精品解析：北京市第十八中学2026-2027学年高三年级上学期九月份检测数学试题

北京市第十八中学高三年级九月份检测 数学 2026.09 一、单选题（10*4=40） 1. 如果集合，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得集合，再由集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合， 因为，可得. 2. 复数是纯虚数，则实数（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知复数是纯虚数，则实部，解得； 虚部，解得， 综上，． 3. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题即可得解. 【详解】根据命题的否定原则可得，命题的否定为，. 故选：B. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】先化简“”和“”，再利用充分必要条件的定义分析判断得解. 【详解】由得， 由得， 所以“”不能推出“”， 所以“”是“”的非充分条件； 因为“”不能推出“”， 所以“”是“”的非必要条件. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选D 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.01； B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D. 若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32. 【答案】C 【解析】 【详解】，A错误； ， 则，B错误； 首先将数据从小到大排序：，共8个数据， 则，因为不是整数，所以第70百分位数是第6个数，是23，C正确； 根据方差的性质，若数据乘以一个常数，则新数据的标准差为原标准差的倍， 这里，原标准差为8，则新数据的标准差为，D错误. 6. 甲、乙两人投篮的命中率分别为和，现甲、乙各投篮一次，记为甲命中的次数，为乙命中的次数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定X、Y均服从两点分布，利用两点分布方差公式列不等式，求解后结合p的取值范围得到结果. 【详解】由题意可知，甲投篮一次命中次数X服从参数为的两点分布，则. 同理，. 已知，则，整理得，解得. 7. 设，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得. 【详解】由，故，故， 由对勾函数性质可得， ，且， 综上所述，有. 故选：C. 8. 随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长，现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（ ）（参考数据：，） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】C 【解析】 【分析】设处理这段自然语言的翻译所需时间为秒，得到，结合指数幂与对数的运算法则，即可求解. 【详解】设处理这段自然语言的翻译所需时间为秒， 由题意得， 两边同时取对数，得，即， 即， 所以秒. 故选：C. 9. 如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：小明共有6次选择，因为第一天和第七天均吃3个水果，所以在这6次选择中“多一个”和“少一个”的次数应相同、“持平”次数为偶数．当6次选择均为“持平”时，共有种方案；当6次选择中有4次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各一次，共有种方案；当6次选择中有2次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各2次，共有种方案；当6次选择中有0次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各3次，共有种方案.综上可得小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有种方案,故D正确. 考点：排列组合，考查分类讨论思想. 10. 德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（ ） A. 存在，有 B. 对任意，都存在， C. 若，，则有 D. 存在三个点，，，使为等腰直角三角形 【答案】AC 【解析】 【详解】由题意，当是有理数时，；当是无理数时，. 对于A ，当是无理数时，也是无理数，， ，故A正确； 对于B，当是无理数时，若为有理数，则是无理数，，，，故B错误； 对于C，由题意知函数的值域为，当且时，，， 所以，故 C正确； 对于D，由函数的值域为，可知△三个顶点的纵坐标要么有两个和一个，要么有两个和一个， 不妨设，，如图，在等腰直角△中，取斜边AC的中点D， ，所以， 故当即是有理数时，也是有理数，从而有，这与矛盾，故D错误. 二、填空题（5*5=25） 11. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数的真数大于0和分式的分母不为0联立求解即得函数的定义域. 【详解】由有意义，可得，解得且， 故该函数的定义域为. 故答案为：. 12. 在的展开式中，的系数是________．（用数字作答） 【答案】 15 【解析】 【详解】在的展开式中，含的项为，其系数为15. 13. 某款扫地机器人根据接收语音指令完成扫地任务．若语音指令接收清晰，则成功完成扫地任务的概率为0.9；若语音指令接收不清晰，则成功完成扫地任务的概率为0.5．设语音指令接收清晰的概率为，若该款机器人成功完成扫地任务的概率为0.8，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据全概率公式，该款机器人成功完成扫地任务包括语音指令接收清晰成功完成扫地任务与语音指令接收不清晰成功完成扫地任务两个事件，根据互斥事件和概率，可计算值． 【详解】设事件A为语音指令接收清晰,事件B为完成扫地任务； 则，；，，； 因为与互斥， 故 ， 解得． 14. 若对任意，有，写出符合要求的一个解析式________，则函数在上的最大值与最小值的和________． 【答案】 ①. （符合题意任写一个即可） ②. 8 【解析】 【分析】由对任意，有，得函数是奇函数，从而写出符合要求的一个解析式，从而得到是奇函数，并求得其在上的最大值与最小值的和，进而得到的值. 【详解】因为对任意，有， 所以令，得，所以； 令，得，所以，即， 所以函数为奇函数. 若，则，， 所以，符合要求. 所以符合要求的一个解析式可以是. 此时，， 令，则的定义域为，且， 所以为奇函数，所以的图象关于原点对称. 记在上的最大值为与最小值为，则. 所以函数在上的最大值与最小值的和. 15. 函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，，设函数，关于有以下四个命题： （1）对任意整数，满足 （2）当时，的值域为 （3），有恒成立，则实数 （4）若，则实数的取值范围是 以上命题为真命题的有__________． 【答案】（1）（3）（4） 【解析】 【分析】对（1），设，其中，，分别写出与的值并比较即可； 对（2），拆分的区间，分别求出在不同区间的值域，综合即可得到在的值域； 对（3），由（2）可知在的值域，只需令大于这个值域的最大值即可； 对（4），设，其中，，对范围分类讨论，即可化简，求出的取值范围. 【详解】对（1），设，其中，，则，，（1）对； 对（2），时，，，此时， 同理，时，；时，；时，， 综上，时，，（2）错； 对（3），如前所述，时，，故若，恒成立，则，（3）对； 对（4），设，其中，， 时，， 则可化为，解得，不是整数，舍去； 时，， 则可化为，解得，故 即，（4）对. 三、解答题（85分） 16. 设函数， （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式的解集． （3）若，，，求的最小值． 【答案】（1） （2）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，． （3） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集与一元二次方程的根的关系，结合韦达定理求解； （2）把不等式转化为，对进行分类讨论，求出不同情况下的解集； （3）把不等式进行变形，再利用基本不等式进行求解. 【小问1详解】 由不等式的解集为可得： 方程的两根为1，3且， 由根与系数的关系可得：，，所以 【小问2详解】 由得， 又因为，所以不等式 化为，即， 当时，原不等式变形为，解得 当时，，原不等式． 若，原不等式． 此时原不等式的解的情况应由与1的大小关系决定，故 当时，不等式的解为； 当时，，不等式或； 当时，，不等式或 综上所述，不等式的解集为： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 【小问3详解】 由已知得，，又则 当且仅当，即时等号成立. 17. 甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． （1）若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率是___________． （2）若从甲袋中随机取2个，求所取的2个球中至少有一个红球的概率； （3）若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设事件“第1次取到白球”， “第2次取到红球”，分别求得，结合条件概率的计算公式，即可求解； （2）设事件“所取的2个球中至少有一个红球”，则“所取的2个球中全是白球”，结合古典概型的概率公式和对立事件的概率公式，即可求解； （3）设事件“取到的2个球中恰有1个红球”，事件“从甲袋中取到红球”，事件“从甲袋中取到白球”，求得，以及和，结合全概率公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设事件“第1次取到白球”， “第2次取到红球”， 因为甲袋装有2个红球，3个白球，从中连续抽取2次，每次取1个球， 基本事件的总数为种取法， 则，，可得， 所以在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率为. 【小问2详解】 解：因为甲袋装有2个红球，3个白球，从甲袋中随机取2个， 可得基本事件的总数为种取法， 设事件“所取的2个球中至少有一个红球”，则“所取的2个球中全是白球” 则，可得， 所以所取的2个球中至少有一个红球的概率. 【小问3详解】 解：设事件“取到的2个球中恰有1个红球”，事件“从甲袋中取到红球”， 事件“从甲袋中取到白球”， 从甲袋中取球，因为甲袋装有2个红球，3个白球，可得， 若从甲袋中取到红球放入乙袋，此时乙袋中有2个红球和2个白球， 则从乙袋中取2个球，恰有1个红球的概率为； 若从甲袋中取出白球放入乙袋，此时乙袋中有1个红球和3个白球， 则从乙袋中取2个球，恰有1个红球的概率为， 根据全概率公式，可得， 所以取到的2个球中恰有1个红球的概率为. 18. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明； （3）解不等式. 【答案】（1） 为奇函数，证明如下： 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以为奇函数. （2） 在上的单调递增，证明如下： 任取，，且， 则 ， 因为，所以，， 所以，即，即在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可； （2）任取，，且，用作差法判断，的大小，即可证结论； （3）结合函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为在上单调递增，又，， 所以不等式，即，即， 即，又恒成立， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 19. 某学校组织生物小组开展航天育种实践活动，选取辣椒、番茄、大豆三类作物作为研究对象，为此购买了一批种子．生物小组为了研究这批种子的发芽情况，从每类作物的种子中各选取100粒太空种子和100粒普通种子进行对比试验，统计结果如下： 发芽的太空种子数 发芽的普通种子数 辣椒 90 83 番茄 88 82 大豆 91 85 假设每粒种子是否发芽相互独立，用频率估计概率． （1）估计这批太空辣椒种子发芽的概率； （2）某同学从这批太空辣椒种子中，再随机选取3粒种子进行发芽实验，记发芽的种子数为X，求X的分布列和数学期望； （3）某同学设计了每类作物种子的混合方案如下： 方案①：将太空辣椒种子与普通辣椒种子按1∶2的比例混合； 方案②：将太空番茄种子与普通番茄种子按1∶3的比例混合； 方案③：将太空大豆种子与普通大豆种子按2∶3的比例混合． 上述方案中满足混合后种子发芽的概率估计值不低于85%的是_________．（直接写出序号） 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 数学期望 （3）①③ 【解析】 【分析】（1）利用频率估计概率； （2）分析的所有可能取值，求出对应的概率，列出分布列，求出期望； （3）求出三种方案对应的概率，即可得到答案. 【小问1详解】 这批太空辣椒种子发芽的概率为； 【小问2详解】 的所有可能取值为， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 ； 【小问3详解】 对于方案①，由题可知太空辣椒种子发芽的概率为，普通辣椒种子发芽的概率为， 将太空辣椒种子与普通辣椒种子按1∶2的比例混合后发芽的概率为， 同理对于方案②：将太空番茄种子与普通番茄种子按1∶3的比例混合后发芽的概率为 ； 方案③：将太空大豆种子与普通大豆种子按2∶3的比例混合后发芽的概率为， 故上述方案中满足混合后种子发芽的概率估计值不低于85%的是①③ 20. 已知直线是函数的一条切线． （1）求的值； （2）设实数使得对恒成立，求的值； （3）证明：对任意的，，均有． 【答案】（1）1 （2） （3）（） ． 令，， 时，，单调递减，即单调递减． 令．且，． ． ，， 由在上单调递减，． ，单调递增． 又． 时，恒成立得证，即对任意， 均有． 【解析】 【分析】(1)设切点，利用切线斜率等于导数值求出切点横坐标，代入函数求得 ； (2)构造差函数，发现是零点，由极值必要条件求出k，再验证恒成立； (3)固定t构造关于s的函数，借助在上单调递减，利用单调性完成不等式证明. 【小问1详解】 ， 设切点为，， ，． 且，． 【小问2详解】 由（1）知，对于恒成立， ， 令， 则在上恒成立． 又为的极小值点，．即． 下证满足题意： 当时，， 时，，，单调递减； 时，，，单调递增． ，恒成立得证． 【小问3详解】 略. 21. 已知函数的定义域为，如果，都有，那么称函数具有性质. （1）已知函数（），（）直接判断函数，是否具有性质； （2）对于函数（），证明：存在定义域为的函数，使得对任意成立； （3）对任意具有性质的函数，判断是否存在定义域为的函数，使得对任意成立，并说明理由. 【答案】（1）具有性质，不具有性质 （2） 设，，由二次方程的判别式， 解得或， 即，符合的定义域要求， 将用表示，因为， 所以。 定义，则对任意， 有，故存在这样的函数； （3） 存在，理由如下: 设，，同理得， 对于任意在该范围内，方程的两根为， 由韦达定理得，即， 因具有性质，故， 即对于每个，所有满足的对应的值唯一确定， 因此，可定义为该唯一确定的值，使得对任意，有，且 的定义域为. 【解析】 【分析】（1）根据所给定义求出、即可判断； （2）设，，求出的范围，再将用表示，即可得到，从而得解； （3）设，，对于任意在该范围内，方程的两根为，由韦达定理得，结合所给定义即可得解. 【小问1详解】 对于函数，， 则， 故具有性质； 对于函数，， 则， 故不具有性质； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第十八中学高三年级九月份检测 数学 2026.09 一、单选题（10*4=40） 1. 如果集合，，那么（ ） A. B. C. D. 2. 复数是纯虚数，则实数（ ） A. 0 B. C. 1 D. 3. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.01； B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D. 若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32. 6. 甲、乙两人投篮的命中率分别为和，现甲、乙各投篮一次，记为甲命中的次数，为乙命中的次数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设，其中，则（ ） A. B. C. D. 8. 随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长，现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（ ）（参考数据：，） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 9. 如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 10. 德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（ ） A. 存在，有 B. 对任意，都存在， C. 若，，则有 D. 存在三个点，，，使为等腰直角三角形 二、填空题（5*5=25） 11. 函数的定义域为______． 12. 在的展开式中，的系数是________．（用数字作答） 13. 某款扫地机器人根据接收语音指令完成扫地任务．若语音指令接收清晰，则成功完成扫地任务的概率为0.9；若语音指令接收不清晰，则成功完成扫地任务的概率为0.5．设语音指令接收清晰的概率为，若该款机器人成功完成扫地任务的概率为0.8，则的值为__________． 14. 若对任意，有，写出符合要求的一个解析式________，则函数在上的最大值与最小值的和________． 15. 函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，，设函数，关于有以下四个命题： （1）对任意整数，满足 （2）当时，的值域为 （3），有恒成立，则实数 （4）若，则实数的取值范围是 以上命题为真命题的有__________． 三、解答题（85分） 16. 设函数， （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式的解集． （3）若，，，求的最小值． 17. 甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． （1）若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率是___________． （2）若从甲袋中随机取2个，求所取的2个球中至少有一个红球的概率； （3）若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 18. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明； （3）解不等式. 19. 某学校组织生物小组开展航天育种实践活动，选取辣椒、番茄、大豆三类作物作为研究对象，为此购买了一批种子．生物小组为了研究这批种子的发芽情况，从每类作物的种子中各选取100粒太空种子和100粒普通种子进行对比试验，统计结果如下： 发芽的太空种子数 发芽的普通种子数 辣椒 90 83 番茄 88 82 大豆 91 85 假设每粒种子是否发芽相互独立，用频率估计概率． （1）估计这批太空辣椒种子发芽的概率； （2）某同学从这批太空辣椒种子中，再随机选取3粒种子进行发芽实验，记发芽的种子数为X，求X的分布列和数学期望； （3）某同学设计了每类作物种子的混合方案如下： 方案①：将太空辣椒种子与普通辣椒种子按1∶2的比例混合； 方案②：将太空番茄种子与普通番茄种子按1∶3的比例混合； 方案③：将太空大豆种子与普通大豆种子按2∶3的比例混合． 上述方案中满足混合后种子发芽的概率估计值不低于85%的是_________．（直接写出序号） 20. 已知直线是函数的一条切线． （1）求的值； （2）设实数使得对恒成立，求的值； （3）证明：对任意的，，均有． 21. 已知函数的定义域为，如果，都有，那么称函数具有性质. （1）已知函数（），（）直接判断函数，是否具有性质； （2）对于函数（），证明：存在定义域为的函数，使得对任意成立； （3）对任意具有性质的函数，判断是否存在定义域为的函数，使得对任意成立，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $