第二单元三角形的再认识解答题（专项训练）-2026-2027学年五年级上册数学北师大版

**基本信息** 聚焦三角形内角和与三边关系，通过分层题型构建“概念理解-技巧迁移-实际应用”的完整训练体系，强化逻辑推理与数学应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |内角和计算与应用|10题（如1-10题）|份数法、方程法、分类讨论（等腰三角形多解）|从三角形内角和（180°）基础概念，到等腰、直角三角形特殊性质应用，形成“一般到特殊”的推理链| |多边形内角和探究|2题（11-12题）|分割三角形法（n边形内角和=(n-2)×180°）|由三角形内角和拓展至多边形，体现“转化”思想，构建知识迁移路径| |三边关系应用|13题（13-25题）|列举验证法、不等式边界分析|以“两边之和大于第三边”为核心，结合实际情境（如航天支架、建筑三脚架），培养数学眼光与应用意识|

第二单元三角形的再认识解答题高频易错题（专项训练） 一、解答题 1．一个三角形中最大内角的度数是最小内角的5倍，另一个内角的度数是最小内角的3倍，这个三角形的三个内角的度数分别是多少？ 2．一个等腰三角形，顶角的度数比一个底角多72度，这个等腰三角形的顶角和底角分别是多少度？ 3．在建设城市高架路中，工程师需要测算匝道的倾斜角度、高架路支柱的各个角度。如图是匝道的横截面示意图，工程师测量示意图三角形外的一个角为160°，右侧直角三角形的一个锐角为44°，请你根据这两个数据，用你学的知识算一算∠1、∠2、∠3的度数。 4．三角形一个内角是42度，是另一个内角度数的一半，第三个内角多少度？ 5．丽丽家有一个直角三角形的小花园，这个花园中最大角的度数恰好是最小角的3倍，这个花园的两个锐角的度数分别是多少？ 6．一个三角形花坛，花坛的最大角是120°，是最小角的6倍，这个三角形花坛的第三个角是多少度？按角分，这个花坛的形状是什么三角形？ 7．下面是3块三角形玻璃打碎后分别留下的碎片。你知道它们原来各是什么三角形吗？（先计算，再判断）      8．公园的草坪上有一块三角形的警示牌，已知它是一个等腰三角形，并且三个角都是锐角。测得其中一个角是70度，另外两个角可能是多少度？（请写出所有的情况） 9．王叔叔用钢材做了一个三角形的钢架，其中两个内角的度数分别是35度和45度，它的另一个角是多少度？ 10．如下图，用两把完全相同的三角尺分别拼出一个四边形和一个三角形。关于拼出的图形内角和，你同意谁的说法？请说明理由。 11．八角窗作为我国古代建筑中极具特色的设计形式，其正八边形的轮廓不仅承载着象征八方来财的文化寓意，更蕴含了精妙的几何原理。你能用喜欢的方法探究八边形的内角和是多少吗？（可以在图中画一画、算一算。） 12．请你用适当的方法来验证八边形的内角和是1080°。（先在下图中分一分，再列式计算验证） 13．在航天领域，工程师们经常需要计算各种形状和尺寸的零件，以确保它们能够安全、有效地组装在一起。假设航天器上需要安装一个三角形的天线支架，工程师已经确定了其中两条支撑臂的长度，分别为8米和10米。为了确保天线支架的稳定性，第三条支撑臂长度最长多少米？最短多少米？请利用三角形三边关系的知识进行解答。（支撑臂长度取整米数） 14．一根铁丝正好可以围成一个边长为12厘米的正方形，如果用这根铁丝围成一个底边为20厘米的等腰三角形，那么这个等腰三角形的三条边分别是多少厘米？ 15．周日，小宇在家做数学小实践。他把一根12厘米长的吸管剪成3段（每段都是整厘米数），围成一个三角形。这个三角形的三边长分别是多少厘米？（写出所有可能） 16．星期天，笑笑从家出发去奶奶家，怎样走最近，是多少千米？最远的路程是多少千米？最近的路程与最远的路程相差多少千米？（用笔描粗最近和最远的路线） 17．在机器人关节或机械臂的结构设计中，常采用等腰三角形的框架来平衡受力与重量。小明有长度为4厘米、8厘米的小棒各两根，选其中的三根围成一个等腰三角形。围成的等腰三角形周长是多少厘米？ 18．一根铁丝正好可以围成一个边长是26厘米的等边三角形，如果将这根铁丝改围成一个腰比底长3厘米的等腰三角形，那么围成的这个等腰三角形的底是多少厘米？ 19．三角形的一条边长是10厘米，另外两条边长（整厘米数）的和是15厘米，这两条边长可以分别是多少厘米？你能把你想到的符合条件的一组一组地都写出来吗？试试看。 20．刘洋手里有6根小棒，长度分别是4厘米、7厘米、9厘米、13厘米、17厘米和21厘米。从中选出3根摆成三角形，可以选哪三根？写出所有满足题意的结果。 21．明明全家打卡了莆田兴化府历史文化街区。放眼望去，旧街古建筑相连成一片，大红灯笼高高挂，面面彩旗迎风飘扬，一派熙熙攘攘的热闹景象。 漫步在古街上，恰逢踩高跷表演。小演员的身高约1.64米，腿长约0.82米，高跷高1米。明明听到妹妹说：“哇！高跷好长啊，她一步可以迈出5米远。”对于这种说法你赞同吗？请你从数学的角度出发，写出结论，并解释理由。 22．田田和贝贝想用木条制作一个三角形框架。他们先截出一根10厘米和一根17厘米的木条。田田说：“第三根木条可以是7厘米。”贝贝却认为：“第三根木条可以是9厘米。”你认为谁说的正确？请说明理由。 23．小小家要建一座漂亮的房子，请你帮她家选择三根木料做成房子的三脚架（三脚架为等腰三角形），并说说你选择的理由。 24．要用一根1米长的木条制作一个三角形，小明是这样想的。 （1）你同意小明的想法吗？说明你的理由。 （2）请你设计一种分割方案，使分割成的三段可以制作成一个三角形。 25．数学课上，同学们正在进行“剪小棒摆三角形”的探索活动。他们首先尝试把长度为12厘米的小棒剪成三段（三段的长度均为整厘米数），再把这三段首尾相接摆一个三角形。（12厘米长的小棒如下图，图中每个一样长）    （1）淘气想到了两种剪法，如下图（“”表示剪的位置）。按这两种剪法剪开后的小棒能分别摆成三角形吗？如果能，请在括号里画“√”，如果不能，请在括号里画“×”。 ①第一种剪法：（    ） ②第二种剪法：（    ） （2）如果先从小棒左边剪下2厘米长的一段作为三角形的一条边，如下图（“  ”表示剪的位置），要想摆成一个三角形，接下来应该从哪里剪开才能得到三角形的另外两条边？请你在图中画“  ”表示出接下来要剪的位置，并写出你的思考过程。    思考过程： （3）请你结合以上对“剪小棒摆三角形”的探索，提出一个想继续研究的数学问题。 我提出的数学问题：_________________ 参考答案 1．、、 【分析】把最小内角的度数看作1份，最大内角是5份，另一个内角是3份，三个内角的总份数对应三角形内角和，先用除法求出1份的度数，再用乘法分别计算另外两个内角的度数。 【详解】总份数： 最小内角： 最大内角： 另一个内角： 答：这个三角形的三个内角的度数分别是、、。 2．顶角是，底角是。 【分析】三角形内角和为180°，等腰三角形的两个底角度数相等。已知顶角的度数比一个底角多72°，若将顶角的度数减去72°，此时顶角的度数与底角的度数相等，三个角的总度数也对应减少72°，计算调整后的总度数，从而计算出底角度数，顶角度数。 【详解】180°－72°＝108° 108°÷3＝36° 36°＋72°＝108° 答：这个等腰三角形的顶角是108°，底角是36°。 3．∠1＝20°，∠2＝26°，∠3＝134°。 【分析】先用平角＝180°减去已知角160°求出∠1； 根据直角三角形两个锐角和为90°，算出右侧直角三角形的底部未标注的锐角度数；然后通过平角的度数求出∠3； 根据三角形内角和为180°，计算出∠2的度数。 【详解】∠1＝180°－160°＝20° 90°－44°＝46° ∠3＝180°－46°＝134° ∠2＝180°−20°−134°＝26° 答：∠1的度数是20°，∠2的度数是26°，∠3的度数是134°。 4．54度 【分析】42度是另一个内角度数的一半，42度乘2等于另一个内角的度数，再利用三角形内角和为180度，减去两个已知内角的度数，得到第三个内角的度数。 【详解】42×2＝84（度） 180－42－84 ＝138－84 ＝54（度） 答：第三个内角54度。 5．和 【分析】先根据直角三角形的特征确定最大角是的直角，结合最大角是最小角的3倍求出最小锐角，再利用三角形内角和为算出另一个锐角的度数。 【详解】直角三角形的最大角是直角，度数为。 最小锐角的度数：（度） 另一个锐角的度数：（度） 答：这个花园的两个锐角的度数分别是和。 6．40°；钝角三角形。 【分析】已知三角形内角和是180°，最大角是120°，且是最小角的6倍，首先利用除法求出最小角的度数，然后用内角和减去最大角和最小角求出第三个角的度数。最后根据最大角是钝角来判断三角形的形状。 【详解】120÷6＝20° 180°－120°－20°＝60°－20°＝40° 因为最大角是120°，120°＞90°是钝角，所以这个三角形是钝角三角形。 答：这个三角形花坛的第三个角是40°；按角分，这个花坛的形状是钝角三角形。 7．（1）钝角三角形； （2）锐角三角形（等边三角形）； （3）直角三角形 【分析】 根据三角形内角和为180°，用180°减去已知的两个角的度数，求出第三个角的度数，再根据角的度数判断三角形类型：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形；有一个角是钝角（大于90°小于180°）的三角形是钝角三角形；三个角都相等（60°）的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的锐角三角形。 【详解】 （1） 因为103°是钝角，所以该三角形是钝角三角形。 答：原来的三角形是钝角三角形。 （2） 三个角都是60°，所以该三角形是锐角三角形（等边三角形）。 答：原来的三角形是锐角三角形（等边三角形）。 （3） 因为90°是直角，所以该三角形是直角三角形。 答：原来的三角形是直角三角形。 8．70度和40度；55度和55度 【分析】如果70度是底角，还有一个底角是也是70度，根据三角形内角和为180度，可算出顶角为40度。 如果70度是顶角，根据三角形内角和为180度，两个底角和为180度－70度＝110度，除以2求出底角；据此解答。 【详解】第一种情况：70度是底角 180－70×2 ＝180－140 ＝40（度）                                                第二种情况：70度是顶角 （180－70）÷2 ＝110÷2 ＝55（度） 答：如果70度是底角，另外两个角是70度和40度，如果70度是顶角，另外两个角是55度和55度。 9．100度 【分析】三角形内角和为180度，用180度减去两个已知角的度数，即可求出它的另一个角是多少度。 【详解】180－35－45 ＝145－45 ＝100（度） 答：它的另一个角是100度。 10．同意小明的说法。理由：两个完全相同的三角尺内角和都是180°；拼成四边形内角和是360°，拼成大三角形内角和仍是180°，拼出图形不同，内角和不相等，因此小慧说法错误，小明正确。 【分析】根据题意，明确三角尺内角和是180°，左图拼出的是四边形，这个四边形的内角就是两个小三角形的全部内角，因此它的内角和是180°＋180°＝360°；右图拼出的仍然是大三角形，三角形的内角和固定是180°。 【详解】180°＋180°＝360° 答：同意小明的说法。理由：两个完全相同的三角尺内角和都是180°；拼成四边形内角和是360°，拼成大三角形内角和仍是180°，拼出图形不同，内角和不相等，因此小慧说法错误，小明正确。 11．1080° 【分析】把八边形分成6个三角形，八边形的内角和是6个三角形的内角和之和，三角形内角和是180°，据此计算解答。 【详解】 180°×6＝1080° 答：八边形的内角和是1080°。 12．把一个八边形分成了6个三角形。 八边形的内角和是180°×6＝1080°。 【分析】先将八边形分割成几个三角形，一个三角形的内角和是180°，可以被分割成几个三角形，则八边形的内角和就等于几个180°，依此解答。 【详解】略 13．17米；3米； 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边的规律，先确定第三边的长度范围，再结合整米数的实际要求，得出最长和最短长度。 【详解】第三条边的长度要小于8米与10米的和：（米），即第三条边的长度米； 8米与第三条边的长度和要大于10米，即8＋第三条边的长度＞10米，因此第三条边的长度要大于：（米）；综上，2米＜第三条边的长度＜18米， 由于支撑臂长度为整米数，所以第三条支撑臂最长是（米），最短是（米）。 答：第三条支撑臂长度最长17米，最短3米。 14．20厘米、14厘米、14厘米 【分析】先根据正方形边长算出铁丝总长度，正方形的周长＝边长×4，再结合等腰三角形的底边长度求出腰长，用总长度减去底边长度的差，再除以2即可，最后验证三边是否满足三角形三边关系。 【详解】12×4＝48（厘米） （48－20）÷2 ＝28÷2 ＝14（厘米） 14＋14＝28（厘米） 28＞20，满足三角形三边关系。 答：这个等腰三角形的三条边分别是20厘米、14厘米、14厘米。 15．5厘米、5厘米、2厘米；5厘米、4厘米、3厘米；4厘米、4厘米、4厘米 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，那么最长边小于周长的一半，再按顺序列举所有整厘米数的组合，避免重复或遗漏。 【详解】12÷2＝6（厘米），最长边小于6厘米 当最长边为5厘米时 另外两边之和：12－5＝7（厘米） 三角形三边为：5厘米、5厘米、2厘米；5厘米、4厘米、3厘米； 当最长边为4厘米时， 另外两边之和为：12－4＝8（厘米） 三角形三边为：4厘米、4厘米、4厘米 答：这个三角形的三边长可能是：5厘米、5厘米、2厘米；5厘米、4厘米、3厘米；4厘米、4厘米、4厘米。 16．0.82千米。 1.92千米   1.1千米 【分析】从题中主题图可以发现，笑笑从家到奶奶家有4条路，分别是直接去奶奶家直线1条和曲线1条，或者先经过商场再去奶奶家以及先经过学校再去奶奶家。根据两点之间线段最短，得出直线比曲线近，还可以看出图中直线和另外两条路分别围成了两个三角形，根据三角形两边之和大于第三边，可知走直线直接去奶奶家那条路最近；再分别计算剩下2条路的距离后，进行比较，得出最远的路；然后用最远的减去最近的即可解此题。 【详解】根据：两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边可知走直接去奶奶家那条线段路最近，是0.82千米； 1.17＋0.75＝1.92（千米） 0.56＋0.96＝1.52（千米） 0.82＜1.05＜1.52＜1.92 1.92－0.82＝1.1（千米） 最远的路程是1.92千米，最近的路与最远的路相差1.1千米。 用笔描粗最近和最远的路线略。 17．20厘米 【分析】列出所有可能的三根小棒的组合情况。根据三角形任意两边之和大于第三边，对每种组合逐一判断是否能构成三角形。如果组合满足三边关系，那么将三边长度相加即可得到对应等腰三角形的周长。 【详解】①选2根4厘米和1根8厘米，此时腰长为4厘米，底为8厘米，计算得 4＋4＝8（厘米），不满足“两边之和大于第三边”，无法围成三角形，排除这种情况。 ②选2根8厘米和1根4厘米，此时腰长为8厘米，底为4厘米，8＋4＝12（厘米）＞8厘米，满足三边关系，可以围成三角形。 周长：8＋8＋4＝20（厘米） 答：围成的等腰三角形周长是20厘米。 18． 24厘米 【分析】首先根据等边三角形边长求出铁丝总长度；其次分析等腰三角形腰与底的关系，腰比底长3厘米，有两条腰，一共多出6厘米，如果把两条腰都缩短3厘米，三条边就全部和底边一样长，即底边长度（铁丝总长度），据此作答。 【详解】根据分析可知，铁丝总长度为：（厘米）； 等腰三角形的底长为： （厘米） 答：围成的这个等腰三角形的底是24厘米。 19．3厘米和12厘米、4厘米和11厘米、5厘米和10厘米、6厘米和9厘米、7厘米和8厘米。 【分析】根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。先列举出和是15的所有整数组合，再逐一验证每组数据与已知边10厘米是否满足“两边之和大于第三边”的条件。 【详解】15＝1＋14＝2＋13＝3＋12＝4＋11＝5＋10＝6＋9＝7＋8 ①另外两边为1厘米和14厘米时：1＋10＝11（厘米），11＜14，不能围成三角形。 ②另外两边为2厘米和13厘米时：2＋10＝12（厘米），12＜13，不能围成三角形。 ③另外两边为3厘米和12厘米时：3＋10＝13（厘米），13＞12，能围成三角形。 ④另外两边为4厘米和11厘米时：4＋10＝14（厘米），14＞11，能围成三角形。 ⑤另外两边为5厘米和10厘米时：5＋10＝15（厘米），15＞10，能围成三角形。 ⑥另外两边为6厘米和9厘米时：6＋9＝15（厘米），15＞10，能围成三角形。 ⑦另外两边为7厘米和8厘米时：7＋8＝15（厘米），15＞10，能围成三角形。 答：这两条边长可以分别是3厘米和12厘米、4厘米和11厘米、5厘米和10厘米、6厘米和9厘米、7厘米和8厘米。 20．见详解 【分析】三角形任意两边之和大于第三边；从给定的六根小棒中选取三根进行组合，逐一验证这些组合是否满足三角形的三边关系。据此分析解答。 【详解】根据分析可知： 4＋7＞9，所以4厘米、7厘米和9厘米可以摆成三角形； 7＋9＞13，所以7厘米、9厘米和13厘米可以摆成三角形； 7＋13＞17，所以7厘米、13厘米和17厘米可以摆成三角形； 7＋17＞21，所以7厘米、17厘米和21厘米可以摆成三角形； 9＋13＞17，所以9厘米、13厘米和17厘米可以摆成三角形； 9＋13＞21，所以9厘米、13厘米和21厘米可以摆成三角形； 9＋17＞21，所以9厘米、17厘米和21厘米可以摆成三角形； 13＋17＞21，所以13厘米、17厘米和21厘米可以摆成三角形； 答：任选3根小棒可以摆成三角形的有：4厘米、7厘米和9厘米；7厘米、9厘米和13厘米； 7厘米、13厘米和17厘米； 7厘米、17厘米和21厘米； 9厘米、13厘米和17厘米； 9厘米、13厘米和21厘米； 9厘米、17厘米和21厘米； 13厘米、17厘米和21厘米。 21．不赞同；小演员一步不可能迈出5米远；因为三角形任意两边之和大于第三边，在形成的三角形中，已知两边之和是3.64米，则第三边（迈出一步的距离）应小于3.64米，不可能迈出5米远。（理由不唯一，合理即可） 【分析】人的两腿和迈出一步的距离形成的图形可看作一个三角形，可以先求出小演员腿长和高跷的总长度，即0.82＋1＝1.82（米）；根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，已知两边长度和为1.82＋1.82＝3.64（米），则第三边（迈出一步的距离）应小于3.64米，不可能迈出5米远。据此解答并说理。 【详解】根据分析可知： 0.82＋1＝1.82（米） 1.82＋1.82＝3.64（米） 3.64＜5 所以，我不赞同妹妹的说法，小演员一步不可能迈出5米远。理由略。 22．贝贝；理由：根据三角形三边关系，第三边必须大于两边之差（17－10＝7厘米）且小于两边之和（17＋10＝27厘米）；田田提出的7厘米等于两边之差，无法构成三角形；贝贝提出的9厘米满足7＜9＜27，可以构成三角形。 【分析】已知两边分别为10厘米和17厘米，根据三角形三边关系：任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边；计算两边之差：17－10＝7（厘米），计算两边之和：17＋10＝27（厘米），因此，第三边必须大于7厘米且小于27厘米；据此解答即可。 【详解】两边之差：17－10＝7（厘米） 两边之和：17＋10＝27（厘米） 即7厘米＜第三边＜27厘米， 验证田田的建议（7厘米）： 当第三边是7厘米时，检查是否满足三边关系：7＝7，即第三边等于两边之差，因此，7厘米不成立； 验证贝贝的建议（9厘米）： 当第三边是9厘米时，检查是否满足三边关系： 7厘米＜9厘米＜27厘米；因此，9厘米成立； 答：所以贝贝说的正确。理由略。 23．两根3米和一根5米；这样组成的三脚架看起来更漂亮。（答案不唯一） 【分析】由题干可知，要做的三脚架为等腰三角形，则选择的3根木料中必须要2根木料的长度相同，长度相同的木料里有两种选择，即3米和6米，需要再选择一根木料一起组成三脚架，选择的3根木料要组成三角形，则必须满足三角形任意两边的和大于第三边，据此可以解答。 【详解】选择两根3米的木料，3＋3＝6（米），则另外一根木料的长度可以选择5米的木料，此时三根木料的长度分别为3米，3米，5米，3＋5＞3，3＋3＞5，满足任意两边之和大于第三边，可以组成三角形。 选择两根6米的木料，6＋6＝12（米），则另外一根木料的长度可以选择3米，5米的木料。当选择3米的木料时，3＋6＞6，6＋6＞3，满足任意两边之和大于第三边，可以组成三角形；当选择5米的木料时，5＋6＞6，6＋6＞5，满足任意两边之和大于第三边，可以组成三角形。 所以可以组成三脚架的3根木料组合可以是：3米，3米，5米；6米，6米，5米；6米，6米，3米。 答：小小家可以选择两根3米和一根5米的木料，这样组成的三脚架看起来更漂亮。 24．（1）不同意；三条线段要能围成一个三角形，需要满足三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边（较短两边之和大于第三边）。 （2）三边长度分别为：0.3米、0.3米、0.4米 【分析】（1）三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边（较短两边之和大于第三边）。 （2）由题意得，分割成的三段要能制作成一个三角形，那么任意两边之和要大于第三边且三边之和等于1米。据此解答。 【详解】（1）答：我不同意小明的想法。三条线段要能围成一个三角形，需要满足三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边（较短两边之和大于第三边）。 （2）如果三边长度分别为：0.3米、0.3米、0.4米。 0.3＋0.3＋0.4＝0.6＋0.4＝1（米） 0.3＋0.3＝0.6（米），0.6＞0.4，满足构成三角形的条件。 答：三边长度分别为：0.3米、0.3米、0.4米时，这三条边可以制作出三角形。（答案不唯一） 25．（1）①×；②√； （2）   思考过程：从小棒左边剪下2厘米长的一段作为三角形的一条边，还剩下12－2＝10厘米，10厘米可以分成：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5； 1＋2＜9，不能组成三角形；2＋2＜8，不能组成三角形；2＋3＜7，不能组成三角形；2＋4＝6，不能组成三角形；2＋5＞5，能组成三角形。； （3）两边之差与第三边的关系 【分析】（1）根据三角形的特性：三角形任意两边之和大于第三边；进行解答即可。 （2）从小棒左边剪下2厘米长的一段作为三角形的一条边，还剩下12－2＝10厘米，10厘米可以分成：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5，再根据三角形的特性判断。 （3）前面用到了三角形的特性：三角形任意两边之和大于第三边；可联想到继续研究两边之差与第三边的关系（答案不唯一）。 【详解】 （1）淘气想到了两种剪法，如下图（“”表示剪的位置）。按这两种剪法剪开后的小棒能分别摆成三角形吗？如果能，请在括号里画“√”，如果不能，请在括号里画“×”。 ①第一种剪法：   分成了6厘米、5厘米、1厘米的三根小棒，5＋1＝6，不能组成三角形。（×） ②第二种剪法：   分成了4厘米、4厘米、4厘米的三根小棒，4＋4＞4，能组成三角形。（√） （2）作图和过程略； （3）我提出的数学问题：两边之差与第三边的关系。 【点睛】熟悉三角形的三边关系，能够结合题意列出合理的不等式，是解答此题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $