第1章 教材拓展1 基本不等式链、三元基本不等式与柯西不等式(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式链、三元基本不等式与柯西不等式”核心考点，依据高考评价体系，通过教材母题溯源、知能拓展梳理公式链，明确比较大小、最值求解等常考题型，构建系统备考框架，体现高考复习的针对性和实用性。 课件亮点在于“母题变式+一题多解”的实战策略，如三元不等式求最值采用构造定值法，柯西不等式应用结合向量数量积性质，培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（模型观念）。特设典例解析与对点练，帮助学生掌握等号条件分析技巧，教师可据此精准训练，提升高考得分率。

教材拓展1 基本不等式链、三元基本不等式与柯西不等式 高三总复习 数学(人教A版) 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 02 二、柯西不等式 一、基本不等式链、三元基本不等式 01 内容索引 一、基本不等式链、三元基本不等式 返回 教材母题 1.(人教A必修一P46T1) 已知a，b∈R， 求证：ab≤. 2.(人教A必修一P46T2(2))已知x，y都是正数，且x≠y，求证：＜. 知能拓展 1.基本不等式链 若a＞0，b＞0，则≤≤≤ ，当且仅当a＝b时，等号成立， 其中，，， 分别叫做a，b的调和平均数、几何平均数、 算术平均数、平方平均数. 利用这个基本不等式链可以使得某些判断数(式)的大小问题、最值类问题的求解更加方便. 2.三元基本不等式 设a1，a2，a3是正实数，则≤≤，当且仅当a1＝ a2＝a3时，等号成立. 3.n元基本不等式 设a1，a2，…，an是正实数，则 ≤≤≤， 当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立.(即：调和平均数≤几何平均数≤算 术平均数≤平方平均数) (1)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是 A. B.＋ C. D. 典例应用 典例1 √ 因为a，b为互不相等的正实数，所以＋＞，＜＝＜，＜ ＝＜，所以最大的是＋.故选B. 由基本不等式≤，可得≥，所以a2＋4b2≥，当且仅当a＝2b＝时等号成立.≤ ＝，所以＋≤，当且仅当a＝2b＝时等号成立. (2)(双空题)若a＞0，b＞0，且a＋2b＝3，则a2＋4b2的最小值等于_____，＋的最大值等于_______. 法一：由于所求表达式为和式，故考虑构造乘积为定值的式子，以便利用均值不等式.分母为b(2a－b). 所以可将a构造为·2a＝·[(2a－b)＋b]，从而对三项使用均值不等式即可求出最小值：a＋＝［(2a－b)＋b＋］≥ ·3＝3(当且仅当a＝b＝2时，取等号). (3)(一题多解)已知2a＞b＞0，则a＋的最小值为____. 3 法二：观察到待求表达式中分式的分母为b(2a－b)，想到作和式消去b，可得b(2a－b)≤［］2＝a2，从而a＋≥a＋(当且仅当b＝2a－b，即a＝b时，取等号).设f(a)＝a＋，可继续构造乘积为定值的式子：f(a)＝＋＋≥3＝3，当且仅当a＝2时取等号. 对点练1.(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则 A.有最大值 B.＋有最小值3 C.a2＋b2有最小值 D.＋有最大值 √ √ √ 对于A，由基本不等式可得≤＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故A正确；对于B，由≤＝＝，得＋≥，当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝时等号成立，故B错误；对于C，由≥＝，得a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C正确；对于D，由≤＝，得＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故D正确.故选ACD. 对点练2.(多选)判断下列不等式成立的有 A.若x＞0，则x2＋≥3 B.若0＜x＜1，则x2(1－x)≤ C.若x＞0，则2x＋≥3 D.若0＜x＜1，则x(1－x)2≤ √ √ 返回 对于A，因为x＞0，所以x2＋＝x2＋＋≥3＝3，当且仅当x2 ＝，即x＝1时，等号成立，故A正确；对于B，因为0＜x＜1，则x2(1－x)＝x·x·(2－2x)≤·()3＝，当且仅当x＝2－2x，即x＝时，等号成立，故B错误；对于C，因为x＞0，则2x＋＝x＋x＋≥3＝3，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，故C正确；对于D，因为0＜x＜1，则x(1－x)2＝·2x(1－x)(1－x)≤·()3＝，当且仅当2x＝1－x，即x＝时，等号成立，故D错误.故选AC. 二、柯西不等式 返回 (人教A必修二P37T16)用向量方法证明：对于任意的a，b，c，d∈R，恒有不等式(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2). 上述不等式就是二维形式的柯西不等式，其证明的向量方法为教材P19数量积的性质(4)：｜a·b｜≤｜a｜｜b｜. 教材母题 柯西不等式 (1)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则｜α·β｜≤｜α｜· ｜β｜，当且仅当β是零向量，或者存在实数k，使得α＝kβ时等号成立. (2)用平面向量的坐标(二维形式)表示上面的不等式，则得到二维的柯西不等式：设a1，a2，b1，b2∈R，则(＋)(＋)≥(a1b1＋a2b2)2，当且仅当a1b2＝a2b1时等号成立. (3)推广到一般形式：设ai，bi∈R(i＝1，2，3，…，n)，则(＋＋…＋)(＋＋…＋)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)，或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时等号成立. 知能拓展 由柯西不等式，得(22＋32)(x2＋y2)≥(2x＋3y)2＝132，所以x2＋y2≥13，当且仅当＝，即x＝2，y＝3时取等号. (1)设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为_____. 典例应用 典例2 13 由柯西不等式，得(＋＋)2≤(a＋b＋c)(1＋1＋1)＝3，所以当且仅当a＝b＝c＝时，＋＋. (2)若a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为_____. 对点练3.若实数x＋2y＋3z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为 A.14 B. C.29 D. 由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(1＋4＋9)≥(x＋2y＋3z)2＝1，即x2＋y2＋z2≥，当且仅当x＝，y＝，z＝时等号成立.故选B. √ 返回 对点练4.(一题多解)当＜x＜时，函数y＝＋的最大值为_______. 2 法一：由柯西不等式，得[()2＋()2](1＋1)≥(＋)2，所以(＋)2≤8，即＋≤2，当且仅当＝，即x＝时等号成立. 法二： 由≤ ，得a＋b≤2，则y＝＋≤2＝2，当且仅当＝，即x＝时等号成立. 谢 谢 观 看 基本不等式链、三元基本不等式与柯西不等式 $