2.1 第2课时 异面直线与空间向量-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步课件（人教B版）

该高中数学课件核心内容为空间中两条直线所成的角、异面直线的判定及公垂线段与距离，通过空间向量方法解决相关问题。新课导入以斜拉桥链条为现实情境，引出异面直线所成角的探究，结合思考辨析方向向量夹角与线线角关系，通过知识梳理、例题及跟踪训练构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过问题链（如方向向量夹角辨析）发展数学思维，例题（如圆锥轴截面）和训练中用坐标法规范数学语言表达。帮助学生提升空间观念和向量应用能力，教师可借助分层设计提高教学效率。

第2课时　异面直线与空间向量 新课导入 学习目标 中国的基建和制造业突飞猛进，被网友赋予了“基建狂魔”的称号．斜拉桥两旁的链条纵横交错，不但对桥起到保护和加固作用，也成了一道美丽的风景．任意两条链条所在直线所成的角是多少？本节课我们一起来探讨． 1.了解空间中两条直线所成的角与两直线方向向量的夹角之间的关系． 2.会求空间中两条直线所成的角． 3.了解空间中两条异面直线的公垂线段． 返回导航 内 容 索 引 新知学习探究 1 1 课堂巩固自测 2 新知学习探究 第一部分 4 [提示]　都不正确，异面直线所成的角与其方向向量的夹角既有区别又有联系，事实上，它们是相等或互补的关系． 返回导航 (2)θ＝__________或θ＝_______________． 〈v1，v2〉 π－〈v1，v2〉 (3)sin θ＝____________，cos θ＝_______________． (4)l1⊥l2⇔__________＝_____⇔__________＝0. sin 〈v1，v2〉 |cos〈v1，v2〉| 〈v1，v2〉 v1·v2 返回导航 返回导航 (2)求异面直线PA与DC所成角的余弦值． 返回导航 求空间直线所成角的三种方法 (1)几何法：把空间中的两条直线平移到一个公共点，再通过解三角形求角． (2)基底法：确定一组基底，用基底表示两直线的方向向量． (3)坐标法：建立空间直角坐标系，用坐标表示两直线的方向向量. 感悟提升 返回导航 [跟踪训练1] (1)已知直线l1的方向向量为a＝(1，0，m)，直线l2的方向向量为b＝(0，1，m)，若l1与l2所成的角为60°，则m＝(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．0 C 返回导航 返回导航 (2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝1，且AB⊥AC，异面直线CB1与C1A1所成的角为60°，则该直三棱柱的侧面积为______． 返回导航 返回导航 返回导航 [例2] 已知点A(0，1，1)，B(1，0，2)，C(1，－2，3)，D(－1，－2，1)，则直线AB，CD的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．重合 D．异面 D 返回导航 返回导航 利用向量法判断直线异面应注意的问题 (1)向量平行与向量共线是一个概念，直线平行与直线共线完全不同． (2)异面直线是指两条直线不能在任何一个平面内，可转化为四点不共面问题，进而转化为三个向量不共面的问题． 感悟提升 返回导航 [跟踪训练2] 已知空间中两条不同的直线m，n，其方向向量分别为a，b，则“∀λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B 返回导航 解析：由∀λ∈R，a≠λb可知，a与b不共线，所以两条不同的直线m，n不平行，可能相交，也可能异面，所以“∀λ∈R，a≠λb”不是“直线m，n相交”的充分条件； 由两条不同的直线m，n相交可知，a与b不共线，所以∀λ∈R，a≠λb，所以“∀λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的必要条件，综上所述，“∀λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的必要不充分条件．故选B. 返回导航 2．距离：两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离．(是两直线上任意两点连线的最小值) MN 返回导航 [例3] 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，棱长都为2，试找出异面直线BA1与CB1的公垂线，并求两条异面直线BA1与CB1之间的距离． 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 判断异面直线的公垂线段的思路 (1)首先判断出该线段与两条异面直线都相交． (2)然后借助于空间向量，利用数量积为零，判断出该线段与两条异面直线都垂直． 感悟提升 返回导航 [跟踪训练3] 已知圆柱OO′的底面半径为3，高为4，A，B两点分别在两底面圆周上，并且AB＝5，求异面直线AB与OO′之间的距离． 返回导航 返回导航 课堂巩固自测 第二部分 28 1．(教材P37练习AT2改编)若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，则(　　) A．l1∥l2 B．l1⊥l2 C．l1，l2相交但不垂直 D．l1，l2异面但不垂直 解析：因为a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，所以a⊥b，所以l1⊥l2. B 返回导航 AB 返回导航 3．在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，底面ABC为正三角形，PA＝AB，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为________． 返回导航 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，O是底面正方形ABCD的中心，N是A1B1上靠近A1的三等分点，线段DD1上是否存在点M，使直线ON与AM垂直？ 返回导航 返回导航 课堂小结 1．已学习：空间中两条直线所成角、异面直线所成角及距离． 2．须贯通：利用空间向量求角与距离，体现了转化与化归的思想方法． 3．应注意：混淆两个向量的夹角和异面直线所成角的关系． 返回导航 eq \a\vs4\al(知识点一　空间中两条直线所成的角) 思考　同学们在分组讨论异面直线所成的角时，有同学认为异面直线l1，l2所成的角为θ就是其方向向量u，v的夹角〈u，v〉；有同学认为异面直线l1，l2所成的角为θ与其方向向量u，v的夹角〈u，v〉互补．你认为谁的观点正确？ [知识梳理] 设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ. 如图，则(1)θ的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2) )) . eq \f(π,2) [例1] 如图，圆锥PO的轴截面PAB是边长为4的等边三角形，C是OB的中点，D是底面圆周上一点，∠DOC＝ eq \f(2π,3) . (1)求DC的值； 【解】　在△OCD中，OD＝2，OC＝1，∠DOC＝ eq \f(2π,3) ，根据余弦定理，得DC＝ eq \r(OD2＋OC2－2OD·OC·cos \f(2π,3)) ＝ eq \r(7) . 【解】　如图，以点O为坐标原点，OB，OP所在直线分别为y轴和z轴，平面DOC内过点O且垂直于OB的直线为x轴，建立空间直角坐标系，P(0，0，2 eq \r(3) )，A(0，－2，0)，C(0，1，0)，D( eq \r(3) ，－1，0)， eq \o(PA,\s\up16(→)) ＝(0，－2，－2 eq \r(3) )， eq \o(DC,\s\up16(→)) ＝(－ eq \r(3) ，2，0)， 设异面直线PA与DC所成的角为θ， 则cos θ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos 〈\o(PA,\s\up16(→))，\o(DC,\s\up16(→))〉)) ＝ eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up16(→))·\o(DC,\s\up16(→)))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up16(→))))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(DC,\s\up16(→))))) ＝ eq \f(4,4\r(7)) ＝ eq \f(\r(7),7) ，所以异面直线PA与DC所成角的余弦值为 eq \f(\r(7),7) . 解析：因为直线l1的方向向量为a＝(1，0，m)，直线l2的方向向量为b＝(0，1，m)，l1与l2所成的角为60°，所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos 〈a，b〉)) ＝ eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a·b)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))) ＝ eq \f(m2,1＋m2) ＝cos 60°＝ eq \f(1,2) ，解得m＝±1. 解析：以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设AA1＝a(a>0)，则C(0，1，0)，A1(0，0，a)，B1(1，0，a)，C1(0，1，a)， eq \o(CB1,\s\up16(→)) ＝(1，－1，a)， eq \o(C1A1,\s\up16(→)) ＝(0，－1，0)， 2＋2 eq \r(2) 因为异面直线CB1与C1A1所成的角为60°， 所以 \o(C1A1,\s\up16(→)) eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(· eq \o(CB1,\s\up16(→)) )),| eq \o(C1A1,\s\up16(→)) || eq \o(CB1,\s\up16(→)) |) ＝cos 60°，即 eq \f(1,\r(2＋a2)) ＝ eq \f(1,2) ，解得a＝ eq \r(2) (负值已舍去)， 所以该直三棱柱的侧面积为2× eq \r(2) ×1＋ eq \r(2) × eq \r(2) ＝2＋2 eq \r(2) . eq \a\vs4\al(知识点二　异面直线的判定与空间向量) [知识梳理] 如图1，2所示，若v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，A∈l1，B∈l2：则 (1)l1与l2异面⇒v1与v2不平行； (2)l1与l2异面⇔v1，v2， eq \o(AB,\s\up16(→)) 不共面． (“l1与l2异面”是“v1与v2不平行”的充分不必要条件) 【解析】　由题得， eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝(1，－1，1)， eq \o(CD,\s\up16(→)) ＝(－2，0，－2)， eq \o(AC,\s\up16(→)) ＝(1，－3，2) ， 因为不存在实数t，使得 eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝t eq \o(CD,\s\up16(→)) ，所以 eq \o(AB,\s\up16(→)) ， eq \o(CD,\s\up16(→)) 不共线，所以直线AB，CD不平行，不重合，故选项A，C不正确； 假设 eq \o(AB,\s\up16(→)) ， eq \o(CD,\s\up16(→)) ， eq \o(AC,\s\up16(→)) 三个向量共面，因为不存在实数k使得 eq \o(CD,\s\up16(→)) ＝k eq \o(AC,\s\up16(→)) ，所以 eq \o(CD,\s\up16(→)) ， eq \o(AC,\s\up16(→)) 不共线， 设 eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝λ eq \o(CD,\s\up16(→)) ＋μ eq \o(AC,\s\up16(→)) ，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝－2λ＋μ，,－1＝－3μ，,1＝－2λ＋2μ，)) 此方程组无解， 可得 eq \o(AB,\s\up16(→)) ， eq \o(CD,\s\up16(→)) ， eq \o(AC,\s\up16(→)) 三个向量不共面， 所以直线AB，CD不相交，所以直线AB，CD异面，故选项B不正确，D正确．故选D. eq \a\vs4\al(知识点三　两条异面直线间的公垂线段与距离) [知识梳理] 1．公垂线段：一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2，则称_____为l1与l2的公垂线段．(直线MN称为公垂线) 【解】　如图，以AC的中点O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则B(0， eq \r(3) ，0)，C(－1，0，0)，A1(1，0，2)，B1(0， eq \r(3) ，2). eq \o(BA1,\s\up16(→)) ＝(1，－ eq \r(3) ，2)， eq \o(CB1,\s\up16(→)) ＝(1， eq \r(3) ，2). 假设MN为BA1与CB1的公垂线， 即∃M∈BA1，N∈CB1，使MN⊥BA1，MN⊥CB1， 令 eq \o(BM,\s\up16(→)) ＝λ eq \o(BA1,\s\up16(→)) ， eq \o(CN,\s\up16(→)) ＝v eq \o(CB1,\s\up16(→)) ． 设M(x1，y1，z1)， 所以 eq \o(BM,\s\up16(→)) ＝(x1，y1－ eq \r(3) ，z1)， 所以(x1，y1－ eq \r(3) ，z1)＝λ(1，－ eq \r(3) ，2)， 所以x1＝λ，y1＝－ eq \r(3) λ＋ eq \r(3) ，z1＝2λ， 即点M(λ，－ eq \r(3) λ＋ eq \r(3) ，2λ)， 同理可求得点N(v－1， eq \r(3) v，2v)， 所以 eq \o(MN,\s\up16(→)) ＝(v－λ－1， eq \r(3) v＋ eq \r(3) λ－ eq \r(3) ，2v－2λ). 又MN⊥BA1，MN⊥CB1， 所以 eq \o(MN,\s\up16(→)) ⊥ eq \o(BA1,\s\up16(→)) ， eq \o(MN,\s\up16(→)) ⊥ eq \o(CB1,\s\up16(→)) ， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(v－λ－1－\r(3)（\r(3)v＋\r(3)λ－\r(3)）＋2（2v－2λ）＝0，,v－λ－1＋\r(3)（\r(3)v＋\r(3)λ－\r(3)）＋2（2v－2λ）＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(v＝\f(3,5)，,λ＝\f(2,5)．)) 所以 eq \o(MN,\s\up16(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，0，\f(2,5))) ， 所以| eq \o(MN,\s\up16(→)) |＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))\s\up12(2)＋02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(2\r(5),5) . 故在BA1与CB1上存在点M，N，当BM＝ eq \f(2,5) BA1，CN＝ eq \f(3,5) CB1时，MN为BA1与CB1的公垂线且两条异面直线BA1与CB1之间的距离为 eq \f(2\r(5),5) . 解：如图，作CO′∥AO，CO′＝AO，交底面圆于点C，连接AC，易知AC∥OO1，则直线AB与OO′之间的距离等于OO′与平面ABC的距离，由图形可知，直线AB与OO′之间的距离等于O′到BC的距离， 因为AB＝5，AC＝4，且AC⊥BC， 所以BC＝ eq \r(52－42) ＝3，易知△O′CB为等边三角形，所以O′到BC的距离为 eq \f(3\r(3),2) ， 所以异面直线AB与OO′之间的距离为 eq \f(3\r(3),2) . 2．(多选)若两条异面直线所成的角为 eq \f(π,6) ，则这两条异面直线所在的方向向量的夹角可能为(　　) A． eq \f(π,6) B． eq \f(5π,6) C． eq \f(π,3) D． eq \f(5π,3) 解析：因为异面直线所成的角与其所在方向向量的夹角相等或互补，则所求两条异面直线所在的方向向量的夹角为 eq \f(π,6) 或 eq \f(5π,6) .故选AB. 解析：设AB＝m，则 eq \o(PB,\s\up16(→)) · eq \o(AC,\s\up16(→)) ＝( eq \o(PA,\s\up16(→)) ＋ eq \o(AB,\s\up16(→)) )· eq \o(AC,\s\up16(→)) ＝ eq \o(PA,\s\up16(→)) · eq \o(AC,\s\up16(→)) ＋ eq \o(AB,\s\up16(→)) · eq \o(AC,\s\up16(→)) ＝m2cos eq \f(π,3) ＝ eq \f(1,2) m2，所以|cos 〈 eq \o(PB,\s\up16(→)) ， eq \o(AC,\s\up16(→)) 〉|＝ eq \f(|\o(PB,\s\up16(→))·\o(AC,\s\up16(→))|,|\o(PB,\s\up16(→))||\o(AC,\s\up16(→))|) ＝ eq \f(\f(1,2)m2,\r(2)m2) ＝ eq \f(\r(2),4) . eq \f(\r(2),4) 解：线段DD1上存在点M，恰为DD1的中点，使直线ON与AM垂直，证明如下： 如图建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，O(1，1，0)， N(2， eq \f(2,3) ，2)， 假设M(0，0，a)，a∈[0，2]， 则 eq \o(AM,\s\up16(→)) ＝(－2，0，a)， eq \o(ON,\s\up16(→)) ＝(1，－ eq \f(1,3) ，2)， 因为ON⊥AM，所以 eq \o(ON,\s\up16(→)) · eq \o(AM,\s\up16(→)) ＝－2＋2a＝0，解得a＝1∈[0，2]. 所以线段DD1上存在点M，恰为DD1的中点，使直线ON与AM垂直． $