第1章 第5节 一元二次方程、不等式-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版 提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦一元二次方程、不等式等核心考点，依据高考评价体系明确实根判断、解集求解等考查要求，通过梳理三个二次关系、分式与绝对值不等式等知识点，分析近五年高考真题中占比30%的高频考点，归纳出含参数不等式分类讨论等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题实战与应试技巧指导，如以2023新课标Ⅰ卷集合与不等式交汇题为范例，运用数学思维剖析分类讨论策略，通过三个二次关系的根与系数关系培养学生逻辑推理能力。特设易错点分析与解题模板，帮助学生规范数学语言表达，教师可据此精准指导，提升复习效率。

第五节　一元二次方程、不等式 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.　2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式,了解一元二次不等式的现实意义,借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数方程的联系. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点一　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+ bx+c(a>0)的图象       ax2+bx+c= 0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 _________________ {x|x≠-} R {x|x<x1,或x>x2} 知识点二　分式不等式与整式不等式 1.>0(<0)⇔ . 2.≥0(≤0)⇔ . f(x)g(x)>0(<0) f(x)g(x)≥0(≤0) 且g(x)≠0 知识点三　简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为 ,|x|<a(a>0)的解集为 . (-∞,-a)∪(a,+∞) (-a,a) 常用结论 两个恒成立的充要条件 1.一元二次不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔ 2.一元二次不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔ 自我评价 1.不等式(x+1)(3-2x)<0的解集为(　　) A.(-1,)　　　　　 B.(-∞,-1)∪(,+∞) C.(-,1) D.(-∞,-)∪(1,+∞) 解析:由(x+1)(3-2x)<0,得(x+1)·(2x-3)>0,解得x<-1或x>. B 2.(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=(　　) A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2} C.{-2} D.{2} 解析:因为N={x|x2-x-6≥0}={x|x≥3或x≤-2},所以M∩N={-2}. C 3.下列说法正确的是(　　) A.不等式x2≤a的解集为[-,] B.若不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为(m,n),m<n,则a<0 C.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R D.不等式<1的解集为(-∞,3) B 解析:当a<0时,不等式x2≤a无解,A错误; 由二次函数图象可知,B正确; 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根,则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点.当a>0时,不等式ax2+bx+c>0的解集为R,当a<0时,不等式ax2+bx+c>0的解集为⌀,C错误; 由<1,得<0,等价于(x-3)(x+2)<0,故不等式的解集为(-2,3),D错误. 4.已知不等式x2-ax-b<0的解集为(2,3),则a+b=　　　　　.  解析:由题意知,方程x2-ax-b=0的解为x1=2,x2=3, 由根与系数的关系,得 所以a+b=5-6=-1. -1 关键能力　重点探究 考点一　不含参数的不等式的解法 [例1]　(多选)下列选项中,正确的是(　　) A.不等式-x2+2x-3>0的解集是(-1,3) B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2} C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.已知集合A={x|x-3>0},B={x|x2-3x+2>0},则A∩B= (3,+∞) BD [解析]　对于A,因为-x2+2x-3>0,所以x2-2x+3<0,因为(x-1)2+2<0无解,即原不等式的解集为⌀,故A错误; 对于B,因为-1≤0,即≤0,即(x+3)(x-2)≤0(x-2≠0),解得-3≤x<2,所以不等式的解集为{x|-3≤x<2},故B正确; 对于C,由|x-2|≥1,可得x-2≤-1或x-2≥1, 解得x≤1或x≥3,所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3},故C错误; 对于D,A={x|x-3>0}={x|x>3}, B={x|x2-3x+2>0}={x|(x-2)(x-1)>0}={x|x>2或x<1}, 所以A∩B={x|x>3}∩{x|x>2或x<1}={x|x>3}=(3,+∞),故D正确. 方法总结 解一元二次不等式的步骤 跟踪训练 1.(2025·全国二卷)不等式≥2的解集是(　　) A.{x|-2≤x≤1}　　　　 B.{x|x≤-2} C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1} 解析:≥2,即≤0,即故-2≤x<1, 故原不等式的解集为{x|-2≤x<1}. C 考点二　含参数的不等式的解法 [例2]　解下列关于x的不等式. (1)x2+ax+1<0; [解]　由对应二次函数y=x2+ax+1的图象开口向上,且Δ=a2-4, 当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时,x2+ax+1≥0恒成立,原不等式解集为⌀; 当Δ=a2-4>0,即a<-2或a>2时,由x2+ax+1=0,可得x=, 所以原不等式解集为 . 综上,当-2≤a≤2时,原不等式解集为⌀; 当a<-2或a>2时,原不等式解集为 . (2)(x+a)(x-2a+1)<0. [解]　由(x+a)(x-2a+1)=0得x=-a或x=2a-1. 当2a-1=-a,即a=时,原不等式解集为⌀; 当2a-1>-a,即a>时,原不等式解集为{x|-a<x<2a-1}; 当2a-1<-a,即a<时,原不等式解集为{x|2a-1<x<-a}. 综上,当a=时,原不等式解集为⌀; 当a>时,原不等式解集为{x|-a<x<2a-1}; 当a<时,原不等式解集为{x|2a-1<x<-a}. 方法总结 解含参数的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的分类有: 1.根据二次项系数为正、负及零进行分类. 2.根据判别式Δ与0的关系进行分类. 3.有两个根时,有时还需根据两根的大小进行分类. 跟踪训练 2.解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R). 解:原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0. ①当a=0时,原不等式可化为x+1≤0,解得x≤-1. ②当a>0时,原不等式可化为(x-)(x+1)≥0, 解得x≥或x≤-1. ③当a<0时,原不等式化为(x-)(x+1)≤0. 当>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤; 当=-1,即a=-2时,解得x=-1; 当<-1,即-2<a<0时,解得≤x≤-1. 综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1}; 当a>0时,不等式的解集为{x|x≥,或x≤-1}; 当-2<a<0时, 不等式的解集为{x|≤x≤-1}; 当a=-2时,不等式的解集为{x|x=-1}; 当a<-2时,不等式的解集为{x|-1≤x≤}. 考点三　三个二次的关系 [例3]　(多选)(2026·福建福州模拟)已知关于x的不等式a(x-1)(x+3)-2>0的解集是(x1,x2),其中x1<x2,则下列结论中正确的是(　　) A.x1+x2+2=0 B.-3<x1<x2<1 C.|x1-x2|>4 D.x1x2+3<0 AB [解析]　法一:由题意可得,a<0,a(x-1)·(x+3)-2=a(x-x1)(x-x2),ax2+2ax-3a-2=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2,则即x1+x2+2=0,x1x2+3=->0,故A正确,D错误;令a(x-1)(x+3)=0,则其根为x3=-3,x4=1,结合二次函数的性质可得,-3<x1<x2<1,则0<x2-x1<1-(-3)=4,即|x1-x2|<4,故B正确,C错误. 法二: 设y1=a(x-1)(x+3),y2=a(x-1)(x+3)-2 则函数y2的图象是由y1的图象向下平移2个单位长度得到,且a<0,开口向下. 如图,其图象都关于直线x=-1对称. ∴=-1,∴x1+x2+2=0,故A正确;由图可知-3<x1<x2<1,故B正确; 显然|x1-x2|<4. 当x2<0时,则x1<0,∴x1x2+3>0, 当x2>0时,则|x1x2|<3,即-x1x2<3, ∴x1x2+3>0,故C,D错误. 方法总结 已知一元二次不等式的解集,就能够得到相应的一元二次方程的两根,由根与系数的关系,可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负. 跟踪训练 3.(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),则下列选项正确的是(　 　) A.a>0 B.不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6} C.a+b+c>0 D.不等式cx2-bx+a<0的解集为(-∞,-)∪(,+∞) ABD 解析:∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),∴a>0,A选项正确; 已知x=-2和x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系得 则b=-a,c=-6a,则a+b+c=-6a<0,C选项错误; 不等式bx+c>0即为-ax-6a>0,解得x<-6,B选项正确; 不等式cx2-bx+a<0即为-6ax2+ax+a<0,即6x2-x-1>0,解得x<-或x>,D选项正确. $