第2章 教材拓展4 抽象函数问题(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“抽象函数”专题，依据高考评价体系梳理了求值、奇偶性、单调性、周期性及综合问题五大核心考点，通过教材母题与近三年高考真题分析，明确周期性、综合问题占比达60%的高频考点，归纳出选择、填空、解答题三类常考题型。 课件亮点在于“赋值法+构造函数法”双策略突破，如以2022新高考Ⅱ卷周期性问题为典例，详解周期推导与函数值计算，培养学生数学思维与逻辑推理素养。设“规律方法+对点练”模块，通过高考真题变式训练，帮助学生掌握抽象函数性质判断技巧，教师可据此精准定位学生薄弱点，提升复习效率。

教材拓展4 抽象函数问题 高三总复习 数学(人教A版) 第二章　函数与基本初等函数 教材母题 1.(人教A必修一P87T12)已知函数f(x)是偶函数，而且在(0，＋∞)上单调递减，判断f(x)在(－∞，0)上单调递增还是单调递减，并证明你的判断. 2.(人教B必修一P140B组T3)已知函数y＝f(x)是R上的增函数，y＝g(x)是R上的减函数，求证：f(x)－g(x)在R上是增函数. 3.(人教B必修二P52A组T5)已知函数f(x)＝3x，求证： (1)f(a)f(b)＝f(a＋b)；(2)＝f(a－b). 知能拓展 1.抽象函数 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式，只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，其构思新颖，条件隐蔽. 2.解决抽象函数问题的基本策略 (1)赋值法.(2)构造具体函数法. 3.常见的抽象函数模型 (1)对于正比例函数f(x)＝kx(k≠0)，与其对应的抽象函数为f(x±y)＝f(x)±f(y). (2)对于一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，与其对应的抽象函数为f(x±y)＝f(x)±f(y)∓b. (3)对于反比例函数f(x)＝，与其对应的抽象函数为f(x＋y)＝. (4)对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，与其对应的抽象函数为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2axy－c. (5)对于指数函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，与其对应的抽象函数为f(x＋y)＝ f(x)f(y)或f(x－y)＝. (6)对于对数函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)，与其对应的抽象函数为f(xy)＝f(x)＋f(y)或f＝f(x)－f(y). (7)对于正弦函数f(x)＝sin x，与其对应的抽象函数为f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y). (8)对于余弦函数f(x)＝cos x，与其对应的抽象函数为f(x)＋f(y)＝2ff或f(x)f(y)＝[f(x＋y)＋f(x－y)]. (9)对于正切函数f(x)＝tan x，与其对应的抽象函数为f(x±y)＝. 题型一　抽象函数求值 (一题多解)(1)已知函数f的定义域是R，且f(x＋y)＝f(x)f(y)，f＝2，则f＋f＝ A.4 B.5 C.6 D.7 典例应用 典例1 √ 法一(赋值法)：由题意知，令x＝0，y＝1，则f＝f(0)f(1).又f＝2，所以f＝1，再令x＝y＝1，所以f＝f(1)f(1)＝4，所以f＋f＝5.故选B. 法二(构造特殊函数)：由定义域在R上的函数f满足f＝f(x)f(y)，可设f＝ax(a＞0且a≠1)，因为f＝2，所以a＝2，即f＝2x，所以f＋f＝5.故选B. 法一(赋值法)：由题意知，f(4)＝f(2)＋f(2)＝2f(2)，f(8)＝f(4)＋f(2)＝3f(2).因为f(8)＝3，所以3f(2)＝3，即f(2)＝1.再令x＝y＝，所以f(2)＝f()＋f()＝2f()，解得f()＝. 法二(构造特殊函数)：由定义域在(0，＋∞)上的函数f满足f＝f(x)＋f(y)，可设f(x)＝logax(a＞0且a≠1).因为f＝3，所以a＝2，即f(x)＝log2x，所以f＝. (2)设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(xy)＝f(x)＋f(y)，若f(8)＝3，则f()＝____. 　　抽象函数求值常用赋值法，赋值主要是从－2，－1，0，1，2等特殊值中选值代入求抽象函数的函数值. 规律方法 法一(赋值法)：令x＝y＝1，所以f＝f(1)＋f(1)＋2＝4.令x＝2，y＝1，所以f＝f(2)＋f(1)＋4＝9.令x＝y＝2，所以f＝f(2)＋f(2)＋8＝16.令x＝3，y＝2，所以f＝f(3)＋f(2)＋12＝25.所以归纳f＝252＝625.故选C. 法二(构造特殊函数)：因为f＝f(x)＋f(y)＋2xy，所以构造函数f＝x2，满足f(1)＝1，所以f＝252＝625.故选C. 对点练1.(一题多解)已知函数f满足f＝f(x)＋f(y)＋2xy，且f＝1，则f＝ A.25 B.125 C.625 D.15 625 √ 题型二　抽象函数的奇偶性 (多题同解)根据下列已知条件，证明函数的奇偶性： (1)已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，证明f(x)为奇 函数； 典例2 证明：令x＝y＝0，所以f(0＋0)＝f(0)＋f(0)， 解得f(0)＝0. 再令x＋y＝0，所以f(0)＝f(x)＋f(－x)， 即0＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数. (2)已知函数f(x)是定义在R上且不恒为零的函数，对任意x，y∈R，都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)，证明f(x)为奇函数； 证明：令x＝y＝0，所以f(0)＝0f(0)＋0f(0)， 解得f(0)＝0. 再令x＝y＝1，所以f(1)＝2f(1)，可得f(1)＝0，则f(0)＝f(1)＝0. 令x＝y＝－1，f(1)＝－2f(－1)＝0，则f(－1)＝0. 令y＝－1，f(－1×x)＝xf(－1)＋(－1)f(x)，所以f(－x)＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数. (3)已知函数f(x)是定义在上不恒为零的函数，对任意x，y∈R，都有f(xy)＝＋，证明f(x)为偶函数. 证明：令x＝y＝1，所以f(1)＝2f(1)，解得f(1)＝0. 再令x＝y＝－1，则f(1)＝2f(－1)，故f(－1)＝0. 令y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋＝f(x)， 所以函数f(x)为偶函数. 　　判断或证明抽象函数的奇偶性，需要根据已知，巧妙赋值，配凑出f(－x)与f(x)的关系. 规律方法 因为f＝f＋f，令x＝y＝－1，可得f＝f＋f，则f(－1)＝0；令y＝－2－x，则f(－1)＝f(x)＋f(－2－x)＝0，故f(x)的图象关于点(－1，0)对称，则f(x－1)的图象关于点(0，0)对称，即f(x－1)是奇函数，故B正确；对于C，令x＝y＝0，可得f＝f＋f，则f＝f，当f≠2时，f－1≠0，此时f－1不可能是奇函数，由于无法确定f的值，故f－1不一定是奇函数(如f(x)＝0)，故C错误；对于A，D，取f＝x＋1，满足题意，但易知A，D错误.故选B. 对点练2.已知函数f满足f＝f＋f，则下列结论一定正确的是 A.f＋1是奇函数 B.f是奇函数 C.f－1是奇函数 D.f是奇函数 √ 对点练3.(一题多解)已知函数f(x)的定义域是R，且满足f(x)＋f(y)＝f(x＋y)－2xy＋2，f(1)＝2，则下列结论正确的是 A.f(4)＝12 B.方程f(x)＝x有解 C.f是偶函数 D.f是偶函数 √ 法一：对于A，因为函数f(x)的定义域是R，且满足f(x)＋f(y)＝f(x＋y)－2xy＋2，f(1)＝2，取x＝y＝1，得f(1)＋f(1)＝f(2)－2＋2，则f(2)＝4，取x＝y＝2，得f(2)＋f(2)＝f(4)－8＋2，则f(4)＝14，故A错误；对于B，取y＝1，得f(x)＋f(1)＝f(x＋1)－2x＋2，则f(x＋1)－f(x)＝2x，所以f(x)－f(x－1)＝2(x－1)，f(x－1)－f(x－2)＝2(x－2)，…，f(2)－f(1)＝2，以上各式相加得f(x)－f(1)＝＝x2－x，所以f(x)＝x2－x＋2，令f(x)＝x2－x＋2＝x，得x2－2x＋2＝0，此方程无解，故B错误；对于C、D，由B知f(x)＝x2－x＋2，所以f＝－＋2＝x2＋是偶函数，f＝－＋2＝x2－2x＋不是偶函数，故C正确，D错误.故选C. 法二：因为f(x)＋f(y)＝f(x＋y)－2xy＋2，所以构造函数f(x)＝ax2＋bx＋c，代 入整理得c＝(2a－2)xy＋2，所以解得a＝1，c＝2，所以函 数f(x)＝x2＋bx＋2.又f(1)＝2，所以b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋2，结合选项知，C正确，A、B、D错误.故选C. 题型三　 抽象函数的单调性 (原创题)已知定义在R上的函数f(x)满足： ①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；②当x＞0时，f(x)＞－1. (1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数； 典例3 解：令x＝y＝0，得f(0)＝－1. 在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1－x2)＞－1. 又f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1＞f(x2)， 所以函数f(x)在R上是增函数. (2)若f(1)＝1， (ⅰ)求f(2 026)的值； 解：令y＝1，得f(x＋1)＝f(x)＋f(1)＋1，所以f(x＋1)－f(x)＝2， f(2)－f(1)＝2， f(3)－f(2)＝2， f(4)－f(3)＝2， …… f(2 026)－f(2 025)＝2， 相加整理得，f(2 026)＝f(1)＋2×2 025＝4 051. (ⅱ)解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4. 解：由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5. 由f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4， 得f(x2＋2x)＋f(1－x)＋1＞5，即f(x2＋x＋1)＞f(3). 又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1＞3，解得x＜－2或x＞1， 故原不等式的解集为{x｜x＜－2，或x＞1}. 　　抽象函数的单调性的判断或证明主要是利用单调性的定义进行判断. 规律方法 对点练4.已知定义在R上的函数f满足∀x，y∈R，f＝f·f＋f＋2x－3，f＝－1，则不等式f＞3－2x的解集为 A. B. C. D. √ 令x＝y＝0，得f(－1)＝f(0)·f(0)＋f(0)－3＝－3.令y＝0，得f(－1)＝f(x)f(0)＋f(0)＋2x－3，解得f(x)＝2x－1，则不等式f(x)＞3－2x转化为2x＋2x－4＞0.因为y＝2x＋2x－4是增函数，且2×1＋21－4＝0，所以不等式f(x)＞3－2x的解集为(1，＋∞).故选A. 题型四　抽象函数的周期性 (1)(一题多解)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域是R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则f(k)＝ A.－3 B.－2 C.0 D.1 典例4 √ 法一(赋值法)：因为f＋f(x－y)＝ff，令x＝1，y＝0，可得2f＝f(1)f(0)，所以f＝2.令x＝0，可得f＋f＝2f，即f＝f，所以函数f为偶函数，令y＝1，得f＋f＝ff＝f，即有f＋f＝f，从而可知f＝－f，f＝－f，故f(x＋2)＝f，即f＝f，所以函数f的一个周期为6.因为f＝f－f＝1－2＝－1，f＝f－f＝－1－1＝－2，f(4)＝f＝f＝－1，f＝f＝f＝1，f＝f＝2，所以一个周期内的f＋f＋…＋f＝0.由 于22除以6余4，所以f＝f＋f＋f＋f＝1－1－2－1＝－3. 故选A. 法二(构造特殊函数)：由f＋f＝ff，设f＝acos ωx，则由法一中f＝2，f＝1知a＝2，acos ω＝1，解得cos ω＝，取ω＝，所以f＝2cos x，则f＋f(x－y)＝2cos＋2cos＝4cosxcosy＝ff，所以f＝2cosx符合条件，因此f(x)的周期T＝＝6，f＝2，f＝1，且f＝－1，f＝－2，f＝－1，f＝1，f＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0，由于22除以6余4，所以f＝f＋f＋f＋f＝1－1－2－1＝－3.故选A. 因为f(1＋x)＋f(1－x)＝f(x)，则f(1－x)＋f(1＋x)＝f(－x)，可得f(x)＝f(－x)，所以f(x)为偶函数，由f(1＋x)＋f(1－x)＝f(x)可得f(2＋x)＋f(－x)＝f(x＋1)，即f(2＋x)＋f(x)＝f(x＋1)，整理得f(2＋x)＋f(1－x)＝0，可得f(3＋x)＋f(－x)＝f(3＋x)＋f(x)＝0，则f(6＋x)＋f(3＋x)＝0，可得f(6＋x)＝f(x)，所以6为f(x)的周期，由f(1＋x)＋f(1－x)＝f(x)，f(0)＝2，令x＝0，可得f(1)＋f(1)＝f(0)＝2，可得f(1)＝1；令x＝1，可得f(2)＋f(0)＝f(1)＝1，可得f(2)＝－1；所以f(20)＋f(24)＝f(2)＋f(0)＝－1＋2＝1. (2)已知函数f(x)的定义域是R，且f(1＋x)＋f(1－x)＝f(x)，f(0)＝2，则f(20)＋f(24)＝___. 1 1.利用赋值法求出函数的周期. 2.抽象函数具体化，结合具体函数简单明了. 规律方法 因为定义在R上的函数f(x)满足f(x－y)－f(x＋y)＝f(x－1)f(y)，且f(－1)＝－2，所以令y＝－1，可得f(x＋1)－f(x－1)＝f(x－1)f(－1)＝－2f(x－1)，所以f(x＋1)＋f(x－1)＝0，所以f(x＋2)＋f(x)＝0，所以f(x＋4)＋f(x＋2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期为4.再令x＝0，可得f(－y)－f(y)＝f(－1)f(y)＝－2f(y)，所以f(－y)＋f(y)＝0，所以f(x)为奇函数，所以f(2 025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝2.故选D. 对点练5.(2025·山东烟台、德州二模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－y)－f(x＋y)＝f(x－1)f(y)，且f(－1)＝－2，则f(2 025)＝ A.－2 B.0 C.1 D.2 √ 题型五　抽象函数的综合问题 (1)(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f的定义域是R，f＝y2f＋x2f，则 A.f＝0 B.f＝0 C.f是偶函数 D.x＝0为f的极小值点 典例5 √ √ √ 法一(赋值法)：因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y).对于A，令x＝y＝0，f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正确；对于B，令x＝y＝1，f(1)＝1×f(1)＋1×f(1)，则f(1)＝0，故B正确；对于C，令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0，令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)，又函数f(x)的定义域是R，所以f(x)为偶函数，故C正确；对于D，不妨令f(x)＝0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误.故选ABC. 法二(构造特殊函数)： 当x2y2≠0时，对f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)两边同时除以x2y2，得到＝＋，故可以设＝ln(x≠0)，则f(x)＝显然f(x)为偶函数，且f(0)＝f(1)＝0，当x＞0时，f(x)＝x2ln x，则f'＝2xln x＋x2·＝x(2ln x＋1)，令f'＜0，得0＜x＜；令f'＞0，得x＞；故f(x)在上单调递减，在上单调递增，因为f(x)为偶函数，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，显然，此时x＝0是f(x)的极大值点，故D错误，A、B、C正确.故选ABC. (2)(多选)已知函数f的定义域为R，且f(x＋y)f＝f2(x)－f2，f＝1，f＝0，则下列说法中正确的是 A.f为偶函数 B.f＝－1 C.f＝－f D.f＝0 √ √ 法一(赋值法)：对于A，因为f(x)的定义域是R，且ff＝f2－f2，令x＝y＝0，则f(0)f(0)＝f2(0)－f2(0)，故f2(0)＝0，则f(0)＝0，令x＝0，则ff＝－f2，又f(1)＝1，则f(y)不恒为0，故f(－y)＝－f(y)，f(x)为奇函数，故A错误；对于B，令x＝2，y＝1，则f(3)f(1)＝f2(2)－f2(1).而f＝1，f＝0，所以f(3)＝－1，故B正确；对于C，由B可知，f(3)＝－1，令x＝3，y＝2，则f(5)f(1)＝f2(3)－f2(2)，所以f(5)＝1.又因为f(－1)＝－1，所以f＝－f(5)，故C正确；对于D，令y＝2，则f(x＋2)f(x－2)＝f2(x)，令x＝5，7，9，可得f(7)＝－1，f(9)＝1，f(11)＝－1，所以f(2k＋1)＝(－1)k，令x＝2k＋2，y＝2k得f2(2k＋2)－f2＝ff＝f(4k＋2)×0＝0，结合f＝0递推可得f(2k)＝0.因为2 026＝4×506＋2，故f＝f(1)＋f(2)＝1，故D错误.故选BC. 法二(构造特殊函数)：由ff＝f2－f2，设f＝asin ωx，由f＝1，f＝0，得f＝sin x，所以f＝sinx是奇函数，f＝sin＝－1，故A错误，B正确；又T＝4，所以f＝f＝1，而f＝－1，所以f＝－f，故C正确；由f＝sin x得，f＋ f＋f(3)＋f＝0，所以f＝506[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋ f(2)＝f(1)＋f(2)＝1，故D错误.故选BC. 1.抽象函数具体化，类比具体函数的性质解决. 2.利用赋值法，紧扣定义与条件的结构表达式，结合函数性质转化求解. 规律方法 对点练6.(多选)已知函数f(x)的定义域是R，且f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)，当x＞0时，f(x)＞0，且f(2)＝3，则 A.f(1)＝1 B.函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增 C.函数f(x)是奇函数 D.函数f(x)的一个解析式为f(x)＝2x－1 √ √ √ 对于A，因为f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)，当x＞0时，f(x)＞0，f(2)＝3.令x＝y＝1，则f(2)＝[f(1)]2＋2f(1)＝3，解得f(1)＝1，故A正确；对于B，任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x2＞x1，则f(x2)＝f(x1＋(x2－x1))＝f(x1)f(x2－x1)＋f(x1)＋f(x2－x1)，因为当x＞0时，f(x)＞0，所以f(x2－x1)＞0， f(x1)＞0，所以f(x1)f(x2－x1)＋f(x1)＋f(x2－x1)＞f(x1)，即f(x2)＞f(x1)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，令x＝y＝0，则f(0)＝[f(0)]2＋2f(0)，解得f(0)＝0或f(0)＝－1，当f(0)＝0，令y＝－x，x＞0，则0＝f(x)f(－x)＋f(x)＋f(－x)，若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，即0＝－f2(x)＋f(x)－f(x)，解得f(x)＝0，与题意矛盾；当f(0)＝－1时，f(x)不为奇函数.综上所述，函数f(x)不是奇函数，故C错误；对于D，当f(x)＝2x－1，则f(x＋y)＝－1，f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)＝(2x－1)(2y－1)＋(2x－1)＋(2y－1)＝－2x－2y＋1＋2x－1＋2y－1＝－1，所以f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)，易得f(x)＝2x－1在R上单调递增，所以x＞0时，f(x)＝2x－1＞20－1＝0，f(2)＝22－1＝3，故函数f(x)的一个解析式为f(x)＝2x－1，故D正确.故选ABD. (多选)已知函数f对任意的x，y∈R，都有f＋f＝2ff，且f≠0，f＝－1，则 A.f＝1 B.f是奇函数 C.f的周期为4 D.n2f＝5 100，n∈N* 教师备选 √ √ √ 法一(赋值法)：由f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，令x＝y＝0，则2f(0)＝2，又f(0)≠0，所以f(0)＝1，故A正确；令x＝0，则f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，所以f(－y)＝f(y)，所以f(x)是偶函数，故B错误；令x＝y＝1，则f(2)＋f(0)＝2＝0，所以f(1)＝0，令y＝1，则f(x＋1)＋f(x－1)＝2f(x)f(1)＝0，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，故C正确；由f(x＋2)＝－f(x)，得f(3)＝－f(1)＝0，f(4)＝－f(2)＝1，所以n2f(n)＝－22＋42－62＋82－…－982＋1002＝(2＋4)(－2＋4)＋(6＋8)(－6＋8)＋…＋(98＋100)(－98＋100)＝2×(2＋4＋6＋…＋98＋100)＝＝5 100，故D正确.故选ACD. 法二(构造特殊函数)：由f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，设f(x)＝cos ωx，由法一得，f(0)＝1.又因为f(2)＝－1，知f(x)＝cosx，所以f(x)＝cosx是以 4为周期的偶函数，故A、C正确，B错误；对于D，n2f(n)＝n2cos＝－22＋42－62＋82－…－982＋1002＝(2＋4)(－2＋4)＋(6＋ 8)(－6＋8)＋…＋(98＋100)(－98＋100)＝2×(2＋4＋6＋…＋98＋100)＝＝5 100，故D正确.故选ACD. 谢 谢 观 看 抽象函数问题 $