第6章 第4节 数列求和(一)-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（湘教版）

该高中数学高考复习课件聚焦“数列求和”专题，依据高考评价体系梳理了公式法、分组、并项、错位相减四大核心方法，明确错位相减（占比约40%）、分组求和（30%）等高频考点，归纳出等差乘等比、分段数列等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题引路+方法拆解+素养提升”，如2025全国一卷错位相减题，通过“写式—错位—相减—化简”四步训练数学思维（推理与运算能力），并项求和题结合周期数列培养模型观念。设“易错警示”（如等比求和漏q=1讨论），助力学生掌握得分技巧，教师可依托此精准教学，高效冲刺高考。

第四节　数列求和(一) 第六章　数列 1.熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式,能够利用公式求数列的前n项和.　2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.(分组转化、并项、错位相减) 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点　数列求和的几种常用方法 1.公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. (1)等差数列的前n项和公式 Sn== . na1+d 知识点　数列求和的几种常用方法 2.分组求和法与并项求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可以用分组求和法,分别求和后再相加减. (2)并项求和法 一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如 an=(-1)nf(n)类型,可以采用两项合并求解. 知识点　数列求和的几种常用方法 3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 常用结论 常见数列的前n项和 1.1+2+3+4+…+n=. 2.1+3+5+7+…+2n-1=n2. 3.2+4+6+8+…+2n=n2+n. 4.1+2+22+…+=2n-1. 5.12+22+…+n2=. 自我评价 1.Sn=+++…+=(　　) A.　　　　　　 B. C. D. B 解析:由Sn=+++…+,① 得Sn=++…++,② ①-②得,Sn=+++…+-=-=1-=, ∴Sn=. 2.若数列{an}满足a1=2,an+an+1+an+2=2(n∈N+),前n项和为Sn,则S2 026 =(　　) A.1 360 B.1 358 C.1 352 D.1 348 解析:∵a1=2,an+an+1+an+2=2, ∴S2 026=a1+(a2+a3+a4)+(a5+a6+a7)+…+(a2 024+a2 025+a2 026)=2+675×2= 1 352. C 3.数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S17=　　　　　.  解析:S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17 =1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7)+…+(-14+15)+(-16+17) =1+1×8=9. 9 4.已知an=2n+n,则数列{an}的前n项和Sn=　　 　　　.  解析:Sn=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)=+n(n+1)=2n+1-2+n2+n. 2n+1-2+n2+n 关键能力　重点探究 考点一　分组求和 [例1]　已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=1,且a3,3a2,a4成等差数列. (1)求{an}的通项公式; [解]　因为数列{an}是各项均为正数的等比数列,a1=1,且a3,3a2,a4成等差数列, 所以6a2=a3+a4. 设数列{an}的公比为q>0,则q2+q-6=0,解得q=2,或q=-3(舍), 所以an=a1qn-1=2n-1. (2)设bn=an+log2an,求数列{bn}的前n项和. [解]　由(1)知an=2n-1, 因为bn=an+log2an, 所以bn=2n-1+n-1, 设数列{bn}的前n项和为Sn, 则Sn=b1+b2+b3+…+bn =(20+0)+(21+1)+(22+2)+…+(2n-1+n-1) =(20+21+22+…+2n-1)+(0+1+2+…+n-1) =+ =2n+-1, 即数列{bn}的前n项和为2n+-1. 方法总结 分组求和法常见题型 1.若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn,且{an},{bn}为等差或等比数列,可以采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. 2.若数列{cn}的通项公式为cn=其中数列{an},{bn}是等比数列或等差数列,可以采用分组求和法求{cn}的前n项和. 跟踪训练 1.已知{an},{bn}均为等比数列,且a1=b1=,a2=2b2=2. (1)证明:anbn为定值. 证明:设数列{an}的公比为q1,数列{bn}的公比为q2, 依题意可得q1==,q2==, 所以an=a1=()n,bn=b1=×()n-1, 则anbn=()n××()n-1=2,故anbn为定值. (2)求数列{(an-bn)2}的前n项和Sn. 解:由(an-bn)2=2n-4+, 故Sn=(2+22+…+2n)-4n+4(++…+) =-4n+4× =2n+1-4n+2-. 考点二　并项求和 [例2]　已知数列{an}满足a1=2,an+1=1-,n∈N+. (1)求a2,a3,a4,并写出一个符合题意的{an}的通项公式(不需要证明); [解]　a2=1-=1-=,a3=1-=1-2=-1,a4=1-=1+1=2, 可看出数列{an}是周期为3的数列,故an= 理由如下:{an}是周期为3的数列,当n=3k+1,k∈N时,an=2, 当n=3k+2,k∈N时,an=,当n=3k+3,k∈N时,an=-1. (2)设bn=2n·an,记Sn为数列{bn}的前n项和,求S3n. [解]　由(1)可知, bn=2n·an= 则b3n-2+b3n-1+b3n=23n-2+1+23n-1-1-23n=-23n-2, 故S3n=(b1+b2+b3)+…+(b3n-2+b3n-1+b3n) =-23×1-2+(-23×2-2)+…+(-23n-2) =-(23×1-2+23×2-2+…+23n-2) =. 跟踪训练 2.已知数列{an}是首项为2且公差不为0的等差数列,a4为a2和a8的等比中项,记数列{an}的前n项和为Sn. (1)求an和Sn; 解:设等差数列{an}的公差为d(d≠0).因为a4为a2和a8的等比中项,所以=a2a8. 又因为数列{an}是首项为2且公差不为0的等差数列,所以(2+3d)2=(2+d)(2+7d),所以d=2,an=2n,Sn==n(n+1). (2)设bn=(-1)n-1·(n∈N+),求数列{bn}的前2 026项的和. 解:因为bn=(-1)n-1·=(-1)n-1·=(-1)n-1·(n+1), 所以数列{bn}的前2 026项的和为 b1+b2+…+b2 026=2-3+4-5+…+2 026-2 027=(2-3)+(4-5)+…+(2 026- 2 027)=-1×=-1 013. 考点三　错位相减法求和 [例3]　(2025·全国一卷)已知在数列{an}中,a1=3,=+. (1)证明:数列{nan}是等差数列; [证明]　由题意证明如下,n∈N+, 在数列{an}中,a1=3,=+, ∴(n+1)an+1=nan+1, 即(n+1)an+1-nan=1, ∴{nan}是以3为首项,1为公差的等差数列. (2)给定正整数m,设函数f(x)=a1x+a2x2+…+amxm,求f'(-2). [解]　由题意及(1)得,n∈N+, 在数列{nan}中,首项为3,公差为1, ∴nan=3+1×(n-1),即an=1+, 在f(x)=a1x+a2x2+…+amxm中, f(x)=3x+2x2+…+(1+)xm, f'(x)=3+4x+…+(m+2)xm-1, ∴xf'(x)=3x+4x2+…+(m+2)xm, 当x≠1且x≠0时, ∴(1-x)f'(x)=3+x+x2+…+xm-1-(m+2)xm =3+-(m+2)xm, ∴f'(x)=+-, ∴f'(-2) =+- =1+- =1--- =-. 方法总结 1.如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,常采用错位相减法. 2.错位相减法求和时的注意点 (1)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应将两式“错项对齐”,以便下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式. (2)应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1,如果q=1,应用公式Sn=na1. 跟踪训练 3.(2026·广东惠州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2(n∈N+).数列{bn}是公比为3的等比数列,且b1=a1. (1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式; 解:当n=1时,a1=S1=1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=n2-n2+2n-1=2n-1, 当n=1时也符合上式, 所以an=2n-1,b1=a1=1, 所以bn=3n-1. (2)令cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和Tn. 解: cn=an·bn=(2n-1)3n-1, 所以Tn=1+3×31+5×32+…+(2n-1)×3n-1, 3Tn=3+3×32+5×33+…+(2n-1)×3n, 两式相减得-2Tn=1+2×(31+32+…+3n-1)-(2n-1)3n =1+2×-(2n-1)3n =-2+(2-2n)3n, 所以Tn=(n-1)3n+1. $