第3章 培优课3 切割线放缩不等式及应用-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（湘教版）

该高中数学高考复习课件聚焦“切割线放缩不等式及应用”核心考点，依据高考评价体系梳理指数（e^x ≥ x+1）、对数（ln x ≤ x-1）切线不等式及其推广，分析导数应用中不等式证明、参数范围求解等常考题型，体现备考的系统性和针对性。 课件亮点在于“基础梳理+例题精讲+题型训练”的三阶备考模式，如例1利用e^x ≥ x+1放缩求参数范围，例2结合ln x ≤ x-1证明曲线位置关系，培养学生的数学思维（推理能力）与数学语言（模型观念）。通过课堂练习强化放缩技巧，助力学生掌握得分关键，教师可据此高效指导复习冲刺。

培优课3　切割线放缩不等式及应用 第三章　一元函数的导数及其应用 培优　课堂练习 内容索引 2 切线、割线不等式 1.对于下凸函数,如图1,可利用切割线进行放缩,f(x)≥f'(x0)(x-x0)+f(x0),当x∈(x1,x2)时,f(x)<(x-x1)+f(x1).特殊切线放缩不等式:ex≥x+1. 2.对于上凸函数,如图2,可利用切割线进行放缩,f(x)≤f'(x0)(x-x0)+f(x0),当x∈(x1,x2)时,f(x)>(x-x1)+f(x1).特殊切线放缩不等式:ln x≤x-1. 类型一　不等式ex≥x+1>x的应用 [例1]　已知函数f(x)=,当x∈(0,+∞)时,f(x)≥ex,则实数a的取值范围为　　　　　　.  (-∞,1] [解析]　由f(x)≥ex可得≥ex,两边同时取以e为底的对数可得x(ex-a)≥1+ln x,即a≤在(0,+∞)上恒成立, 令g(x)=(x>0),则只需a≤g(x)min即可. 又g(x)===, 因为ex≥x+1,当且仅当x=0时等号成立,所以ex+ln x≥x+ln x+1,当且仅当x+ln x=0时等号成立,所以g(x)=≥=1,当且仅当x+ln x=0有解时等号成立, 令h(x)=x+ln x(x>0),则h'(x)=1+>0,即h(x)在(0,+∞)上单调递增,由h()= -1<0,h(1)=1>0,可得存在x0∈(0,+∞),使得h(x0)=0,所以g(x)min=1,即a≤1,所以实数a的取值范围为(-∞,1]. 1.指数切线不等式 ex≥1+x(x∈R)表示曲线y=ex在切线y=x+1的上方,当且仅当x=0时取等号. 2.指数切线不等式ex≥x+1的推广 (1)ex-1≥x;(2)ex+a≥x+a+1;(3)≥e·;(4)xex=ex+ln x≥x+ln x+1;(5)xex=ex+ln x ≥e(x+ln x);(6)=ex-ln x≥x-ln x+1;(7)=eln x-x≥ln x-x+1. 方法总结 跟踪训练 1.设函数f(x)=1-e-x.证明:当x>-1时,f(x)≥. 证明:当x>-1时,由指数切线不等式得ex≥x+1>0(当且仅当x=0时取等号),所以e-x≤,即得1-e-x≥1-=,所以f(x)≥. 类型二　不等式ln x≤x-1(x>0)的应用 [例2]　设直线l为曲线C:f(x)=在点(1,0)处的切线. (1)求直线l的方程; [解]　由f(x)=得,f'(x)=, 所以f'(1)=1,所以直线l的方程为y=x-1. (2)求证:除切点(1,0)外,曲线C在直线l的下方. [证明]　由题可知,f(x)的定义域为(0,+∞), 要证除切点(1,0)外,曲线C在直线l的下方,即证<x-1(x≠1)成立,即证 x(x-1)-ln x>0(x≠1)成立.由对数切线不等式ln x≤x-1得,x(x-1)-ln x≥ x(x-1)-(x-1)=(x-1)2≥0,当且仅当x=1时等号成立,故<x-1(x≠1)成立,即除切点(1,0)外,曲线C在直线l的下方. 1.对数切线不等式 ln x≤x-1(x>0)表示曲线y=ln x在切线y=x-1的下方,当且仅当x=1时取等号. 2.对数切线不等式ln x≤x-1的推广 (1)ln(x+1)≤x; (2)ln x≤; (3)ln x≥1-; (4)≤x-1; (5)ln x≤(x2-1). 方法总结 跟踪训练 2.设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围. 解:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,原命题等价于对所有的x≥0,都有g(x)≥0恒成立.由对数切线不等式ln x≤x-1, 变形得ln x≥1-,再将x替换为x+1,得ln(1+x)≥, 即(x+1)ln(1+x)≥x, 故有g(x)≥x-ax=(1-a)x≥0, 所以a≤1,故a的取值范围是(-∞,1]. 培优　课堂练习 1.已知函数f(x)=aex-ln x. (1)当a=0时,求f(x)在x=1处的切线方程; 解:当a=0时,f(x)=-ln x,得f'(x)=-,故f(1)=0,f'(1)=-1, 所以切线方程为y-0=-(x-1),即x+y-1=0. (2)当a=1时,证明:f(x)>2. 证明:当a=1时,f(x)=ex-ln x,定义域为(0,+∞), 令g(x)=ex-x-1,g'(x)=ex-1, 当x>0时,g'(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,g(x)>g(0)=0, 所以当x>0时,ex>x+1. 令h(x)=ln x-x+1,h'(x)=-1=, 当0<x<1时,h'(x)>0,h(x)在(0,1)上单调递增; 当x>1时,h'(x)<0,h(x)在(1,+∞)上单调递减, 所以h(x)≤h(1)=0,所以ln x≤x-1. 因此f(x)>(x+1)-(x-1)=2. 2.已知函数f(x)=ln(x+1). (1)证明:当x>-1时,f(x)≤x; 证明:令h(x)=ln(x+1)-x(x>-1),则h'(x)=-1=-, 当-1<x<0时,h'(x)>0,则函数h(x)在(-1,0)上单调递增, 当x>0时,h'(x)<0,则函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,∴h(x)≤h(0)=0,即f(x)≤x. (2)已知n∈N+,证明:>ln(n+2). 证明:由(1)可得ln(x+1)≤x,当且仅当x=0时取等号,令x=,n∈N+, ∴>ln(+1)=ln,1+++…+>ln+ln+ln+…+ln=ln(n+1), 即1+++…+>ln(n+1),则>n+1,① 又由(1)知,ln(x+1)≤x,当且仅当x=0时取等号, 又n∈N+,∴ln(n+2)<n+1,② 由①②得,>ln(n+2). 3.已知函数f(x)=ex-1,若m≤1,证明:f(x)>ln(x+m). 证明:因为m≤1,所以x+m≤x+1,则ln(x+m)≤ln(x+1),则只需证明ex-1> ln(x+1), 令g(x)=ex-1-x,则g'(x)=ex-1-1, 当x-1>0即x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增, 当x-1<0即x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减, 所以g(x)≥g(1)=1-1=0,可得ex-1≥x, 令h(x)=x-ln(x+1)(x>-1),则h'(x)=1-=, 当-1<x<0时, h'(x)<0,h(x)单调递减, 当x>0时,h'(x)>0,h(x)单调递增, 所以h(x)≥h(0)=0-0=0,可得x≥ln(x+1). 因为ex-1≥x与x≥ln(x+1)取等号的条件不同,所以ex-1>ln(x+1),所以f(x)>ln(x+m). 4.已知函数f(x)=ln x-mx+1. (1)判断函数f(x)的单调性; 解:由f(x)=ln x-mx+1,x>0,得f'(x)=-m=, 当m≤0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当m>0时,令f'(x)>0,得0<x<;令f'(x)<0,得x>, 所以函数f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减. 综上所述,当m≤0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当m>0时,函数f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减. (2)若f(x)≤0恒成立,求实数m的取值范围; 解:由题意,对∀x∈(0,+∞),都有f(x)≤0, 由(1)知,当m≤0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增, 而当x→+∞时,f(x)→+∞,此时f(x)≤0不恒成立; 当m>0时,函数f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,则f(x)max=f()=-ln m,所以-ln m≤0,解得m≥1. 综上所述,m的取值范围为[1,+∞). (3)求证:∀n∈N+,(1+)(1+)…(1+)<e. 证明:由(2)知,当m=1时,f(x)=ln x-x+1≤0恒成立,即ln x≤x-1,当且仅当x=1时等号成立, 令x=1+>1,n∈N+,则ln(1+)<1+-1=, 故ln(1+)+ln(1+)+…+ln(1+)<++…+==1-<1, 则ln[(1+)(1+)…(1+)]<1=ln e, 故(1+)(1+)…(1+)<e. $