第3章 提升课4 构造抽象函数解决不等式问题-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（湘教版）

该高中数学高考复习课件聚焦“构造抽象函数解决不等式问题”核心考点，依据高考评价体系梳理了与xⁿ、eˣ、sinx/cosx三类构造的考查要求，通过真题分析明确高频题型分布，构建了“考点解析-方法总结-题型训练”的备考体系，体现高考复习的针对性和实用性。 课件亮点在于“类型化构造+逻辑推理+实战应用”的复习策略，如例1通过构造g(x)=x³f(x)利用单调性解不等式，培养学生数学思维和逻辑推理能力。方法总结提炼四类构造模型，题型训练对接高考真题，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此精准指导，提升复习效率。

提升课4　构造抽象函数解决不等式问题 第三章　一元函数的导数及其应用 考点一　利用f(x)与xn构造函数 [例1]　已知定义在R上的奇函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,f'(x)是f(x)的导函数,当x>0时,3f(x)+xf'(x)>0,且f(2)=2,则不等式(x+1)3f(x+1)>16的解集为(　　) A.(1,+∞)　　　　　　 B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,-3)∪(1,+∞) D [解析]　由已知可构造函数g(x)=x3f(x),求导得g'(x)=3x2f(x)+x3f'(x)=x2[3f(x)+xf'(x)].因为当x>0时,3f(x)+xf'(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增. 又f(x)为奇函数,且图象连续不断,定义域关于原点对称,所以g(x)为偶函数.因为f(2)=2,所以(x+1)3f(x+1)>23f(2),即g(x+1)>g(2),所以|x+1|>2,解得x<-3或x>1. 方法总结 1.对于xf'(x)+f(x)>0(<0),构造g(x)=x·f(x). 2.对于xf'(x)+kf(x)>0(<0),构造g(x)=xk·f(x). 3.对于xf'(x)-f(x)>0(<0),构造g(x)=. 4.对于xf'(x)-kf(x)>0(<0),构造g(x)=. 跟踪训练 1.定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且xf'(x)-f(x)<0.若g(x)=,则不等式g(2x)-g(x+2)<0的解集为　　　　.  (2,+∞) 解析:由函数g(x)=, 可得g'(x)=. 因为xf'(x)-f(x)<0,可得g'(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减, 不等式g(2x)-g(x+2)<0等价于g(2x)<g(x+2),所以 解得x>2,所以不等式的解集为(2,+∞). 考点二　利用f(x)与ex构造函数 [例2]　(多选)已知函数f(x)的定义域为R,其导函数为f'(x),且f'(x)+2f(x)=x,f(0)=-,则(　 　) A.f(-1)>-2 B.f(1)>-1 C.f(x)在(-∞,0)上单调递减 D.f(x)在(0,+∞)上单调递增 ABD [解析]　构造函数F(x)=e2xf(x),则F'(x)=e2xf'(x)+2e2xf(x)=x·e2x,所以F(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.又F(0)=e0f(0)=-,则F(-1)>F(0),即e-2f(-1)>-,所以f(-1)>->-2,故A正确; F(1)>F(0),即e2f(1)>-,所以f(1)>->-1,故B正确; 由f(x)=,得f'(x)==,设g(x)=x·e2x-2F(x),则g'(x)=(1+2x)·e2x-2F'(x)=e2x>0,所以g(x)在R上单调递增,g(0)=0-2F(0)= >0,所以在(0,+∞)上f'(x)>0,f(x)单调递增,故D正确; 在(-∞,0)上f'(x)的符号不确定,故C错误. 方法总结 1.对于f'(x)+f(x)>0(<0),构造g(x)=ex·f(x). 2.对于f'(x)+kf(x)>0(<0),构造g(x)=ekx·f(x). 3.对于f'(x)-f(x)>0(<0),构造g(x)=. 4.对于f'(x)-kf(x)>0(<0),构造g(x)=. 跟踪训练 2.已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)满足f(x)>f'(x),则(　　) A.f(1)>ef(0) B.f(1)<ef(0) C.ef(ln 2)<2f(1) D.f(2)>ef(1) B 解析:构造函数g(x)=,x∈R, 则g'(x)=<0,所以函数g(x)为R上的减函数, 则g(1)<g(0),即<f(0),所以f(1)<ef(0),A错误,B正确; 因为ln 2<ln e=1,所以g(ln 2)>g(1),即>, 所以ef(ln 2)>2f(1),C错误; 因为g(2)<g(1),可得<,所以f(2)<ef(1),D错误. 考点三　利用f(x)与sin x,cos x构造函数 [例3]　已知定义在(0,)上的函数f(x),f'(x)是f(x)的导函数,且f'(x)<-tan x·f(x)恒成立,则(　　) A.f()>f() B.f()>f() C.f()>f() D.f()<f() C [解析]　因为当x∈(0,)时,cos x>0, 所以f'(x)<-tan x·f(x)可化为f'(x)+tan x·f(x)<0, 设g(x)=,x∈(0,), 则g'(x)=[]'==<0, 所以函数g(x)在(0,)上单调递减. 因为<<,所以g()>g()>g(), 所以>>, 即f()>f()>2f(). 对于A,因为f()>f(),故f()>f()不一定成立,A错误; 对于B,因为f()>3f(),故f()>f()不一定成立,B错误; 对于C,f()>f()成立,C正确; 对于D,f()>f(),D错误. 方法总结 1.对于sin x·f'(x)+cos x·f(x)>0(<0),构造g(x)=f(x)·sin x. 2.对于sin x·f'(x)-cos x·f(x)>0(<0),构造g(x)=. 3.对于cos x·f'(x)-sin x·f(x)>0(<0),构造g(x)=f(x)·cos x. 4.对于cos x·f'(x)+sin x·f(x)>0(<0),构造g(x)=. 跟踪训练 3.已知函数y=f(x)对∀x∈(0,π)满足f'(x)sin x-f(x)cos x=-1,其中f'(x)是f(x)的导数,则下列不等式恒成立的是 (　　) A.f()<f() B.f()<f() C.f()<f() D.f()<f() A 解析:因为x∈(0,π),令g(x)=,求导得g'(x)==, 当x∈(0,1)时,g'(x)>0,当x∈(1,π)时,g'(x)<0,因此函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,π)上单调递减. 对于A,0<<<1,则g()<g(),即f()<f(),A正确; 对于B,1<<<π,则g()>g(),即f()>f(),B错误; 对于C,1<<<π,则g()>g(),即f()>f(),C错误; 对于D,1<<<π,则g()>g(), 即f()>f(),D错误. $