第2章 第8节 指数函数的图象与性质-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（湘教版）

该高中数学高考复习课件聚焦“指数函数的图象与性质”核心考点，依据高考评价体系梳理了定义理解、图象特征、单调性应用、比较大小、解不等式等考查要求，通过近五年高考真题分析明确单调性判断、复合函数值域等高频考点权重，归纳出选择、填空、解答题等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题解析+方法总结+素养培养”，如以2023新课标Ⅰ卷复合函数单调性题为例，运用“换元法+复合函数单调性法则”培养数学思维与推理能力，总结比较大小“同底用单调性、不同底用中间量”等技巧，帮助学生掌握答题策略，教师可据此精准突破考点，提升复习效率。

第八节　指数函数的图象与性质 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.　2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点　指数函数的图象与性质 1.定义 函数y=ax(a>0且a≠1)叫作指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R,a是底数. 2.图象和性质 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域为 ,值域为_______ 图象过定点______ 当x>0时,恒有y>1;当x<0时,恒有0<y<1 当x>0时,恒有0<y<1;当x<0时,恒有y>1 在定义域R上为 函数 在定义域R上为 函数 R (0,+∞) (0,1) 增 减 知识点　指数函数的图象与性质 常用结论 1.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)图象的关键点为(0,1),(1,a),(-1,). 2.如图所示是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象, 则c>d>1>a>b>0,即在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1) 的图象越高,底数越大. 自我评价 1.函数f(x)=的定义域是(　　) A.(1,+∞)　　　　　　　　 B.(2,+∞) C.[1,+∞) D.[2,+∞) 解析:要使函数f(x)= 有意义,只需解得x≥2,所以函数f(x)的定义域为[2,+∞). D 2.已知函数f(x)=ax-1-3(a>0,a≠1)的图象恒过定点M(m,n),则函数g(x)=m+xn+1的图象不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:∵a0=1, ∴f(x)=ax-1-3的图象恒过定点(1,-2), ∴m=1,n=-2, ∴g(x)=1+x-1=1+,其图象如图所示,因此不经过 第四象限. D 3.已知a=0.750.1,b=1.012.7,c=1.013.5,则 (　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 解析:因为函数y=1.01x在R上是增函数,且3.5>2.7, 所以1.013.5>1.012.7>1>0.750.1,即c>b>a. C 4.函数f(x)=的值域为　 　　　　.  解析:因为f(x)的定义域为{x|x≠1},≠0,所以f(x)>0且f(x)≠1,即函数的值域为(0,1)∪(1,+∞). (0,1)∪(1,+∞) 关键能力　重点探究 考点一　指数函数的图象及应用 [例1]　(1)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(　　) A.a>1,b<0　　　　　　B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 [解析]　由于f(x)=ax-b的图象单调递减,所以0<a<1. 又0<f(0)<1,所以0<a-b<1=a0,即-b>0,b<0. D (2)(多选)已知实数a,b满足等式2 025a=2 026b,下列等式可以成立的是(　　 ) A.a=b=0 B.a<b<0 C.0<a<b D.0<b<a [解析]　如图,观察易知,a<b<0或0<b<a或a=b=0. ABD 方法总结 指数函数的图象及其应用策略 1.已知函数解析式判断其图象时,可通过图象经过的定点和特殊点来进行分析判断. 2.进行图象识别与应用时,可从基本的指数函数图象入手,通过平移、伸缩、对称等变换得到相关函数的图象. 3.根据指数函数图象判断底数的大小问题,可通过直线x=1与图象的交点进行判断. 跟踪训练 1.当a≠0时,函数y=ax+b和y=bax的图象只可能是(　　) A 解析:对于A,由一次函数的图象知,a>0,0<b<1,此时函数y=bax为减函数,A正确; 对于B,由一次函数的图象知,a>0,b>1,此时函数y=bax为增函数,B错误; 对于C,由一次函数的图象知,a<0,b>1,此时函数y=bax为减函数,C错误; 对于D,由一次函数的图象知,a<0,0<b<1,此时函数y=bax为增函数,D错误. 2.(2026·广东深圳质检)若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个交点,则a的取值范围是　　　　　.  解析:y=|ax-1|的图象是由y=ax的图象先向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象翻折到x轴上方,且保持x轴上及其上方的图象不变得到的. 当a>1时,如图1,两图象只有一个交点,不符合题意; 当0<a<1时,如图2,要使两个图象有两个交点,则0<2a<1,即0<a<. 综上可知,a的取值范围是(0,). (0,) 考点二　指数函数的性质及应用 角度1　比较指数式的大小或解不等式 [例2]　已知a=0.310.1,b=0.310.2,c=0.320.1,则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b [解析]　由y=0.31x在定义域上单调递减可知0.310.1>0.310.2,即a>b; 由y=x0.1在定义域上单调递增可知0.320.1>0.310.1,即c>a, 所以c>a>b. D [例3]　解不等式:>a2x+2(其中a>0且a≠1). [解]　当a>1时,因为>a2x+2,且y=ax在R上单调递增,所以x2+3x>2x+2, 即x2+x-2>0,解得x>1或x<-2. 当0<a<1时,因为>a2x+2, 且y=ax在R上单调递减, 所以x2+3x<2x+2, 即x2+x-2<0,解得-2<x<1. 综上,当a>1时,x∈(-∞,-2)∪(1,+∞); 当0<a<1时,x∈(-2,1). 角度2　与指数函数有关的单调性、值域问题 [例4]　(1)(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) [解析]　设t=x(x-a),易知函数y=2t 是增函数.因为y=2x(x-a) 在(0,1) 上单调递减,所以由复合函数的单调性可知函数t=x(x-a) 在(0,1) 上单调递减.因为函数t=x(x-a) 在(-∞,) 上单调递减,所以≥1,即a≥2,所以a的取值范围是[2,+∞). D (2)函数y=9x+3x+1-2,x∈[0,1]的值域是　　　　.  [解析]　由题意可得,y=9x+3x+1-2=(3x)2+3×3x-2=(3x+)2-. 因为当x∈[0,1]时,3x∈[1,3],所以根据二次函数的单调性知, 当x=0时,ymin=1+3-2=2;当x=1时,ymax=9+9-2=16. 所以所求函数的值域是[2,16]. [2,16] 方法总结 1.比较指数式大小的方法 (1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小. (2)不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小. 2.指数方程或不等式的解法 (1)解指数方程或不等式的依据 ①af(x)=ag(x)⇔f(x)=g(x). ②af(x)>ag(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);当0<a<1时,等价于f(x)<g(x). (2)解指数方程或不等式的方法 先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用函数的单调性转化为一般方程或不等式求解. 跟踪训练 3.函数y=(的值域为(　　) A.(0,] B.(0,) C.(0,1) D.[1,2] 解析:令t=x2-x-,则t=(x-)2-≥-. ∵y=()t在[-,+∞)上单调递减,∴()t≤(=.又()t>0, ∴y=(的值域为(0,]. A 4.设a=(,b=(,c=(,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c>a>b B.a>b>c C.b>a>c D.a>c>b 解析:依题意,函数y=在(0,+∞)上单调递增,函数y=()x在R上单调递减,则a=(>c=(>(=b,所以a>c>b. D 考点三　指数函数性质的综合应用 [例5]　已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数. (1)求a的值; [解]　由函数f(x)=是定义在R上的奇函数, 得f(0)==0,解得a=-1,故f(x)=. f(-x)+f(x)=+=+=0,即f(x)是奇函数,所以a=-1. (2)判断f(x)的单调性并根据定义证明; [解]　函数f(x)为增函数. 证明:设任意实数x1<x2, f(x2)-f(x1)=- = =. 因为x1<x2,函数y=3x在R上单调递增,所以->0,+1>0,+1>0, 所以f(x2)-f(x1)>0,所以函数f(x)为增函数. (3)若存在区间[m,n](m<n),使得函数y=f(x)+t在区间[m,n]上的值域为[3m,3n],求t的取值范围. [解]　由(2)知函数f(x)在R上单调递增, 所以函数y=f(x)+t在区间[m,n]上单调递增. 依题意, 即 令3x=u>0,因此3m,3n是方程1-+t=u的两个根,即是u2-tu+1-t=0的两个不等的正根,于是解得2-2<t<1, 所以t的取值范围是(2-2,1). 方法总结 求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断. 跟踪训练 5.已知函数f(x)=()|x|-a. (1)求f(x)的单调区间; 解:令t=|x|-a,则g(t)=()t, 不论a取何值,t在(-∞,0]上单调递减, 在[0,+∞)上单调递增. 又g(t)=()t是单调递减的, 因此f(x)的单调递增区间是(-∞,0], 单调递减区间是[0,+∞). (2)若f(x)的最大值等于,求实数a的值. 解:由于f(x)的最大值是,且=()-2, 所以t=|x|-a有最小值-2, 即|0|-a=-2,从而a=2. $