第2章 第5节 函数的对称性-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版 提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦函数对称性专题，覆盖轴对称、中心对称、两函数对称及对称性与周期、导数关系等核心考点，依据高考评价体系明确推导公式、解决问题的考查要求，通过真题分析（如2024新课标Ⅰ卷证明题）归纳选择、填空、解答常考题型，备考针对性强。 课件亮点在于“知识梳理+考点探究+真题实战”模式，以2024新课标Ⅰ卷中心对称证明题为例，通过平移分析、点对称关系等方法培养数学思维与符号表达能力，设易错警示与答题模板，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此高效指导复习。

第五节　函数的对称性 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1.能通过平移,分析得出一般的轴对称和中心对称公式与推论.　2.会利用对称公式解决问题. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点　函数的对称性 1.已知函数f(x)是定义在R上的函数. (1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线_________对称. 特别地,若函数y=f(x)满足f(a-x)=f(a+x),或f(x) =f(2a-x),则函数的图象关于直线x=a对称. x= 知识点　函数的对称性 (2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点__________对称. 特别地,若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x)或f(x)+f(2a-x)=0则函数的图象关于点 对称. (3)若f(kx+a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为 ;若f(kx+a)是奇函数,则函数f(x)图象的对称中心为 . (,) (a,0) x=a (a,0) 知识点　函数的对称性 2.两个函数图象的对称 (1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 对称. (2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 对称. (3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 对称. y轴 x轴 原点 常用结论 函数f(x) 图象的对称性与周期的关系 1.若函数f(x) 的图象关于直线x=a 与直线x=b 对称,则函数f(x) 的周期为2|b-a|. 2.若函数f(x) 的图象既关于点(a,0) 对称,又关于点(b,0) 对称,则函数f(x) 的周期为2|b-a|. 3.若函数f(x) 的图象既关于直线x=a 对称,又关于点(b,0) 对称,则函数f(x) 的周期为4|b-a|. 4.设函数f(x) 及其导函数f'(x) 的定义域均为R. (1)若f(x) 的图象关于直线x=a 对称,则f'(x) 的图象关于点(a,0) 对称; (2)若f(x) 的图象关于点(a,b) 对称,则f'(x) 的图象关于直线x=a 对称; (3)若f(x) 是以T 为周期的函数,则f'(x) 也是以T 为周期的函数. 自我评价 1.(人A必修第一册P87T13改编)函数f(x)=的图象的对称中心为(　　) A.(0,0)　　　　　　　　 B.(0,1) C.(1,0) D.(1,1) 解析:因为f(x)==1+,由y=的图象向上平移一个单位长度得到y=1+的图象, 又y=的图象关于点(0,0)对称, 所以f(x)=1+的图象关于点(0,1)对称. B 2.下列函数与y=ex关于直线x=1对称的是(　　) A.y=ex-1 B.y=e1-x C.y=e2-x D.y=ln x 解析:记f(x)=ex,则关于直线x=1对称的是f(2-x)=e2-x,即y=e2-x. C 3.已知函数y=f(x+2)-3是奇函数,且f(4)=2,则f(0)=　　　　　.  解析:法一:∵y=f(x+2)-3是奇函数, ∴f(-x+2)-3=-f(x+2)+3, 令x=2,f(0)-3=-f(4)+3,得f(0)=4. 法二:由y=f(x+2)-3是奇函数, 得f(x)关于点(2,3)对称, 故f(0)+f(4)=6,即f(0)=4. 4 4.若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且当x∈[2,3]时,f(x)=2x-1,则f(-1)=　　　　　.  解析:∵f(x)为偶函数,∴f(-1)=f(1), 由f(x)的图象关于x=2对称, 可得f(1)=f(3)=2×3-1=5,∴f(-1)=5. 5 关键能力　重点探究 考点一　函数的中心对称 [例1]　(1)(多选)下列说法中,正确的是(　　 ) A.函数f(x)=的图象关于点(-2,2)中心对称 B.函数f(x)满足f(2x-1)为奇函数,则函数f(x)关于点(-1,0)中心对称 C.若函数y=f(x)过定点(0,1),则函数y=f(x-1)+1过定点(1,2) D.函数y=的图象关于点(3,c)中心对称,则b+c=2 ABC [解析]　对于A,f(x)===2-,其图象可以由y=-的图象向左平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,且y=-的图象关于原点对称,故f(x)=的图象关于点(-2,2)中心对称,A正确; 对于B,因为f(2x-1)为奇函数,所以f(2x-1)=-f(-2x-1),所以f(x-1)=-f(-x-1), 所以f(x)=-f(-x-2),所以函数f(x)关于点(-1,0)中心对称,B正确; 对于C,函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到函数y=f(x-1)+1的图象,由于y=f(x)过定点(0,1),故函数y=f(x-1)+1过定点(1,2),C正确; 对于D,函数y===1+的图象关于点(3,c)中心对称, 所以 所以b+c=4,D错误. (2)(2026·河北衡水模拟)已知函数f(x)=,g(x)=ax+1(a≠0),若y=f(x)和y=g(x)的图象存在3个交点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),则y1+y2+y3=(　　) A.1　　　 B.2 C.3 D.4 [解析]　因为f(x)==1-,又f(x)+f(-x)=(1-)+ (1+)=2,所以y=f(x)的图象关于点(0,1)对称,又g(-x)+g(x)=2,所以y=g(x)的图象也关于点(0,1)对称.因为f(0)=1,g(0)=1,所以交点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)中必定有一个点为(0,1),且剩余两个点关于点(0,1)对称,故y1+y2+y3=3. C 跟踪训练 1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=ln+ax+b(x-1)3.证明:曲线y=f(x)是中心对称图形. 证明:法一:f(2-x)=ln+a(2-x)+b(1-x)3 =-ln-ax-b(x-1)3+2a =-f(x)+2a, 故曲线y=f(x)关于点(1,a)中心对称,是中心对称图形. 法二:∵f(x)=ln+ax+b(x-1)3,x∈(0,2), ∴f(x+1)=ln+ax+a+bx3,x∈(-1,1). 令g(x)=f(x+1)-a=ln+ax+bx3,x∈(-1,1), 则g(-x)=ln-ax-bx3=-ln-ax-bx3=-g(x), ∴g(x)是定义域为(-1,1)的奇函数,其图象关于坐标原点O对称. 又∵f(x)的图象可由g(x)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移a个单位长度得到, ∴曲线y=f(x)是中心对称图形. 考点二　函数的轴对称 [例2]　已知函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),∀x∈R,f(+x)=f(-x)恒成立.当x2>x1≥1时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)>0,f(0)=-f(2),则不等式f(x)(x2+2x+3)>0的解集为(　　) A.(-∞,0)∪(2,+∞) B.(0,2) C.(-∞,0)∪(1,2) D.(0,1)∪(2,+∞) A [解析]　因为f(+x)=f(-x), 所以f(x)的图象关于直线x==1对称,所以f(0)=f(2). 因为f(0)=-f(2),所以f(0)=f(2)=0. 因为当x2>x1≥1时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)>0, 所以f(x)在[1,+∞)上单调递增, 所以f(x)在(-∞,1)上单调递减. 因为x2+2x+3=(x+1)2+2>0, 所以f(x)(x2+2x+3)>0,等价于f(x)>0. 当x≥1时,f(x)>0=f(2),结合单调性可知x>2; 当x<1时,f(x)>0=f(0),结合单调性可知x<0. 故f(x)(x2+2x+3)>0的解集为(-∞,0)∪(2,+∞). 跟踪训练 2.(2026·江苏连云港模拟)函数f(x)=lg(sin 2x)的图象的对称轴方程为(　　) A.x=+kπ,k∈Z B.x=+,k∈Z C.x=+kπ,k∈Z D.x=+,k∈Z 解析:由题意可知,y=sin 2x的图象的对称轴就是函数f(x)=lg(sin 2x)的图象的对称轴, 所以对称轴方程为2x=+kπ,k∈Z,解得x=+,k∈Z. B 考点三　两个函数的对称性 [例3]　(1)已知函数y=f(x)是定义域为R的函数,则函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象(　　) A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=3对称 C.关于直线y=3对称 D.关于点(3,0)对称 A [解析]　设P(x0,y0)为y=f(x+2)图象上任意一点,则y0=f(x0+2)=f(4-(2-x0)), 所以点Q(2-x0,y0)在函数y=f(4-x)的图象上, 而点P(x0,y0)与点Q(2-x0,y0)关于直线x=1对称, 所以函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象关于直线x=1对称. (2)已知函数y=f(2x-1)是R上的奇函数,函数y=f(x)图象与函数y=g(x)关于y=-x对称,则g(x)+g(-x)=(　　) A.0 B.-1 C.2 D.1 C [解析]　函数y=f(2x-1)是R上的奇函数, 则-f(-2x-1)=f(2x-1). 设2x-1=t,则f(t)=-f(-2-t), 则函数y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称, 函数y=f(x)图象与函数y=g(x)关于y=-x对称,所以函数y=g(x)的图象关于点(0,1)对称,所以g(x)+g(-x)=2. 方法总结 两个函数的对称性问题,可以通过两个函数上点的对称性来解决.即如果f(x)与g(x)关于点(a,b)对称,那么f(x)上任一点A(x,y)关于(a,b)对称点B(2a-x,2b-y)在g(x)上;如果f(x)与g(x)关于直线x=a对称,那么f(x)上任一点A(x,y)关于直线x=a对称点B(2a-x,y)在g(x)上. 跟踪训练 3.函数y=f(x)的图象与函数g(x)=log2x(x>0)的图象关于原点对称,则f(x)的表达式为(　　) A.f(x)=(x>0) B.f(x)=(x<0) C.f(x)=-log2x(x>0) D.f(x)=-log2(-x)(x<0) D 解析:设y=f(x)上任一点(x,y)关于原点对称点(-x,-y)在g(x)=log2x上, ∴-y=log2(-x)(x<0), ∴y=-log2(-x)(x<0), ∴f(x)=-log2(-x)(x<0). $