第2章 提升课3 抽象函数与性质-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版 提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦“抽象函数与性质”专题，覆盖抽象函数求值、单调性、奇偶性、周期性等核心考点，依据高考评价体系分析高频考点权重，归纳选择、多选等常考题型，构建系统复习框架，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“方法总结+真题模拟+素养培养”，如通过赋值法解决抽象函数求值（例1），构造函数证明单调性（例2），培养逻辑推理与数学抽象素养。含预测试题与易错分析，助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

提升课3　抽象函数与性质 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 考点一　抽象函数求值 [例1]　(2026·山东日照模拟)已知函数f(x),对任意x,y∈R,满足f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y),且f(1)=2,f(2)=0,则f(1)+f(2)+…+f(90)的值为(　　) A.-2　　　　　　　　 B.0 C.2 D.4 C [解析]　在f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y)中, 令x=2,y=1,得f(3)f(1)=f2(2)-f2(1). 因为f(1)=2,f(2)=0, 所以f(3)=-2; 令x=3,y=2,得f(5)f(1)=f2(3)-f2(2)=4,所以f(5)=2; 令x=4,y=1,得f(5)f(3)=f2(4)-f2(1), 所以f(4)=0. 在f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y)中, 令y=2,得f(x+2)f(x-2)=f2(x), 所以令x=5,得f(7)=-2, 令x=7,得f(9)=2. 在f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y)中, 令x=6,y=1,得f(7)f(5)=f2(6)-f2(1), 所以f(6)=0; 令x=8,y=1,得f(9)f(7)=f2(8)-f2(1), 所以f(8)=0. 以此类推,可得f(2k-1)=(-1)k+1·2(k∈N*), f(2k)=0(k∈N*),且f(n)+f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)=0(n∈N*), 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(90) =22×0+f(89)+f(90)=0+2+0=2. 方法总结 抽象函数求值问题,常用赋值法.结合性质及已知的某些函数值,一步步转化到所求函数值. 跟踪训练 1.已知定义域为R的函数f(x)满足:∀x,y∈R,f(x)-f(y)=f(x-y)+2(x-y)y,且f(6)=0,则(　　) A.f(0)=1 B.f(3)=9 C.f(x)是奇函数 D.∀x∈R,f(x)+f(-x)≥0 D 解析:对于A,令x=6,y=0,则f(6)-f(0)=f(6-0)+2×(6-0)×0, 由f(6)=0,则0-f(0)=f(6)+0,即-f(0)=0, 所以f(0)=0,故A错误; 对于B,令x=6,y=3,则f(6)-f(3)=f(6-3)+2×(6-3)×3,因为f(6)=0, 所以0-f(3)=f(3)+18,解得f(3)=-9,故B错误; 对于C,令x=0,则f(0)-f(y)=f(-y)-2y2, 又f(0)=0,所以-f(y)=f(-y)-2y2,则-f(x)=f(-x)-2x2, 当x≠0时,f(-x)=-f(x)+2x2≠-f(x),不满足奇函数的定义, 所以f(x)不是奇函数,故C错误; 对于D,由C选项知,-f(x)=f(-x)-2x2, 即f(x)+f(-x)=2x2≥0, 所以∀x∈R,f(x)+f(-x)≥0,故D正确. 考点二　抽象函数的性质 角度1　抽象函数的单调性 [例2]　已知f(x)为定义在R上且不恒为零的函数,若对∀x,y∈R,都有f(xy)=xf(y)+yf(x)成立. 证明:(1)f(0)=f(1)=0; [证明]　令x=y=0有f(0)=0,令x=y=1有f(1)=0. (2)若当x>1时,f(x)>0,则函数g(x)=在(0,+∞)上单调递增. [证明]　设x2>x1>0,因为g(x)=,所以g(xy)===+=g(x)+g(y), 所以g(x2)=g(x1·)=g(x1)+g().又因为>1,且当x>1时,f(x)>0, 所以g(x2)-g(x1)=g()=>0. 所以函数g(x)=在(0,+∞)上单调递增. 角度2　抽象函数的奇偶性 [例3]　(2026·陕西西安模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x)+f(y)=f(x+y)-2xy+2,f(1)=2,则下列结论正确的是(　　) A.f(4)=12 B.方程f(x)=x有解 C.f(x+)是偶函数 D.f(x-)是偶函数 C [解析]　因为函数f(x)的定义域为R,且满足f(x)+f(y)=f(x+y)-2xy+2,f(1)=2, 取x=y=1,得f(1)+f(1)=f(2)-2+2,则f(2)=4, 取x=y=2,得f(2)+f(2)=f(4)-8+2,则f(4)=14,故A错误; 取y=1,得f(x)+f(1)=f(x+1)-2x+2,则f(x+1)-f(x)=2x, 所以f(x)-f(x-1)=2(x-1),f(x-1)-f(x-2)=2(x-2),…,f(2)-f(1)=2, 以上各式相加得f(x)-f(1)==x2-x, 所以f(x)=x2-x+2, 令f(x)=x2-x+2=x,得x2-2x+2=0,此方程无解,故B错误; 由B知f(x)=x2-x+2, 所以f(x+)=(x+)2-(x+)+2=x2+是偶函数, f(x-)=(x-)2-(x-)+2=x2-2x+不是偶函数,故C正确,D错误. 角度3　抽象函数性质综合应用 [例4]　(多选)已知函数f(x)的定义域为{x|x≠4k+2,k∈Z},且f(x+y)=,f(1)=1,则( 　　) A.f(0)=0 B.f(x)为偶函数 C.f(x)为周期函数,且4为f(x)的一个周期 D.f(2 027)=-1 ACD [解析]　对于A,令x=y=0,得f(0)=0,故A正确; 对于B,令y=-x,则f(0)==0, 因此f(-x)=-f(x), 又f(x)的定义域为{x|x≠4k+2,k∈Z}, 所以f(x)为奇函数,故B错误; 对于C,令y=1,则f(x+1)===-1+, 所以f(x+2)=-1+=-, 因此f(x+4)=-=f(x), 所以f(x)为周期函数,且周期为4,故C正确; 对于D,f(2 027)=f(3)=f(-1)=-f(1)=-1,故D正确. 方法总结 抽象函数性质的判定,常从性质的定义入手,或构造特殊函数. 跟踪训练 2.(2026·河北石家庄模拟)已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足f(xy)=++,则(　　) A.f(x)是奇函数且在(0,+∞)上单调递减 B.f(x)是奇函数且在(-∞,0)上单调递增 C.f(x)是偶函数且在(0,+∞)上单调递减 D.f(x)是偶函数且在(-∞,0)上单调递减 A 解析:令x=y=-1,则f(1)=-2f(1)+1, 所以f(1)=, 令x=y=1,则f(1)=2f(-1)+1,所以f(-1)=-, 令y=-1,则f(-x)=-f(-x)+-=-f(-x)+-=-f(-x)-, 所以f(-x)=-, 令y=1,则f(x)=f(-x)++=--+=,所以f(x)=. 因为f(-x)=-=-f(x),且定义域关于原点对称,所以函数f(x)是奇函数. 由反比例函数的单调性可得函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减. 3.(多选)定义在R上的函数f(x),f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称,恒有f(x-1) =f(3-x),且f(x)在[1,2]上单调递减,则下列结论正确的是(　　) A.直线x=1是f(x)的图象的对称轴 B.周期T=2 C.函数f(x)在[4,5]上单调递增 D.f(5)=0 AC 解析:因为f(x-1)=f(3-x), 所以直线x=1是f(x)的图象的对称轴,故A正确; 因为f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称, 所以函数f(x)的图象关于点(0,0)对称, 又因为f(x)的对称轴为x=1, 所以f(x)的周期T=4,故B错误; 直线x=1是f(x)的对称轴,且函数f(x)在[1,2]上单调递减, 所以函数f(x)在[0,1]上单调递增, 又f(x)的周期T=4, 所以函数f(x)在[4,5]上单调递增,故C正确; 因为f(x)的周期T=4,f(4)=f(0)=0, 则f(5)>f(4)=0,故D错误. $