第2章 培优课1 几类常见的特殊函数-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（湘教版）

该高中数学高考复习课件聚焦“特殊函数”专题，覆盖对勾函数、飘带函数、一次分式函数、最值函数及高斯函数、狄利克雷函数等高考核心考点，依据高考评价体系梳理了函数性质（奇偶性、单调性、渐近线）、图象特征及应用三大考查维度，通过典型例题分析明确“单调性判断”“最值求解”“分段函数应用”等高频题型，构建系统的知识网络与解题框架。 课件亮点在于“性质探究+题型归类+素养提升”的备考策略，如以对勾函数“y=ax+b/x”为例，通过导数法与基本不等式法突破最值求解，培养学生的数学思维（推理能力、运算能力）和数学语言（模型观念）。设置“高考真题跟踪训练”和“易错点警示”，如一次分式函数对称中心求解的常见错误分析，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准定位学生薄弱环节，实现高效复习。

培优课1　几类常见的特殊函数 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 培优　课堂练习 内容索引 2 类型一　对勾函数、飘带函数、一次分式函数 角度1　对勾函数 形如y=ax+(a>0,b>0)的函数,称为对勾函数. 1.性质 (1)奇偶性:奇函数. (2)单调性: 单调递增区间:(-∞,-),(,+∞); 单调递减区间:(-,0),(0,). (3)渐近线:y=ax和x=0. 2.图象 [例1]　已知函数f(x)=|x+|(a∈R),方程f(x)=4在[0,+∞)上有两个解x1,x2,记g(a)=|x1-x2|,则下列结论正确的是(　　) A.若a=1,则函数f(x)的值域是[0,+∞) B.若a=-1,则f(x)的单调递增区间为[-1,0)和[1,+∞) C.若a=2,则g(a)=0 D.若a=4,则函数f(x)的最小值为2 B [解析]　若a=1,则f(x)=|x+|,f(-x)=|-x-|=|x+|=f(x),即f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=x+,则函数f(x)在(0,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,由偶函数性质知f(x)min=1+=2,故A错误; 若a=-1,则f(x)=|x-|,f(-x)=|-x+|=|x-|=f(x),则f(x)为偶函数,当x∈(0,1)时,f(x)= -x+,易知f(x)在(0,1)上单调递减,当x∈[1,+∞)时,f(x)=x-,易知f(x)在[1,+∞)上单调递增,由偶函数对称性知,f(x)的单调递增区间为[-1,0),[1,+∞),故B正确; 若a=2,则f(x)=|x+|,令f(x)=4,则x1=2+,x2=2-,此时g(a)=2,故C错误; 若a=4,则f(x)=|x+|,当x>0时,f(x)=x+≥2=4,当且仅当x=2时等号成立,又函数f(x)为偶函数,所以f(x)的最小值为4,故D错误. 角度2　飘带函数 形如y=ax-(a>0,b>0)的函数,称为飘带函数. 1.性质 (1)奇偶性:奇函数. (2)单调性:在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增. (3)渐近线:y=ax和x=0. 2.图象 [例2]　(多选)已知函数y=-x(x>1),则该函数(　　) A.最大值为-3　　　　　 B.最小值为1 C.没有最小值 D.最小值为-3 AC [解析]　因为x>1,所以1-x<0,y=-x=+1-x-1=-(+x-1)-1. 令f(x)=+x(x>0), 任取x1,x2∈(0,1),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=+x1-(+x2)=-+(x1-x2)= . 因为0<x1<x2<1,所以1-x1x2>0,x1-x2<0,x1x2>0, 所以>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(0,1)上是减函数,同理可证函数f(x)在[1,+∞)上是增函数. 令h(x)=+x-1,则h(x)在(1,2)上是减函数,在[2,+∞)上是增函数, 所以y=-(+x-1)-1在(1,2)上是增函数,在[2,+∞)上是减函数,当x=2时,函数取得最大值为-3,没有最小值. 角度3　一次分式函数 形如y=(a≠0,ad≠bc)的函数称为一次分式函数. 1.图象 2.性质 (1)定义域:{x|x≠-};值域:{y|y≠}; (2)对称中心:(-,); (3)渐近线:x=-和y=; (4)单调性:当ad>bc时,函数在区间(-∞,-)和(-,+∞)上单调递减;当ad<bc时,函数在区间(-∞,-)和(-,+∞)上单调递增. [例3]　已知函数f(x)=,其中a∈R. (1)当函数f(x)的图象关于点P(-1,3)中心对称时,求a的值; [解]　 f(x)===a+, 所以f(x)的对称中心为点(-1,a),由题意得a=3. (2)若函数f(x)在(-1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围. [解]　由f(x)=知直线x=-1为f(x)的一条渐近线, 由一次分式函数的性质知, 当且仅当2-2a>0,即a<1时,f(x)在(-1,+∞)上单调递减, 故实数a的取值范围是(-∞,1). 跟踪训练 1.函数f(x)=|x|-(x∈R)的图象不可能是(　　) C 解析:当m=0时,f(x)=|x|(x≠0),选项A有可能; 当m=1时,f(x)=易得f(x)在(0,+∞)上单调递增, 根据对勾函数图象易得f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,选项D有可能; 当m=-1时,f(x)= 易得f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,选项B有可能,选项C不可能. 2.函数y=的图象与函数y=2sin πx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:函数y=与函数y=2sin πx(-2≤x≤4)的图象均关于点(1,0)中心对称, 从图象可知两函数共有8个交点,均关于点(1,0)中心对称,即横坐标之和等于8. D 类型二　最值函数 设min{a,b}=max{a,b}= 直观上来说min{a,b}的作用就是求a,b的最小值,我们将其称为最小值函数,同样,max{a,b}用来表示a,b的最大值,称为最大值函数. [例4]　定义max{a,b}=设函数f(x)=x+1,g(x)=(x+1)2,记函数F(x)=max{f(x),g(x)},且函数F(x)在区间[m,n]上的值域为[0,1],则|n-m|的最大值为(　　) A.1 B. C. D.2 D [解析]　令f(x)≥g(x),即x+1≥(x+1)2,解得-1≤x≤0, 令f(x)<g(x),即x+1<(x+1)2,解得x<-1或x>0, 所以F(x)=max{f(x),g(x)} = 又F(0)=F(-2)=1,F(-1)=0,要使函数F(x)在区间[m,n]上的值域为[0,1], 当n=0时,-2≤m≤-1,当m=-2时,-1≤n≤0, 则当n=0,m=-2时|n-m|取得最大值2. 跟踪训练 3.用m(x)表示f(x),g(x)中的最小值,记为m(x)=min{f(x),g(x)}.若f(x)=x2-2x,g(x)=3x-x2,则m(x)的最大值为(　　) A.-1 B.0 C. D. C 解析:令f(x)=g(x),即x2-2x=3x-x2,解得x=0或x=, 则m(x)=min{f(x),g(x)}= 又f(x),g(x)的对称轴分别为x=1,x=,则m(x)在(-∞,0)和(1,)上单调递增, 在(0,1)和(,+∞)上单调递减,如图,则函数m(x)的最大值为m()=. 类型三　高斯函数、狄利克雷函数 角度1　高斯函数y=[x] 1.定义 不超过实数x的最大整数称为x的整数部分,记作[x],例如,[3.4]=3,[-2.1]=-3,这一规定最早为数学家高斯所使用,故函数y=[x]称为高斯函数,又称取整函数. 2.性质 (1)定义域:R;值域:Z. (2)不具有单调性、奇偶性、周期性. 3.图象 [例5]　(多选)(2026·浙江金华模拟)高斯用其名字命名的“高斯函数”定义如下:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如[-2.1]=-3,[2.1]=2,则下列说法正确的是(　　) A.函数y=x-[x]在区间[k,k+1)(k∈Z)上单调递增 B.函数y=x-[x]的值域为[0,1) C.函数y=x-[x]是R上的增函数 D.对∀x∈R,x≥[x]+1 AB [解析]　当x∈[k,k+1),k∈Z时,有[x]=k,则函数y=x-[x]=x-k在[k,k+1)上单调递增,故A正确; 当x∈[0,1)时,y=x, 当x∈[1,2)时,y=x-1, 当x∈[2,3)时,y=x-2…… 故可画出y=x-[x]的图象如图所示, 由图象可知B正确,C错误; 当x=2时,[x]+1=3, 有2<[2]+1,故D错误. 角度2　狄利克雷函数D(x)= 1.性质 (1)定义域:R;值域:{0,1}. (2)奇偶性:偶函数. (3)周期性:以任意正有理数为其周期,无最小正周期. 2.无法画出函数的图象,但其图象客观存在. [例6]　(多选)(2026·福建福州质检)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名字命名的函数f(x)=称为狄利克雷函数,则下列关于函数f(x)的叙述,正确的是(　　) A.函数y=f(x)的图象是两条直线 B.f(f(x))=1 C.f()>f(1) D.∀x∈R,都有f(1-x)=f(2+x) BD [解析]　对于A,函数y=f(x)的图象是断续的点集,不是两条直线,A错误; 对于B,当x为有理数时,f(x)=1, 所以f(f(x))=f(1)=1, 当x为无理数时,f(x)=0,f(f(x))=f(0)=1,B正确; 对于C,f()=0,f(1)=1, 所以f(1)>f(),C错误; 对于D,由题意,函数定义域为R,且f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数, 任取一个不为零的有理数T, f(x+T)=f(x)对∀x∈R恒成立, 故f(x+2)=f(x)=f(-x)=f(1-x), 所以∀x∈R,都有f(1-x)=f(2+x),D正确. 跟踪训练 4.高斯是德国的数学家,是近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3.若函数f(x)=,则函数y=[f(x)]的值域为(　　) A.{1,2,3} B.{0,1,2,3} C.{1,2,3,4} D.{2,3,4,5} C 解析:f(x)==1+, ∵2x>0,∴1+2x>1,0<<1,则1<1+<5,即1<f(x)<5. 当1<f(x)<2时,[f(x)]=1;当2≤f(x)<3时,[f(x)]=2; 当3≤f(x)<4时,[f(x)]=3;当4≤f(x)<5时,[f(x)]=4, 综上,函数y=[f(x)]的值域为{1,2,3,4}. 5.(多选)已知狄利克雷函数D(x)=则下列结论正确的是(　　) A.D(x)是偶函数 B.D(x)是单调函数 C.D(x)的值域为[0,1] D.D(π)<D(3.14) AD 解析:对于A,当x∈Q时,显然-x∈Q,此时恒有D(x)=D(-x)=1,当x∈∁RQ时,此时x是无理数,显然-x也是无理数,此时恒有D(x)=D(-x)=0,所以D(x)是偶函数,因此A正确; 对于B,因为D(0)=D(1)=1,所以函数D(x)不是实数集上的单调函数,因此B不正确; 对于C,由函数的解析式, 可知D(x)的值域为{0,1},因此C不正确; 对于D,因为D(π)=0,D(3.14)=1, 所以D(π)<D(3.14),因此D正确. 培优　课堂练习 1.函数y=1-的图象是(　　) 解析:易知函数的对称中心为点(1,1),且当x>1时,函数单调递增. B 2.(2026·河北石家庄调研)高斯函数也称取整函数,记作[x],是指不超过实数x的最大整数,例如[6.8]=6,[-4.1]=-5.若函数f(x)=log2(-x2+x+2),则当x∈[0,1]时,[f(x)]的值域为(　　) A.[2,]　　　　　　　 B.{2,} C.{1} D.{2} C 解析:由-x2+x+2>0, 得(x+1)(x-2)<0,解得-1<x<2, 则f(x)的定义域为{x|-1<x<2}, 当x∈[0,1]时,令t=-x2+x+2, 则t∈[2,]. 函数t=-x2+x+2在[0,]上单调递增, 在[,1]上单调递减, 又函数u=log2t在[2,]上单调递增, 所以f(x)在[0,]上单调递增,在[,1]上单调递减, 所以f(x)的值域为[1,log2].又log2=2(log23-1)<2(log24-1)=2, 所以[f(x)]的值域为{1}. 3.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数D(x)=称为狄利克雷函数,现定义一个与狄利克雷函数类似的函数L(x)=为“L函数”,则关于狄利克雷函数和“L函数”有以下四个结论: ①D(D(x))=0; ②函数D(x)既是偶函数又是周期函数; ③“L函数”图象上存在四个点A,B,C,D,使得四边形ABCD为矩形; ④“L函数”图象上存在三个点A,B,C,使得△ABC为等边三角形. 其中所有正确结论的序号是　　　　　.  ②③④ 解析:x∈R时,D(x)=为有理数,所以D(D(x))=1,故①错误;因为D(-x)==D(x),所以D(x)为偶函数,对于任意非零有理数T,都有D(x+T)==D(x),故②正确; 若取“L函数”图象上四个点A(1,1),B(,0),C(-1,-1),D(-,0),因为AC=BD=2,且=,=,即AC,BD互相平分,所以存在矩形ABCD,故③正确; 若取“L函数”图象上三个点A(3,L(3)),B(3-,L(3-)),C(3+,L(3+)),即A(3,3),B(3-,0),C(3+,0),因为AB=AC=BC=2,所以△ABC为等边三角形,故④正确. 4.函数f(x)=的值域是　　　　　.  解析:f(x)===+,令t=, 则t≥2,f(x)可化为y=t+, 易知该函数在[2,+∞)上单调递增, 故y=t+≥2+=,所以f(x)的值域是[,+∞). [,+∞) 5.定义min{a,b}=已知f(x)=-x2+2x,g(x)=-x+1,记函数M(x)=min{f(x),g(x)},则M(x)的最大值是　　　　.  解析:由f(x)≤g(x),得-x2+2x≤-x+1,化简得2x2-5x+2≥0,解得x≤或x≥2, 所以M(x)= M(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1在(-∞,]上单调递增,所以M(x)≤M()=-+1=, M(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1在[2,+∞)上单调递减,所以M(x)≤M(2)=-4+4=0, M(x)=-x+1在(,2)上单调递减,所以M(2)<M(x)<M(),得0<M(x)<. 综上,M(x)≤,所以M(x)的最大值是. $