第1章 第3节 等式性质与不等式性质-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版 提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦“等式性质与不等式性质”专题，依据高考评价体系梳理了比较大小、不等式性质应用、代数式取值范围三大核心考点，通过表格对比作差作商法、性质列表等方式系统梳理知识，结合真题改编题（如人A必修第一册P43T8改编）分析考点权重，归纳比较大小、性质判断等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“知识整合+真题突破+素养培养”，如例1用因式分解作差法推导大小关系培养数学思维，例3结合不等式性质求取值范围渗透模型观念，方法总结强调避免多次运算扩大范围等易错点，帮助学生掌握论证技巧，教师可据此精准定位学情，提升复习效率。

第三节　等式性质与不等式性质 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1.掌握等式性质.　2.会比较两个数的大小.　3. 理解不等式的概念，掌握不等式的性质,并能简单应用. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点一　两个实数比较大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 a>b a-b>0 >1(a,b>0)或<1(a,b<0) a=b a-b=0 =1(b≠0) a<b a-b<0 <1(a,b>0)或>1(a,b<0) 知识点二　等式性质、不等式性质 1.等式的性质 (1)对称性:如果a=b,那么　　　　;  (2)传递性:如果a=b,b=c,那么　　　　;  (3)可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c; (4)可乘性:如果a=b,那么ac=bc; (5)可除性:如果a=b,c≠0,那么=. b=a a=c 知识点二　等式性质、不等式性质 2.不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔b<a;a<b⇔b>a 可逆 传递性 a>b,b>c⇒a>c; a<b,b<c⇒a<c 同向 可加性 a>b⇔a+c>b+c 可逆 可乘性 a>b,c>0⇒ac>bc; a>b,c<0⇒ac<bc c的符号 知识点二　等式性质、不等式性质 性质 性质内容 注意 同向可加性 a>b,c>d⇒a+c>b+d 同向 同向同正 可乘性 a>b>0,c>d>0⇒　　　  同向,同正 可乘方性 a>b>0,n∈N,n≥2⇒　　  同正 可开方性 a>b>0,n∈N,n≥2⇒> 同正 ac>bd an>bn 常用结论 1.倒数性质 (1)a>b,ab>0⇒<. (2)a<b<0⇒>. 2.有关分数的性质(a>b>0,m>0) (1)真分数的性质: <,>(b-m>0). (2)假分数的性质: >,<(b-m>0). 自我评价 1.已知-1<a<0,那么-a,-a3,a2的大小关系是(　　) A.a2>-a3>-a　　　　 B.-a>a2>-a3 C.-a3>-a>a2 D.a2>-a>-a3 解析:∵-1<a<0,∴1+a>0,0<-a<1, ∴-a-a2=-a(1+a)>0, a2-(-a3)=a2(1+a)>0, ∴-a>a2>-a3. B 2.已知非零实数a,b满足a<b,则下列不等式中一定成立的是(　　) A.ln a<ln b B.> C.a2<b2 D.a3<b3 解析:对于A,当a<b<0时,不等式无意义,故A错误;对于B,当a<0<b时,<,故B错误;对于C,当a<b<0时,a2>b2,故C错误;对于D,当a<b时,a3<b3恒成立,故D正确. D 3.(多选)(人A必修第一册P43T8改编)下列命题是真命题的是(　　) A.若a<b<0,则a2<b2 B.若a<0<b,则ab<a2<b2 C.若a>b>0,则< D.若a>b>0,c<0,则> CD 解析:对于A选项,因为a<b<0,所以-a>-b>0,所以(-a)2>(-b)2,即a2>b2,A错误; 对于B选项,取a=-1,b=1,则ab=-1,a2=b2=1,B错误; 对于C选项,因为a>b>0,所以<,C正确; 对于D选项,因为a>b>0,所以<,又c<0,所以>,D正确. 4.已知2<a<3,-2<b<-1,则a+2b的取值范围为　　　　　.  解析:因为-2<b<-1,所以-4<2b<-2,又2<a<3,所以-2<a+2b<1. (-2,1) 关键能力　重点探究 考点一　比较数(式)的大小 [例1]　(1)若a<0,b<0,则p=+与q=a+b的大小关系为(　　) A.p<q　　　　　　　　 B.p≤q C.p>q D.p≥q [解析]　根据题意,得p-q=+-a-b=+=(b2-a2)·(-) ==.因为a<0,b<0,所以a+b<0,ab>0.若a=b,则p-q=0,此时p=q;若a≠b,则p-q<0,此时p<q.综上所述,p≤q. B (2)若正实数a,b,c满足c<cb<ca<1,则(　　) A.aa<ab<ba B.aa<ba<ab C.ab<aa<ba D.ab<ba<aa [解析]　∵c是正实数,且c<1,∴0<c<1, 由c<cb<ca<1,得0<a<b<1. ∵=>1,∴ab<aa. ∵=()a,0<<1, ∴()a<1,即aa<ba. 综上可知,ab<aa<ba. C 方法总结 比较大小的常用方法 1.作差法:(1)作差;(2)变形;(3)定号;(4)得出结论. 2.作商法:(1)作商;(2)变形;(3)判断商与1的大小关系;(4)得出结论. 3.构造函数,利用函数的单调性比较大小. 跟踪训练 1.已知x,y为正实数,则“>”是“x>y”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C 解析:-==, 所以由->0,得出x>y, 由x>y得出>. 故x>y⇔>. 2.若a=,b=,则a与b的大小关系是　　　　　.(用“>”连接)   a>b 解析:法一(作商法):因为a=>0,b=>0, 所以=×===log89>1,所以a>b. 法二(作差法):a-b=-=(2ln 3-3ln 2)=(ln 9-ln 8)>0,即a>b. 法三(构造法):由题意,构造函数f(x)=. 因为f'(x)=, 令f'(x)=0,得x=e, 当x∈(0,e)时,f'(x)>0,当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0, 所以函数f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减. 又因为0<2<e<3,所以f(x)在[3,+∞)上单调递减,所以f(3)>f(4), 所以>=, 所以a>b. 考点二　不等式的基本性质 [例2]　(多选)对于实数a,b,c,下列命题正确的是(　 　) A.若a>b,则ac<bc B.若a<b<0,则a2>ab>b2 C.若c>a>b>0,则> D.若a>b,>,则a>0,b<0 BCD [解析]　若c>0,则由a>b得ac>bc,A错误;若a<b<0,则a2>ab,ab>b2,a2>ab>b2,B正确;若c>a>b>0,则c-b>c-a>0,∴>>0, ∴>,C正确;若a>b,且a,b同号,则有<,因此由a>b,>得a>0,b<0,D正确. 跟踪训练 3.(2026·四川绵阳模拟)若a>b,c<0,则下列选项正确的是(　　) A.< B.> C.a-c<b-c D.ac<bc 解析:当a>0>b且c<0时,>,<0<,A,B错误; 由题设a>b,-c>0,得a-c>b-c,且-ac>-bc⇒ac<bc,C错误,D正确. D 4.(多选)已知a,b,c,d均为实数,则下列说法正确的是(　　) A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若ab>0,bc-ad>0,则->0 C.若a>b,c>d,则a-d>b-c D.若a>b,c>d>0,则> BC 解析:若a>0>b,0>c>d,则ac<0<bd,故A错误;若ab>0,bc-ad>0,则>0,化简得->0,故B正确;若c>d,则-d>-c,又a>b,所以a-d>b-c,故C正确;取a=-1, b=-2,c=2,d=1,则=-1,=-1,=,故D错误. 考点三　不等式性质的应用 [例3]　(多选)已知1≤a≤2,3≤b≤5,则(　　) A.a+b的取值范围为[4,7] B.b-a的取值范围为[2,3] C.ab的取值范围为[3,10] D.的取值范围为[,] AC [解析]　因为1≤a≤2,3≤b≤5, 所以4≤a+b≤7,-2≤-a≤-1,1≤b-a≤4, 所以a+b的取值范围为[4,7],b-a的取值范围为[1,4],故A正确,B错误; 因为1≤a≤2,3≤b≤5, 所以3≤ab≤10,≤≤,≤≤, 所以ab的取值范围为[3,10],的取值范围为[,],故C正确,D错误. 方法总结 利用不等式性质求代数式取值范围的注意点 1.必须严格运用不等式的性质. 2.在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,再通过“一次性”不等关系的运算求解取值范围. 跟踪训练 5.(2026·江苏南通模拟)设x,y为实数,且满足3≤xy2≤8,4≤≤9,则的最大值为(　　) A.27 B.24 C.12 D.32 解析:由3≤xy2≤8,得≤≤.又4≤≤9,所以16≤≤81,所以×16≤×≤×81,即2≤≤27,所以的最大值为27. A 糖水不等式 教材延展 知识背景 糖水不等式(源于人教A版必修第一册P43T10) 已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解),糖水变甜了.请将这一事实表示成一个不等式为<. 该不等式称为糖水不等式,也是真分数的一个性质. 推导结论 糖水不等式的推广 (1)若a>0,k∈N*,则<<<…<. (2)若ai,bi为正实数(i=1,2,…,n),且<<…<,则<<. 注:理解(1)式,现有一杯糖水溶液,浓度为,现在不停地往这杯糖水溶液中加糖,则糖水会越来越甜,即<<<… <. [例1]　证明:×××…×<(n∈N*). [证明]　根据“糖水不等式”的推广式可知,<,所以(×××…×)2<(×××…×)(×××…×)= (n∈N*),即×××…×<(n∈N*),得证. [例2]　比较大小:log34,log45. [解]　log34=>=,log45=,因为lg>lg 5,所以log34>log45. 跟踪训练 手机屏幕面积与整机面积的比值叫做手机的“屏占比”,它是手机外观设计中的一个重要参数,其值通常在0~1(不含0,1)内,设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量,升级为一款新手机,则该手机的“屏占比”和升级前相比(　　) A.“屏占比”不变 B.“屏占比”变小 C.“屏占比”变大 D.变化不确定 C 解析:根据题意,不妨设升级前该手机的手机屏幕面积为a,整机面积为b,b>a,则升级前的“屏占比”为,升级后的“屏占比”为,其中m(m>0)为升级后增加的面积,由糖水不等式知>,所以升级后“屏占比”变大. $