第2章 第11节 函数与方程-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版 提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数与方程”专题，覆盖函数零点概念、零点存在定理、二分法等高考核心考点，依据高考评价体系明确“判断零点所在区间”“确定零点个数”“利用零点求参数”三大高频考查维度，归纳12类常考题型，体现备考的系统性与针对性。 课件亮点在于“真题解析+方法建模+素养提升”，如以2025天津卷“判断函数零点区间”为例，通过数形结合与零点存在定理推理，培养学生的数学思维与数学眼光，总结“三步定位法”等应试技巧，助力学生高效突破考点，教师可据此精准开展专题复习，提升备考效率。

第十一节　函数与方程 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1.结合学过的函数图象,了解函数的零点与方程解的关系.　2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理,并能简单应用二分法求方程的近似解. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点一　函数的零点 1.函数零点的概念 对于函数y=f(x),x∈D,我们把使f(x)=0的 叫做函数y=f(x),x∈D的零点. 注意:零点不是点,是满足f(x)=0的实数x. 2.三个等价关系 实数x 知识点一　函数的零点 3.函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有 ,那么,函数y=f(x)在区间 内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就是方程f(x)=0的解. f(a)f(b)<0 (a,b) f(c)=0 知识点二　二分法的定义 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 给定精度ε,用二分法求函数y=f(x)零点x0近似值的步骤: (1)确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0. (2)求区间(a,b)的中点x1. 知识点二　二分法的定义 (3)计算f(x1),若f(x1)=0,则x1就是函数f(x)的零点; 若f(a)f(x1)<0(此时零点x0∈(a,x1)),则令b=x1; 若f(b)f(x1)<0(此时零点x0∈(x1,b)),则令a=x1. (4)判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则函数零点的近似值为a(或b);否则重复第(2)~(4)步. 常用结论 1.f(a)f(b)<0是连续函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件. 2.函数零点存在定理中的几个“不一定”与“一定”(假设f(x)连续) (1)若f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)上“一定”存在零点,但“不一定”只有一个零点,可以有多个. 如果f(x)单调,则“一定”只有一个零点.因此分析一个函数零点的个数前,可尝试判断函数是否单调. (2)若f(a)f(b)>0,则f(x)在(a,b)上“不一定”存在零点,也“不一定”没有零点. 此时如果还有条件f(x)单调,那么“一定”没有零点. (3)若f(x)在(a,b)上有零点,则f(a)f(b)的符号是不确定的,f(a),f(b)“不一定”必须异号. 受函数性质与图象影响,如果f(x)单调,则f(a)·f(b)“一定”小于0. 3.连续不断的函数y=f(x),其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. 自我评价 1.函数f(x)=的零点个数为(　　) A.3　　　　　　　　　　 B.2 C.7 D.0 解析:由 解得x=-2或x=e,故f(x)有2个零点. B 2.(人A必修第一册P144练习T2改编)函数y=-ln x的零点所在区间是(　　) A.(3,4) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1) 解析:因为y=在(0,+∞)上单调递减,y=-ln x在(0,+∞)上单调递减,所以函数y=-ln x在(0,+∞)上单调递减.又当x=2时,y=-ln 2>0;当x=3时,y=1-ln 3<0,两函数值异号,所以函数y=-ln x的零点所在区间是(2,3). B 3.下列函数中,不能用二分法求零点的是(　　) A.y=2x B.y=(x-2)2 C.y=x+-3 D.y=ln x 解析:对于B,y=(x-2)2有唯一零点x=2,但函数值在零点两侧同号,则不可用二分法求零点. B 4.(人A必修第一册P156T13改编)若函数f(x)=2x+a在(-1,1)内存在一个零点,则a的取值范围是　　　　.  解析:由题意得f(-1)f(1)=(-2+a)(2+a)<0, 解得 -2<a<2. (-2,2) 关键能力　重点探究 考点一　判断函数零点所在的区间 [例1]　(1)(2025·天津卷)函数f(x)=0.3x-的零点所在区间是(　　) A.(0,0.3)　　　 B.(0.3,0.5) C.(0.5,1) D.(1,2) [解析]　由指数函数、幂函数的单调性可知,y=0.3x在R上单调递减,y=在[0,+∞)上单调递增, 所以f(x)=0.3x-在定义域上单调递减, 显然f(0)=1>0,f(0.3)=0.30.3-0.30.5>0, f(0.5)=0.30.5-0.50.5<0, 所以根据零点存在定理可知f(x)的零点位于(0.3,0.5). B (2)在用二分法求方程x2=3的正实数根的近似值(精确度为0.001)时,若我们选取的初始区间是[1.7,1.8],为达到精确度要求至少需要计算的次数是　　　　　　.  [解析]　设至少需要计算n次,则n满足<0.001,即2n>100,由于26=64,27=128,故要达到精确度要求至少需要计算7次. 7 方法总结 确定函数零点所在区间的常用方法 1.利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续;再看是否有f(a)·f(b)<0,若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. 2.数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 3.解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看求得的根是否在给定区间上. 跟踪训练 1.设方程3x·|log3x|=1的两根分别为x1,x2(x1<x2),则(　　) A.0<x1<1,x2>3 B.x1> C.0<x1x2<1 D.x1+x2>4 C 解析:由3x·|log3x|=1可得|log3x|==()x,在同一平面直角坐标系中画出函数y=|log3x|和y=()x的图象,如图所示. 因为|log31|<()1=,|log32|=log32>()2=,所以由图象可知,0<x1<1<x2<2,所以1<x1+x2<3,故A,D错误;log3(x1x2)=log3x1+log3x2=-(+(,因为x1<x2,所以(>(,所以log3(x1x2)<0,所以0<x1x2<1,即x1<,故B错误,C正确. 2.用二分法求方程ex-8=0在区间(2,3)内的根的近似值,要使二分后精确度达到0.1,则至少需要计算的次数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:∵开区间(2,3)的长度等于1, 每经过一次操作,区间长度变为原来的一半, 经过n次操作后,区间长度变为, 故有<0.1,解得n≥4, ∴至少需要计算4次二分后精确度达到0.1. C 考点二　判断函数的零点个数 [例2]　(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(4+x)=f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2,则f(x)在区间(0,8)上零点的个数为(　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 C [解析]　因为f(4+x)=f(x),所以函数的周期为4, 当x∈[0,2] 时,令f(x)=2x-2=0, 得x=1,即f(1)=0. 因为函数是偶函数且周期为4, 所以有f(1)=f(-1)=f(3)=f(7)=f(-3)=f(5)=0, 所以f(x) 在区间(0,8) 上零点的个数为4. (2)若函数y=f(x)的图象上存在不同的两点M,N关于原点对称,则称点对(M,N)是函数y=f(x)的一对“和谐点对”(点对(M,N)与(N,M)看作同一对“和谐点对”).已知函数f(x)=则此函数的“和谐点对”有(　　) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 B [解析]　作出f(x)=的图象如图所示,由题意可得函数f(x)的“和谐点对”数即为函数y=ex(x<0)和函数y=-x2-4x(x<0)的图象的交点个数.由图象知,函数f(x)有2对“和谐点对”. 方法总结 函数零点个数的判断方法 1.直接求零点. 2.利用零点存在定理,再结合函数的单调性确定零点个数. 3.利用函数图象的交点个数判断. 跟踪训练 3.函数f(x)=lg(x+1)-的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:由得函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,+∞),函数f(x)=lg(x+1)-的零点个数即函数y=lg(x+1)的图象和函数y=的图象的公共点个数, 如图所示. 数形结合可得,函数y=lg(x+1)的图象和函数y= 的图象的公共点个数为2. C 考点三　利用函数零点(图象交点)求参数 [例3]　(1)(2026·陕西安康模拟)若函数f(x)=-ln(x+a)在(0,+∞)上存在零点,则实数a的取值范围是(　　) A.(-,+∞) B.(-e,+∞) C.(-∞,) D.(-∞,e) D [解析]　由题意知,函数y=与g(x)=ln(x+a)的图象在(0,+∞)上有交点. 当a>0时,g(x)=ln(x+a)的图象是由函数y=ln x的图象向左平移a个单位长度得到的, 根据图象可知此时只需要g(0)=ln a<1, 即0<a<e; 当a≤0时,g(x)=ln(x+a)的图象是由函数y=ln x的图象向右平移-a个单位长度得到的, 此时在(0,+∞)上y=与g(x)的图象恒有交点,满足条件. 综上,a<e,即实数a的取值范围是(-∞,e). (2)若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:①P,Q两点分别在函数y=f(x)与y=g(x)的图象上;②P,Q两点关于y轴对称,则称(P,Q)是函数y=f(x)与y=g(x)的一个“伙伴点组”(点组(P,Q)与(Q,P)看作同一个“伙伴点组”).若函数f(x)=与g(x)=|x+a|+1有两个“伙伴点组”,则实数a的取值范围是　　　　　　.  (e,+∞) [解析]　在同一平面直角坐标系中作出函数 h(x)=与g(x)=|x+a|+1的图象,由图可得当h(x)=1时,x=-e,又g(x)的图象是由y=|x|+1的图象左移a个单位长度得到,所以a的取值范围是(e,+∞). 方法总结 函数零点应用的策略 1.转化:把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况. 2.列式:根据函数零点存在定理或结合函数图象列式. 3.结论:求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围. 跟踪训练 4.若存在实数a使得函数f(x)=2x+2-x-ma2+a-3有唯一零点,则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞,] B.(-∞,0] C.[0,] D.(0,) A 解析:令t=2x(t>0),则t是增函数,令y=t+, 由对勾函数的性质知y=t+在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 所以当t=1时,ymin=2,此时x=0. 因为f(x)有唯一零点,则零点为x=0, f(0)=-ma2+a-1=0,当m=0时,a=1有解;当m≠0时,Δ=1-4m≥0,m≤且m≠0. 综上,m≤. 函数值的等高线 教材延展 知识背景 对于函数y=f(x),若f(x1)=f(x2)=f(x3)=…=t,则直线y=t叫做函数y=f(x)的等高线. 对于函数y=f(x),y=g(x),若∃x1,x2,使得f(x1)=g(x2)=t,则y=t叫做这两个函数的等高线. 从以上定义可知,等高线问题的实质是函数零点问题,这类问题一般涉及的参数较多,基本的处理策略是通过统一变量,多元归一,化为一元函数来研究. [例]　(1)(多选)已知函数f(x)=下列有关方程f(x)=k(k<0)的实数解个数说法正确的是(　　) A.当实数解的个数为1时,k<-4 B.当实数解的个数为2时,-3<k<0 C.当实数解的个数为3时,-4<k≤-3 D.当实数解的个数为3时,-4<k<-3 AC [解析]　根据题意,函数f(x)的图象及直线y=k(k<0)如图所示. 当k<-4时,方程有一个解,故A正确; 当k=-4或-3<k<0时,方程有两个解,故B错误; 当-4<k≤-3时,方程有三个解,故C正确,D错误. (2)已知函数f(x)=|log2|x-1||,若方程f(x)=a(a>0)的4个不同实根从小到大依次为x1,x2,x3,x4,有以下三个结论:①x1+x4=2且x2+x3=2;②当a=1时,+=1且+=1;③+=0.其中正确的结论个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 D [解析]　函数f(x)=|log2|x-1||的图象如图所示, 可知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,又x1<x2<x3<x4,可得x1+x4=2且x2+x3=2,故结论①正确; 当a=1时,由|log2|x-1||=1,解得log2|x-1|=±1, 即|x-1|=2或,解得x1=-1,x2=,x3=,x4=3, 此时+=1和+=1均成立,故结论②正确; 由图可知x1<0<x2<1<x3<2<x4, 则由f(x3)=f(x4)得-log2(x3-1)=log2(x4-1), 解得(x3-1)(x4-1)=1,即+=1, 同理可得+=1, 由①有=,=, 则2(+)=+=+=++2=2,解得+=0, 故结论③正确. 已知函数零点个数(方程根的个数) 求参数值(取值范围)常用的方法 1.直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围. 2.分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决. 3.数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解. 方法总结 1.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=若函数y=f(x)-m仅有4个零点,则实数m的取值范围是(　　) A.(1,) B.(0,) C.[0,) D.(-∞,) 跟踪训练 A 解析:当0≤x≤2时,f(x)=x2,此时f(x)单调递增, 当x>2时,f(x)=()x+1,此时f(x)单调递减.又函数f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于y轴对称,作出函数f(x)的图象. 因为函数y=f(x)-m仅有4个零点,所以函数y=f(x)与y=m的图象有4个交点,根据图象可知,1<m<,即实数m的取值范围是(1,). 2.设函数f(x)=关于x的方程f(x)=t有四个实根x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),则x1+x2+x3+x4的最小值为　　　　　　.  10 解析:作出函数f(x)的大致图象,如图所示. 由图可知x1+x2=4,由|log2(x-4)|=f(2)=4,得x=或x=20,则5<x4<20.又因为log2(x3-4)+log2(x4-4)=0,所以(x3-4)·(x4-4)=1, 所以x3=+4,则x3+x4=(x4-4)++5,且x4-4∈(1,16), 所以x3+x4≥2+5=6,当且仅当(x4-4)=,即x4=6时,等号成立,故x1+x2+x3+x4的最小值为10. $