第2章 第7节 指数与对数的运算-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版 提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦“指数与对数的运算”核心考点，依据高考评价体系明确运算性质掌握、换底公式应用及实际问题解决三大考查要求。通过系统梳理根式性质、指数幂法则、对数运算法则等知识网络，结合近五年真题分析，明确指数幂化简、对数运算、实际应用为高频考点，归纳出选择、填空、计算等常考题型。 课件亮点在于“真题引领+技巧总结+素养提升”的备考设计，如以2024全国甲卷对数方程题为例，示范换底公式转化与方程求解技巧，培养学生数学思维中的运算能力与推理意识。方法总结中“先统一形式再运算”等策略，帮助学生掌握答题规律，教师可依托此课件实现考点精准突破，助力学生高效冲刺高考。

第七节　指数与对数的运算 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1.通过对有理数指数幂(a>0,且a≠1;m,n∈Z,且n≠0)、实数指数幂ax(a>0,且a≠1;x∈R)含义的认识,掌握指数幂的运算性质.　2.理解对数的概念和运算性质,利用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.　3.能够利用指数与对数运算解决一些简单的实际问题. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点一　指数与指数运算 1.根式的性质 (1)()n=a(a使有意义). (2)当n为奇数时,= ; 当n为偶数时,= = a |a| 知识点一　指数与指数运算 2.分数指数幂的意义 分数 指数幂 正数的正分数指数幂 规定:=(a>0,m,n∈N*,n>1) 正数的负分数指数幂 规定:==(a>0,m,n∈N*,n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂 _________ 没有意义 3.有理数指数幂的运算性质 (1)aras= (a>0,r,s∈Q). (2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q). (3)(ab)r= (a>0,b>0,r∈Q). 4.无理数指数幂 无理数指数幂aα(a>0,α为无理数)是一个确定的实数.整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂. ar+s arbr 知识点一　指数与指数运算 知识点二　对数与对数运算 1.对数的概念 如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作 ,其中 叫做对数的底数, 叫做真数. x=logaN a N 知识点二　对数与对数运算 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①= (a>0,且a≠1); ②logaaN= (a>0,且a≠1); ③零和负数没有对数. N N 知识点二　对数与对数运算 (2)对数的运算法则(a>0,且a≠1,M>0,N>0) ①loga(MN)= ; ②loga= ; ③logaMn= (n∈R). (3)对数的重要公式 ①换底公式:logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1); ②logab=(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1). logaM+logaN logaM-logaN nlogaM 常用结论 1.lg 2+lg 5=1. 2.换底公式的变形:logab·logbc·logcd=logad,lobn=logab(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1;c>0,且c≠1;d>0;m≠0). 3.对数值的符号规律:logab>0⇔(a-1)(b-1)>0,logab<0⇔(a-1)(b-1)<0(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1). 自我评价 1.计算:2lg -lg =(　　) A.10　　　　　　　　　 B.1 C.2 D.lg 5 解析:原式=lg()2+lg =lg 5+lg 2=lg 10=1. B 2.(多选)设a>0,则下列各式不正确的有(　　 ) A.=a B.()4=a C.=-4 D.log2x2=2log2x ACD 3.若xlog23=1,则3x+3-x=(　　) A. B. C. D. 解析:法一:由题得x==log32,所以3x+3-x=+=2+=. 法二:由xlog23=1,得3x=2,可得3x+3-x=2+=. A 4.计算:()-2++lo4=　　　　　.  解析:()-2++4=22++=4+2+4=10. 10 关键能力　重点探究 考点一　根式、指数式的化简与求值 [例1]　(多选)下列运算正确的是(式中字母均是正数)(　　) A.0.2+()0-2-1=0 B.(-()0.5+(0.008×+(π-1)0= C.(2·)(-6·)÷(-3·)=1 D.若+=,则= BD [解析]　对于A,原式=0.5+1-=1,A错误; 对于B,原式=()-2-+()-2×+1=-+25×+1=-+2=,B正确; 对于C,原式=(2)(-6)÷(-3)=[2×(-6)÷(-3)] ·=4ab0=4a,C错误; 对于D,当+=时,(+)2=x+2+x-1=6,得x+x-1=4,由(x+x-1)2 =x2+2+x-2=16,得x2+x-2=14,所以==,D正确. 方法总结 指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意: 1.有括号的先算括号里的,无括号的先进行指数运算. 2.先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. 3.底数是负数的,先确定符号;底数是小数的,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数. 4.若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示. 跟踪训练 1.(多选)下列计算正确的是(　　) A.= B.4÷(-)=-6a C.= D.已知x2+x-2=2,则x+x-1=2 BC 解析:对于A,====≠,所以A错误; 对于B,4÷(-)=-6=-6a,所以B正确; 对于C,====,所以C正确; 对于D,因为(x+)2=x2+2+=4,所以x+=±2,所以D错误. 考点二　对数式的化简与求值 角度1　对数的运算与化简 [例2]　(1)(多选)(原创)下列等式成立的是(　 　) A.=1 B.(2log43+log83)(log32+log92)=1 C.(+ln(ln e)=6 D.已知lg 2=a,lg 3=b,用a,b表示log1815= ACD [解析]　==1,故A正确; (2log43+log83)(log32+log92)=(2×log23+log23)·(log32+log32)=log23×log32=2,故B错误; (+ln(ln e)=+ln 1=6+0=6,故C正确; log1815== ==,故D正确. (2)(2024·全国甲卷)已知a>1,且-=-,则a=　　　　　.  [解析]　由-=-log2a=-,得(log2a)2-5log2a-6=0,∴log2a=-1或log2a=6. 又a>1,∴log2a=6=log226,故a=26=64. 64 角度2　指数与对数的综合运算 [例3]　(1)(2026·江苏南通模拟)已知a=log2(+),则4-a =(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. [解析]　因为a=log2(+),所以2a=+, 所以4a=(2a)2=(+)2=10,所以4-a==. D (2)(2026·福建泉州模拟)设0.2a=0.3,b=log20.3,则(　　) A.ab<a+b<0 B.a+b<ab<0 C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b A [解析]　由0.2a=0.3,得a=log0.20.3=>0, 由b=log20.3,得b=<0, =+=+==>0. 又因为ab<0,所以a+b<0. 又因为=<=1,且ab<0, 所以a+b>ab. 综上,ab<a+b<0. (3)(2025·八省联考)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a=　　　　　　.  [解析]　由f(ln 2)f(ln 4)=8,可得aln 2·aln 4=8,即aln 2+ln 4=8,即aln 8=,所以ln 8=loga8,解得a=e. e 方法总结 对数运算的一般思路 1.将真数化为底数的指数幂的形式进行化简. 2.将同底对数的和、差、倍合并. 3.ab=N⇔b=logaN(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化. 4.利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式. 跟踪训练 2.若2a=3,3b=5,5c=4,则log4(abc)=(　　) A.-2 B. C. D.1 解析:由2a=3,3b=5,5c=4, 可得a=log23,b=log35,c=log54, 所以abc=log23×log35×log54=××=2,则log4(abc)=log42=. B 3.已知a>b>1,若logab+logba=,ab=ba,则a=　　　　　,b=　　　　　.  解析:设logba=t,则t>1.因为t+=, 所以t=2,则a=b2.又ab=ba, 所以b2b=,即2b=b2. 又a>b>1,解得b=2,a=4. 4 2 考点三　实际问题中的指数与对数的运算 [例4]　(1)(2025·北京卷)在一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位:小时),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20小时;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加(单位:小时)(　　) A.2 B.4 C.20 D.40 B [解析]　设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1,T2,T3, 由题意,T1=klog2106=6klog210, T2=klog2(1.024×109)=klog2(210×106)=k(10+6log210), T3=klog2(4.096×109)=klog2(212×106)=k(12+6log210). 因为T2-T1=k(10+6log210)-6klog210=10k=20,所以k=2, 所以T3-T2=k(12+6log210)-k(10+6log210)=2k=4, 所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加4小时. (2)对数螺线广泛应用于科技领域,某种对数螺线可以用ρ=α表示,其中α为正实数,φ是极角,ρ是极径.则φ每增加个单位,ρ变为原来的(　　) A.倍 B.倍 C.倍 D.eπ倍 B [解析]　当极角是φ时,ρ=α·, 当极角增加个单位时,ρ'=α·, ∴==, ∴ρ'=ρ. 跟踪训练 4.已知某种蓄电池的容量C(单位:Ah)、放电时间t(单位:h)和放电电流I(单位:A)之间关系的经验公式:C=Iλt,其中λ为与蓄电池结构有关的常数,在电池容量不变的条件下,当放电电流为7.5 A时,放电时间为60 h;当放电电流为25 A时,放电时间为15 h,则常数λ约为(参考数据:lg 2≈0.301, lg 3≈0.477)(　　) A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.15 D 解析:由题意知C=7.5λ×60=25λ×15, 所以()λ=()λ==4, 两边取以10为底的对数,得λlg =2lg 2, 所以λ=≈≈1.15. $