2.5.1 第2课时 椭圆的定义及其标准方程的应用-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

第2课时　椭圆的定义及其标准方程的应用

 

 

角度1　直接法

[例1] 在平面直角坐标系中，已知点A(1，1)，B(－1，－1)，点P为动点，且直线AP与BP的斜率之积为－，则点P的轨迹方程为________.

【解析】　设P(x，y)，

因为A(1，1)，B(－1，－1)，

所以kAP＝(x≠1)，kBP＝(x≠－1)，

由kAP·kBP＝－，得·＝－(x≠±1)，即x2＋2y2＝3(x≠±1).

所以动点P的轨迹方程为x2＋2y2＝3(x≠±1).

【答案】　x2＋2y2＝3(x≠±1)

角度2　代入法(相关点法)

[例2] 已知椭圆C：＋＝1，从C上任意一点P向y轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　)

A.＋＝1(x≠0)　　 B．＋＝1(x≠0)

C．x2＋y2＝4(x≠0) D．x2＋y2＝8(x≠0)

【解析】　设点M(x，y)，根据中点的坐标公式可得P(2x，y)，代入椭圆方程＋＝1得x2＋y2＝4，其中x≠0.

【答案】　C

 角度3　定义法

[例3] (对接教材例2)已知动圆M经过定点F1(－，0)，且与圆F2：(x－)2＋y2＝16内切．求动圆圆心M的轨迹C的方程．

【解】　设动圆M的半径为r，由题意得圆F2的圆心为F2(，0)，半径R＝4.

因为动圆M与圆F2内切且F1在圆F2内，

所以|MF1|＝r，|MF2|＝R－r，

则|MF1|＋|MF2|＝4>2＝|F1F2|.

所以动点M的轨迹C是以F1，F2为焦点，2a＝4的椭圆．

所以c＝，a＝2，b2＝a2－c2＝1，

因此轨迹C的方程为＋y2＝1.

求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法

(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义法直接求解．

(2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程．

(3)相关点法(代入法)：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点轨迹的方程．

[跟踪训练1] (1)已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是(　　)

A．＋＝1(x≠0) B．＋＝1(x≠0)

C．＋＝1(x≠0) D．＋＝1

解析：选B.因为△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0，4)，所以|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，因为12＞8，所以点A到两个定点的距离之和等于定值且大于两定点间的距离，又A，B，C三点构成△ABC，所以点A的轨迹是椭圆的一部分，且焦点在y轴上，因为a＝6，c＝4，所以b2＝20，

所以顶点A的轨迹方程是＋＝1(x≠0).

(2)已知曲线x2＋y2＝16，从曲线上任意一点P向y轴作垂线，垂足为P′，且＝，则点N的轨迹方程为________．

解析：因为＝，所以P，N，P′三点共线，且||＝||，由题意设N(x，y)，则P(x，y)，因为点P在x2＋y2＝16上，所以(x)2＋y2＝16，整理得＋＝1，则点N的轨迹方程为＋＝1.

答案：＋＝1

[例4] 已知F1是椭圆＋＝1的左焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________，|PM|＋|PF1|的最大值为________．

【解析】　设右焦点为F2，椭圆＋＝1中a＝5，b＝4，则c＝3，所以焦点坐标分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.

将点M的坐标代入椭圆方程得＋>1，所以点M在椭圆外，连接PF2，