专题1.2 空间向量基本定理 （四大考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第一册）

专题 1.2 空间向量基本定理 （四大考点） 【考点1：空间向量基底的概念及辨析 】 【考点2： 用空间基底表示向量 】 【考点3：应用空间向量基本定理证明线线位置关系】 【考点4：应用空间向量基本定理求距离、夹角 】 【考点1：空间向量基底的概念及辨析 】 1．若，，构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A． B． C． D． 2．若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 3．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（    ） A． B．5 C． D． 4．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．若构成空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 6．多选题已知空间向量，，不共面，则以下每组向量能做基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．多选题下列命题中正确的是（    ） A．若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面 B．若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线 C．若是空间的一个基底，仍是空间的另一个基底 D．若是空间的一个基底，是空间的另一个基底 8．多选题已知构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（    ） A．，，共面 B．存在不全为零的实数x，y，z，使得 C．若，，则 D．若，则 9．多选题已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（    ） A．对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得 B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．若，，则 D．若所在直线两两共面，则共面 【考点2： 用空间基底表示向量 】 10．如图所示，在三棱锥中， ，，，点M，N满足，，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 12．在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（    ） A． B． C． D． 13．如图，空间四边形中，，，，在线段上，且，点为中点，则（    ）    A． B． C． D． 14．如图，在三棱锥中，点满足，则（    ） A． B． C．2 D． 15．在平行六面体中，若，则（    ） A． B． C． D． 【考点3：应用空间向量基本定理证明线线位置关系】 16．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设，，. (1)求证EG⊥AB； (2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值． 【考点4：应用空间向量基本定理求距离、夹角 】 17．如图，四面体的所有棱长都为分别是的中点，连接． (1)求的长； (2)求点到平面的距离． 18．如图，空间四边形中，，，，点分别在上，且，．    (1)以为一组基底表示向量； (2)求的长度. 19．如图所示，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，．求线段的长．            20．已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，． (1)求； (2)求． 21．如图所示，已知四面体ABCD的棱长为1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，设=，=，=，{，，}为空间向量的一个基底，计算: （1）·； （2）|| 22．在平行六面体中，底面是边长为1的正方形， ，. （1）求侧棱的长； （2）分别为，的中点，求 23．正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等．它有4个面，6条棱，4个顶点．正四面体ABCD中，E，F分别是棱AD、BC中点．求： （1）AF与CE所成角的余弦值； （2）CE与底面BCD所成角的正弦值． 24．如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，E是的中点，F在上，且.    （1）用表示； （2）求向量与向量所成角的余弦值. 25．如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量，并求； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 26．如图所示，在三棱柱中，，是的中点. (1)用表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 1.2 空间向量基本定理 （四大考点） 【考点1：空间向量基底的概念及辨析 】 【考点2： 用空间基底表示向量 】 【考点3：应用空间向量基本定理证明线线位置关系】 【考点4：应用空间向量基本定理求距离、夹角 】 【考点1：空间向量基底的概念及辨析 】 1．若，，构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量共面定理可知 BCD 选项中的向量共面, 无法作为一组基底; 假设 A 中向量共面, 可知不存在满足条件的实数 , 由此知假设错误, 则 A 中向量可以作为基底. 【详解】对于 A , 假设 共面, 则可设 方程组无解, 不共面, 可以作为空间一组基底, A 正确; 对于 B, 共面, 不能作为空间一组基底, B 错误; 对于 共面, 不能作为空间一组基底, C 错误; 对于 共面, 不能作为空间一组基底, D 错误. 故选： A 2．若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助空间中基底定义，计算该向量能否用表示即可得. 【详解】由是空间中的一组基底，故两两不共线， 对A：有，故A错误； 对B：设，则有， 该方程无解，故可与构成基底，故B正确； 对C：有，故C错误； 对D：有，故D错误. 故选：B. 3．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，由向量共面列式求解即得. 【详解】依题意，共面，则存在实数，使得， 于是， 因此，解得. 故选：B 4．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】 由题意可知不共面，由此分别判断各选项中的向量是否共面，即得答案. 【详解】由于构成空间的一个基底，故不共面， 对于A，与共面，不共面，故，，不共面， 否则，若，，共面，则共面，不符题意，A错误； 对于B，假设，，共面，则存在实数，使得， 即，则，方程组无解， 假设不成立，故，，不共面，B错误； 对于C，，与共面，由于不共面， 故，与不共面，C错误； 对于D，，故，，共面， 故选：D 5．若构成空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】推导出共面，故不能构成空间的一个基底，D正确，ABC选项向量均不共面，可构成空间的一个基底. 【详解】是空间的一个基底，故不共面， A选项， 设， 则，无解， 故不共面，故可构成空间的一个基底； B选项，设， 则，无解， 故不共面，故可构成空间的一个基底； C选项，设， 则，无解， 故不共面，故可构成空间的一个基底； D选项，设， 则，得 ， 故共面， 故不可构成空间的一个基底. 故选：D 6．多选题已知空间向量，，不共面，则以下每组向量能做基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BC 【分析】利用共面向量基本定理逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，，所以、、共面，这组向量不能做基底； 对于B选项，假设，，共面， 则存在、使得， 因为构成空间的一个基底，则无解，假设不成立， 故，，不共面，这组向量能做基底； 对于C选项，假设，，共面， 则存在、，使得， 因为构成空间的一个基底，则无解，所以假设不成立， 故，，不共面，这组向量能做基底； 选项D，因为，则，，共面，这组向量不能做基底. 故选：BC. 7．多选题下列命题中正确的是（    ） A．若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面 B．若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线 C．若是空间的一个基底，仍是空间的另一个基底 D．若是空间的一个基底，是空间的另一个基底 【答案】ABC 【分析】利用向量基底的意义，逐项判断得解. 【详解】对于A，三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面，A正确； 对于B，任取非零向量，非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 则，，则，，因此共线，B正确； 对于C，假定共面，则存在实数，使得， 即，而不共面，于是，显然此方程组无解， 即假定是错的，因此不共面，是空间的一个基底，C正确； 对于D，由，得共面， 不能作为空间的一个基底，D错误. 故选：ABC 8．多选题已知构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（    ） A．，，共面 B．存在不全为零的实数x，y，z，使得 C．若，，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】利用共面向量的意义判断A；利用空间向量基底的意义判断B；利用向量共线的意义判断C；利用数量积的运算律计算判断D. 【详解】由，得，，共面，A正确； 若存在不全为零的实数x，y，z，使得，则，，共面， 不能构成基底，B错误； 当时，有，，由已知得不共面， 不一定有且，即不一定有，C错误； 由，得， 即，则，D正确． 故选：AD 9．多选题已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（    ） A．对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得 B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．若，，则 D．若所在直线两两共面，则共面 【答案】ACD 【分析】根据空间向量基本定理逐一判断. 【详解】由空间向量基本定理知：仅当不共面时，才能作为基底，即，A错； 若是空间的一个基底，则不共面， 若共面，则，， 显然无解，即不共面，故也是空间的一个基底，B对； 若，，在空间中不一定平行，C错； 若所在直线两两共面，如四面体中共顶点的侧棱所在直线，即不一定共面，D错. 故选：ACD. 【考点2： 用空间基底表示向量 】 10．如图所示，在三棱锥中， ，，，点M，N满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的加、减、数乘运算，将所求向量用表示即可求解. 【详解】因为，所以， 又，即， 所以， 因此. 故选：A. 11．如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量基本定理表示出，得到答案． 【详解】. 故选：B． 12．在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量基本定理结合向量的线性运算，用基底表示即可. 【详解】连接，如图， 因为是的中点，所以 . 故选：B 13．如图，空间四边形中，，，，在线段上，且，点为中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于、、的表达式. 【详解】因为为的中点，则， 因为，则， 因此，. 故选：B. 14．如图，在三棱锥中，点满足，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算进行求解. 【详解】， 所以，故． 故选：C. 15．在平行六面体中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用向量的线性运算可得答案. 【详解】， 所以，即. 故选：A.    【考点3：应用空间向量基本定理证明线线位置关系】 16．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设，，. (1)求证EG⊥AB； (2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值． 【答案】(1)证明过程见解析； (2) 【分析】（1）作出辅助线，利用三线合一证明出，从而得到线面垂直，进而证明线线垂直； （2）用表达与，利用空间向量夹角公式求解异面直线AG和CE所成角的余弦值. 【详解】（1）证明：连接DE， 因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，且E，G分别是AB，CD的中点， 所以， 故， 又因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以. （2）由题意得：均为等边三角形且边长为1， 所以 ，， 所以 ， 设异面直线AG和CE所成角为， 则 【考点4：应用空间向量基本定理求距离、夹角 】 17．如图，四面体的所有棱长都为分别是的中点，连接． (1)求的长； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基底表示出向量，再根据向量数量积求长度的方法即可求出； （2）由该几何体特征可知，点O在平面ABC的射影为的中心，即可求出． 【详解】（1）因为四面体的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体，， 而且， 所以， 即，所以的长为． （2）因为四面体为正四面体，所以点在平面的射影为的中心， 的外接圆半径为， 所以点到平面的距离为， 由于点为线段的中点，所以点到平面的距离为． 18．如图，空间四边形中，，，，点分别在上，且，．    (1)以为一组基底表示向量； (2)求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量运算的几何表示及空间向量基本定理求解； （2）利用空间向量数量积的运算性质，由展开计算即可. 【详解】（1）， ．    （2）， 所以， 所以 ， 所以. 19．如图所示，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，．求线段的长．            【答案】 【分析】设，，，由计算可得答案. 【详解】设，，， 则，，， ， ∵， ∴ ． ∴线段的长为． 20．已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)3 (2) 【分析】根据空间向量基本定理将所求问题转化为基向量进行计算即可. 【详解】（1）设，，， 由题意得：，，，，，， ； （2） 21．如图所示，已知四面体ABCD的棱长为1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，设=，=，=，{，，}为空间向量的一个基底，计算: （1）·； （2）||. 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1)根据的模与夹角，利用数量积公式先求的值，再根据求得结果； （2）由先平方，再开平方即可. 【详解】（1）由题意得||=||=||=1，·=·=·=， ∵=-= - ，=-， ∴·=·(-)=-+=. （2）∵=-=(+)- ， ∴== 2+ 2+ 2+ ·- ·- ·=， ∴||=. 22．在平行六面体中，底面是边长为1的正方形， ，. （1）求侧棱的长； （2）分别为，的中点，求 【答案】（1）4；（2）0. 【分析】(1)设，把作为一组基底， 根据题意可得，结合计算即可得出结果； (2)根据题意可得和，结合向量的数量积计算即可得出结果. 【详解】解：(1)设，则作为一组基底. ， ， 得，所以； (2) 23．正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等．它有4个面，6条棱，4个顶点．正四面体ABCD中，E，F分别是棱AD、BC中点．求： （1）AF与CE所成角的余弦值； （2）CE与底面BCD所成角的正弦值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设，两两成角，利用空间向量的夹角公式结合向量基本定理进行计算即可； （2）利用几何法，如图先确定线面角为，利用正四面体的性质进行计算即可得解. 【详解】（1）不妨设正四面体的边长为， 设，两两成角， 则， ， 设所成角为， 所以， （2） 连接，由为中点，则， 所以平面，所以平面平面， 作于，则平面， 由对称性为的中心， 由棱长为，所以，， ， 作于，由为中点，， 连接，， CE与底面BCD所成角的正弦值为. 24．如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，E是的中点，F在上，且.    （1）用表示； （2）求向量与向量所成角的余弦值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由E是的中点，F在上，得到，进而结合向量的基本定理，即可求解； （2）由（1）分别求得，，以及 ，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）因为E是的中点，F在上，且， 所以， 于是. （2）由（1）得， 因此， ， 又因为， 所以向量与向量所成角的余弦值为. 【点睛】本题主要考查了空间向量的基本定理，以及向量的数量积和向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的数量积积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题. 25．如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量，并求； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用空间向量的运算法则即可表示出结果，再将平方可求得模长为； （2）易知，求出，再由向量夹角计算公式可求得余弦值为. 【详解】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以， ， 则. 则与所成的角的余弦值为. 26．如图所示，在三棱柱中，，是的中点. (1)用表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，时，. 【分析】（1）结合图形由空间向量的线性运算计算可得； （2）设，用向量表示，由向量垂直根据空间向量的数量积的坐标运算求出即可. 【详解】（1） （2）假设存在点，使，设， 显然. 因为，所以， 即 . 设，又， 即， 解得， 所以当时，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$