第5章 素养提升课一 小船渡河问题与关联速度问题-【金版新学案】2026-2027学年高中物理必修第二册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教版）

本讲义聚焦高中物理曲线运动中的小船渡河问题与关联速度问题，系统梳理小船渡河最短时间、最短位移的分析方法，以及绳关联、杆关联模型的速度分解原理，以运动的合成与分解为基础构建知识支架。 通过师生互动任务引导科学探究，结合探究归纳表格强化模型建构，融入抗洪救灾等实际情境例题培养科学思维。课中助力教师高效授课，课后学生可通过针对练与测评查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

素养提升课一　小船渡河问题与关联速度问题 【素养目标】　1.能运用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题，会求渡河的最短时间和最短位移。　2.会分析实际运动中的关联速度问题，建立常见的“绳关联”模型和“杆关联”模型。 提升点一　小船渡河问题 【师生互动】　一条宽度为d的河流，河水匀速流动，流速为v1，小船在静水中的运动速度为v2，且v2>v1。 任务1.渡河过程中，小船参与了哪两个分运动？ 任务2.要使小船渡河的时间最短，小船应如何渡河？画出运动示意图，最短时间是多少？ 任务3.要使小船渡河的航程最短，小船应如何渡河？画出运动示意图，最短的航程是多少？渡河所用的时间是多少？ 提示：任务1.(1)小船自身的运动(即船在静水中的运动)；(2)小船随河水流动的运动。 任务2.要使小船渡河的时间最短，小船在静水中的速度应全部用于过河，因此船头的方向应垂直于对岸；小船运动示意图如图甲所示，则最短渡河时间tmin＝。 任务3.要使小船渡河的航程最短，小船的合速度方向应垂直于对岸，即船头需向上游转过一定的角度，因为v2>v1，小船速度的合成如图乙所示，则 小船的速度v′＝，船头方向与河岸上游的夹角满足cos θ＝ 最短的航程即为河的宽度d 故渡河所用的时间t′＝。 【探究归纳】 小船渡河问题的常见情况 情况 图示 说明 渡河时间最短 当船头垂直于河岸时，小船渡河时间最短，最短时间为tmin＝，此时渡河位移x＝ 续表 情况 图示 说明 渡河位移最短 当v水＜v船时，如果满足v水－v船cos θ＝0，合速度垂直于河岸，小船渡河位移最短(等于河宽d)，此时渡河时间t＝ 当v水＞v船时，如果船头方向(v船方向)与合速度方向垂直，小船渡河位移最短。由图知sin θ＝，最短的渡河位移为xmin＝＝ 小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求：(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6) (1)当小船的船头始终垂直河岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？ (2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？ 答案：(1)40 s　正对岸下游120 m处　(2)船头的方向与河岸的上游成53°角　50 s 解析：(1)当小船的船头始终垂直河岸行驶时，小船垂直河岸的速度即为小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t＝ s＝40 s，小船沿水流方向的位移x＝v水t＝3×40 m＝120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸。 (2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合速度v合应垂直于河岸，如图所示，则v合＝＝4 m/s， 经历时间t′＝ s＝50 s，又cos θ＝＝0.6，则θ＝53°，即船头的方向与河岸的上游成53°角。 [拓展变式]　如果水流速度变为10 m/s，其他条件不变，要使小船航程最短，应如何航行？画出运动情景示意图加以说明。 答案：如果水流速度变为10 m/s，则v水′＞v船，要使小船航程最短，应使v合′的方向垂直于v船，如图所示，故船头应偏向上游，与河岸成θ′角，有cos θ′＝，解得θ′＝60°，即船头的方向与河岸的上游成60°角。 针对练.(2025·四川眉山高一下期末)2024年4月，我国广东韶关、清远、广州等地出现局部特大暴雨天气，多地遭受洪涝灾害，广州成为受灾最为严重的地区之一。救援小组在某次救援时，船从距对岸最近距离为d的A点出发，经过一段时间到达对岸。已知水速恒为v1，船在静水中的速度恒为v2。下列说法正确的是(　　) A.船渡河的最短时间为 B.船渡河的运动是曲线运动 C.若v1＞v2，船渡河的最小位移可能为d D.若v1＜v2，船渡河的位移最短时，船渡河的时间为 答案：A 解析：当船头与河岸垂直时，船渡河时间最短，则船渡河的最短时间为tmin＝，故A正确；根据运动的合成可知，船渡河的运动是直线运动，故B错误；若v1＞v2，根据运动的合成可知，船不能到达正对岸，设渡河位移最小时船头与河岸上游的夹角为θ，则cos θ＝，所以船渡河的最小位移为x＝＞d，故C错误；若v1＜v2，船能到达正对岸，则船渡河的位移最短为d，由运动学公式可得，船渡河的时间为t＝＝，故D错误。故选A。 提升点二　关联速度问题 【师生互动】　如图所示，岸上的小车A以速度v匀速向左运动，用绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连。 任务1：小车A和小船B某一时刻的速度大小相等吗？如果不相等，哪个速度大？ 任务2：小车A和小船B沿绳方向的速度相等吗？ 任务3：从运动的合成与分解的角度看，小船上P点的速度可以分解为哪两个分速度？若某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为α，则船的速度是多大？ 提示：任务1：不相等，船的速度大于车的速度。 任务2：相等。 任务3：如图，P点速度可以分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳方向的分速度。 由v＝v船cos α可得v船＝。 【探究归纳】 1.“关联物体”问题 当绳(或杆)斜拉着物体或物体斜拉着绳(或杆)运动时，绳(或杆)两端连接的物体的速度不相同，但二者的速度有一定的关系，此类问题即为“关联物体”问题，如图1甲、乙所示。 2.“关联物体”的速度关系 因为绳(或杆)不可伸长，所以绳(或杆)两端所连物体的速度沿着绳(或杆)方向的分速度大小相等。 3.“关联物体”问题的处理方法——速度分解 (1)分解依据：物体的实际运动就是合运动。 (2)分解方法：把物体的实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)的两个分量，根据沿绳(或杆)方向的分速度大小相同列方程求解。 (3)分解结果：把图1甲、乙中不沿绳(或杆)的速度分解，如图2甲、乙所示。 4.常见的速度分解模型 “绳关联”模型 如图所示，汽车用跨过光滑定滑轮的轻绳提升一质量为m的货物，汽车以速度v0水平向右匀速运动，重力加速度为g。在货物到达滑轮之前，下列说法正确的是(　　) A.货物向上做匀速运动 B.当轻绳与水平方向的夹角为θ时，货物上升的速度为 C.轻绳对货物的拉力总是大于mg D.轻绳的拉力保持不变 答案：C 解析：对汽车的速度v0沿轻绳的方向和垂直于轻绳的方向进行分解，如图所示，可得v绳＝v0cos θ，货物上升的速度大小等于v绳，可知当轻绳与水平方向的夹角为θ时，货物上升的速度为v0cos θ，故B错误；汽车匀速向右运动时，θ角变小，由v绳＝v0cos θ可知，v绳增大，但不是均匀变化的，故货物向上做变加速运动，加速度向上，即拉力总是大于mg，但拉力并非恒力，故A、D错误，C正确。故选C。 针对练．(2025·黑吉辽蒙高考)如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v(　　) A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 答案：B 解析：设塔块匀速下落的速度为v0，细绳与水平方向的夹角为α，将塔块的速度沿细绳、垂直于细绳的方向分解，则沿细绳方向的速度为v1＝v0sin α，将手的速度沿细绳、垂直于细绳的方向分解，则沿细绳方向的速度为v2＝v cos α，又v1＝v2，整理得v＝v0tan α，由于两人相向运动的过程中，细绳与水平方向的夹角α逐渐增大，v0要保持不变，所以v一直增大。故选B。 “杆关联”模型 (多选)(2025·河北邢台高一月考)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于水平地面上，甲球紧靠在竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。如图所示，施加微小的扰动使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，下列说法正确的是(　　) A.甲、乙两球的速度大小之比为∶3 B.甲、乙两球的速度大小之比为3∶ C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等 D.甲球即将落地时，乙球的速度为零 答案：BD 解析：设轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1沿杆方向的分量为＝v1cos θ，v2沿杆方向的分量为＝v2sin θ，而＝，当乙球距离起点3 m时，有cos θ＝，sin θ＝，解得此时甲、乙两球的速度大小之比为＝，故A错误，B正确；当甲球即将落地时，有θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，故C错误，D正确。故选BD。 “关联物体”速度的分析思路 针对练.如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(均可视为质点)，将其放在一个直角光滑槽中。已知当轻杆与槽左壁成α角时，A球沿槽下滑的速度大小为vA，此时B球的速度vB的大小为(　　) A.vAsin α B.vAcos α C. D. 答案：D 解析：如图甲、乙所示，A球以vA的速度沿槽滑下时，可分解为一个沿杆方向的分运动，设其速度为vA1，另一个垂直于杆方向的分运动，设其速度为vA2；而B球沿斜槽上滑的运动可分解为一个沿杆方向的分运动，设其速度为vB1，另一个垂直于杆方向的分运动，设其速度为vB2。由图可知vA1＝vAcos α，vB1＝vBsin α，vB1＝vA1，联立解得vB＝。故选D。 课时测评3　小船渡河问题与关联速度问题 (时间：30分钟　满分：60分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (选择题1－12题，每题4分，共48分) 1.(多选)关于轮船渡河，下列说法正确的是(　　) A.水流的速度越大，渡河的时间越长 B.欲使渡河时间最短，船头的指向应垂直河岸 C.欲使轮船垂直驶达对岸，则船的速度与水流速度的合速度应垂直河岸 D.轮船相对水的速度越大，渡河的时间一定越短 答案：BC 解析：渡河的时间长短取决于船速在垂直河岸方向上的分量，与水流的速度、轮船相对水的速度没有必然联系，故A、D错误；船头垂直指向河岸时，船速在垂直河岸方向上的分量最大，渡河的时间最短，故B正确；欲使轮船垂直驶达对岸，则船的速度与水流速度的合速度应垂直河岸，故C正确。故选BC。 2．(多选)(2026·河南郑州高一检测)图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。则其中可能正确的是(　　) 答案：BC 解析：船头垂直指向对岸时，由速度的合成可知，合速度应是偏向下游的，且运动时间最短，故A错误，C正确；小船要想渡河位移最短，船头就应指向上游且与河岸有一定的夹角，使得船在静水中沿河岸的速度分量与河水的速度大小相等，方向相反，合速度垂直河岸，故B正确；船头偏向下游时，合速度的方向与河水流动的方向间的夹角应为锐角，则小船沿直线驶向对岸下游，故D错误。 3. (2025·广西南宁高一下期末)如图所示，某小船船头垂直河岸渡河，已知该段河宽300 m，河水流速v1＝3 m/s，船在静水中的速度v2＝5 m/s，下列说法正确的是(　　) A.小船做曲线运动 B.小船渡河所用时间为60 s C.小船的速度大小为4 m/s D.小船渡河的位移大小为300 m 答案：B 解析：将小船的速度合成，如图所示，则有v＝＝ m/s，小船沿v的方向做匀速直线运动，故A、C错误；小船渡河所用时间为t＝＝60 s，故B正确；小船渡河的位移大小为x＝vt＝60 m，故D错误。故选B。 4.如图所示，一条小船位于200 m宽的河中央A点处，水流速度为4 m/s，离A点距离为100 m的下游处有一危险区，为使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少为(　　) A. m/s B. m/s C.2 m/s D.4 m/s 答案：C 解析：如图所示，小船刚好能避开危险区时，设小船合运动方向与水流方向的夹角为θ，tan θ＝＝，所以θ＝30°，当船头垂直合运动方向渡河时，小船在静水中的速度最小，小船在静水中的最小速度为v水sin θ＝2 m/s。故选C。 5.如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过O点定滑轮的不可伸长的轻绳相连接，物体A以速率vA匀速向右运动，在绳与轨道成30°角时，物体B的速度大小vB与物体A的速度大小vA之比为(　　) A. B. C. D.2 答案：A 解析：将B的速度分解，如图所示，则有v2＝vA，v2＝vBcos 30°，则＝。故选A。 6. (2025·内蒙古呼和浩特高一下期中)如图所示，竖直平面内放一直角杆MON，杆的水平部分粗糙，杆的竖直部分光滑。两部分各套有质量均为1 kg的小球A和B，A、B球间用细绳相连，已知此时OA＝6 m，OB＝8 m，若A球在水平外力作用下向右移动的速度为3 m/s时，则B球的速度为(　　) A.1.5 m/s B.2.25 m/s C.3 m/s D.4 m/s 答案：B 解析：设细绳与水平方向的夹角为θ，将A球速度沿着细绳方向和垂直于细绳方向分解，则A球沿着细绳方向的分速度为v∥＝vAcos θ，其中tan θ＝＝，A球和B球沿着细绳方向的分速度相等，则B球沿着细绳方向的分速度为v∥'＝v∥，则B球的速度为vB＝＝2.25 m/s。故选B。 7．(2025·连云港市高一期中)火灾逃生的首要原则是离开火灾现场，如图是火警设计的一种快捷让当事人逃离现场的救援方案：用一根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上，N端在水平地面上向右以v0匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆向平台B端靠近，平台高h，当BN＝2h时，被救人员向B点运动的速率是(　　) A．v0 B．2v0 C．v0 D．v0 答案：C 解析：设杆与水平面CD的夹角为θ，由几何关系得sin θ＝，解得θ＝30°。将杆上N点的速度分解成沿杆的分速度v1和垂直杆的分速度v2，则v1＝v0cos θ＝v0，而沿着同一根杆，各点的速度相同，则被救人员向B点运动的速率为v0，故C正确。 8. (2025·安徽蚌埠高一下期中)如图所示，沿倾斜杆MN以速度v匀速下滑的物体A通过轻质细绳(不可伸长)跨过不计大小的定滑轮拉水平面上的物体B(B离定滑轮足够远)。物体A在初位置时，O、A间伸直的细绳与杆MN刚好垂直，则物体A从初位置运动到定滑轮正下方O'点的过程中(两段细绳始终保持伸直)，以下说法正确的是(　　) A.物体B向右匀速运动 B.物体B向右加速运动 C.物体B向右减速运动 D.物块B向右先加速运动，后减速运动 答案：B 解析：将A的实际运动按其运动效果分解，设绳与杆的夹角为θ，使绳伸长的速度v1等于物体B向前运动的速度，则v1＝vcos θ，随着θ的减小，cos θ增大，即v1增大，则物体B向右加速运动。故选B。 9.(多选)(2025·陕西宝鸡高一下期末)一条船要在最短时间内渡过宽为100 m的河，已知河水的流速v1与船离河岸的距离x变化的关系如图甲所示，船在静水中的速度v2与时间t的关系如图乙所示，则以下判断中正确的是(　　) A.船渡河的最短时间是20 s B.船运动的轨迹可能是直线 C.船运动到河宽一半用时10 s D.船在河水中的最大速度是5 m/s 答案：AC 解析：由于船头指向正对岸时船渡河时间最短，则船渡河的最短时间是tmin＝＝ s＝20 s，A正确；因为沿水流方向船先做加速运动后做减速运动，垂直河岸方向做匀速运动，可知合运动不是直线运动，即船运动的轨迹不可能是直线，B错误；船渡河时间与水流速度无关，则船运动到河宽一半用时t1＝＝ s＝10 s，C正确；当船运动到河中心时速度最大，则船在河水中的最大速度是vm＝＝ m/s＝ m/s＞5 m/s，D错误。故选AC。 10．(2026·赣州市高一期中)如图甲是家用的人字梯，其结构简图如图乙所示，该人字梯由两个完全相同的梯子AM、AN通过顶端的铰链(大小不计)连接而成。某次使用完人字梯后需要将其收拢起来，让梯子的底端M、N两点均以恒定的速率v贴着地面向中间滑动，某时刻，梯子AM、AN和竖直方向的夹角均为30°，则此时梯子顶部铰链速度大小为(　　) A．v B．v C．v D．v 答案：A 解析：将M、A两点的速度分解，如图所示，则vcos 60°＝vAcos 30°，解得vA＝v。故选A。 11.在抗洪救灾时，救援人员划船将河对岸的受灾群众进行安全转移。一艘船的船头指向始终与河岸垂直，耗时6 min到达对岸；另一艘船的行驶路线与河岸垂直，耗时9 min到达对岸。假设河两岸理想平行，整个过程水流速度恒为v水，两船在静水中的速度相等且均恒为v船，且v船＞v水，则v船∶v水为(　　) A.3∶ B.3∶2 C.5∶4 D.5∶3 答案：A 解析：船头始终与河岸垂直到达对岸，有v船＝，船行驶路线与河岸垂直到达对岸，有＝，解得v船∶v水＝3∶。故选A。 12.如图所示，用一小车通过轻绳提升一货物，某一时刻，两段绳恰好垂直，且拴在小车一端的绳与水平方向的夹角为θ，此时小车的速度为v0，则此时货物的速度为(　　) A.v0 B.v0cos θ C.v0cos 2θ D. 答案：A 解析：如图所示，将小车的速度v0分解为沿绳方向的速度v绳和垂直绳方向的速度v1，将货物的速度v货分解为沿绳方向的速度v绳'和垂直绳方向的速度v2，根据平行四边形定则有v0cos θ＝v绳，v货cos α＝v绳'，且v绳＝v绳'，因为两段绳相互垂直，所以θ＝α，联立解得v货＝v0。故选A。 13.(12分)如图所示，河宽d＝120 m，设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2。小船从A点出发，在渡河时，船身保持平行移动。若出发时船头指向河对岸上游的B点，经过10 min，小船恰好到达河正对岸的C点；若出发时船头指向河正对岸的C点，经过8 min，小船到达C点下游的D点。求： (1)小船在静水中的速度v1的大小； (2)河水的流速v2的大小； (3)在第二次渡河中，小船被冲向下游的距离xCD。 答案：(1)0.25 m/s　(2)0.15 m/s　(3)72 m 解析：(1)小船从A点出发，若船头指向河正对岸的C点，则此时垂直河岸方向的位移为d，故有 v1＝＝ m/s＝0.25 m/s。 (2)设AB连线与河岸上游成α角，第一次渡河时恰好到达河正对岸的C点，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2＝v1cos α，此时渡河时间为t＝，解得v2＝0.15 m/s。 (3)在第二次渡河中，小船被冲向下游的距离为xCD＝v2tmin＝72 m。 学科网（北京）股份有限公司 $