sin θ>0,cos θ<0,∴sin θ-cos θ>0. ∵(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1+=, ∴sin θ-cos θ=. A 2.(2023·全国乙卷)若θ∈(0,),tan θ=,则sin θ-cos θ=　　　　　.  解析:由且θ∈(0,), 解得 故sin θ-cos θ=-. - 考点二　诱导公式的应用 [例2]　(多选)下列化简计算结果正确的是(　 　) A.tan(2 026π+1)=tan 1 B.若sin(π+α)=-,则sin(4π-α)= C.已知sin(α+)=,则cos(-α)= D.=sin 2+cos 2 ACD [解析]　对于A,tan(2 026π+1)=tan 1,A正确; 对于B,由题知,sin α=, ∴sin(4π-α)=-sin α=-,B错误; 对于C,因为sin(α+)=, 所以cos(-α)=sin[-(-α)] =sin(α+)=,C正确; 对于D,∵sin(π-2)=sin 2,cos(π-2)=-cos 2, ∴ = = =|sin 2+cos 2| =. ∵<2+<π,∴sin(2+)>0, ∴sin 2+cos 2>0, ∴=sin 2+cos 2,D正确. 方法总结 诱导公式的两个应用 1.求值:负化正,大化小,化到锐角为终了. 2.化简:统一角,统一名,同角名少为终了. 跟踪训练 3.已知sin(+2α)=,则cos(-2α)=(　　) A. B.- C. D.± 解析:∵sin(+2α)=, ∴cos(-2α)=cos[-(+2α)] =sin(+2α)=. C 4.若sin(π+α)=,则sin(π-α)+cos(-α)=(　　) A.- B. C. D.- 解析:∵sin(π+α)=-sin α=,∴sin α=-, ∴sin(π-α)+cos(-α)=sin α+sin α=2sin α=-. A 考点三　同角三角函数的基本关系式和诱导公式的综合应用 [例3]　(1)已知sin(5π+α)=5sin(+α),则sin 2α+sin2α=(　　) A.- B. C. D. C [解析]　因为sin(5π+α)=5sin(+α), 所以-sin α=5cos α, 可得tan α==-5, 所以sin 2α+sin2α== = ==. (2)已知α∈(0,),β∈(,π),且sin(+α)=cos(β-),sin(π+α)=sin(-β),则β-α=　　　　　.  [解析]　由题意得 由①2+3×②2得,cos2α+9sin2α=3. 又cos2α+sin2α=1,所以sin2α=. 又α∈(0,),所以sin α=,则α=. 将α=代入①,得sin β=. 因为β∈(,π),所以β=,则β-α=. 方法总结 1.利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形. 2.注意角的范围对三角函数值符号的影响. 跟踪训练 5.已知sin(+α)=,那么tan(-α)=(　　) A.-B.±2 C. D.2 解析:因为sin(+α)=,所以cos(-α)=cos[-(+α)]=sin(+α)=, 则sin(-α)=±=±, 所以tan(-α)==±2. B 6.已知sin(-α)+cos(π-α)=sin α,则2sin2α-sin αcos α=(　　) A. B. C. D.2 解析:由诱导公式可得sin α=sin(-α)+cos(π-α)=-2cos α, 所以tan α=-2. 所以2sin2α-sin αcos α====2. D $