周周练10 计数原理、排列与组合(范围：§1～§3)-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

周周练10　计数原理、排列与组合(范围：§1～§3)

 (满分：100分　时间：80分钟)

一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．将4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为(　　)

A．A    B．C  

C．34    D．43

解析：选C.根据分步乘法计数原理的应用，第一封信的投法有3种，第二封信的投法有3种，第三封信的投法有3种，第四封信的投法有3种，故一共有3×3×3×3＝34种投法．故选C.

2．(2026·嘉峪关期末)小夏计划某日从武汉到兰州游玩，当天的交通工具中，火车共有12个车次，飞机共有2个航班，则乘坐方式的种数共有(　　)

A．12    B．14  

C．16    D．24

解析：选B.根据分类加法计数原理，从武汉到兰州可以乘火车(12种)或飞机(2种)，总计12＋2＝14种方式．

3．(2026·郑州期末)已知生物体内存在酶X、酶A、酶S、酶J、酶Y，酶X可以与酶A、酶S、酶J、酶Y中的任意一种酶发生特异性结合反应．现有3个不同的酶X分子，每个酶X分子都随机选择一种酶进行结合，且相互独立，则不同结合方式的种数是(　　)

A．72    B．68  

C．64    D．58

解析：选C.根据题意，酶X可以与酶A、酶S、酶J、酶Y中的任意一种酶发生特异性结合反应，即每一个酶X分子都有4种结合选择方式，那么3个不同的酶X分子的结合方式共有43＝64种．

4．用四种颜色给如图所示的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，若四种颜色全用上，则不同的涂色方法的种数为(　　)

A．72    B．96  

C．108    D．144

解析：选B.设四种颜料为1，2，3，4，

①先涂区域B，有4种涂色方法，不妨设涂颜色1；

②再涂区域C，有3种涂色方法，不妨设涂颜色2；

③再涂区域E，有2种涂色方法，不妨设涂颜色3；

④若区域A填涂颜色2，则区域D，F填涂颜色分别为1，4或4，3，有2种不同的涂色方法；

若区域A填涂颜色4，则区域D，F填涂颜色分别为1，3或4，3，有2种不同的涂色方法，由分类加法计数原理知，共有4种不同的涂色方法，综合①②③④，由分步乘法计数原理可得，共有4×3×2×4＝96种不同的涂色方法．

5．北京市的周边供游客旅游的景点有8个，如图所示．为了防止假期景点过于拥挤，规定每名游客一次只能游玩4个景点，而且一次游玩景点中至多有2个相邻(如：选择A，B，E，F这4个景点也是允许的)，那么游客现在要分两次把8个景点游完，不同的选择方法共有(　　)

A．60种    B．42种  

C．30种    D．14种

解析：选C.方法一：8个点都是互不相同的，总的对分方式有C＝70种．

“4”配“4”，有8种；

“3＋1”配“3＋1”，有8×2＝16种；

“3＋1”配“2＋2”，有8×2＝16种．

又70－8－16－16＝30，所以共有30种，故选C.

方法二：“2＋2”配“2＋2”，有4种；

“2＋1＋1”配“2＋1＋1”，有8×3＝24种；

“1＋1＋1＋1”配“1＋1＋1＋1”，有2种．

因为2＋24＋4＝30，所以有30种．

6．四面体的顶点和各棱的中点共10个点．在这10点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为(　　)

A．141    B．144  

C．150    D．155

解析：选A.从10个点中任取4个点有C种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱所对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱)，它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不符合题意，所以不同的取法共有C－4C－6－3＝141(种).故选A.

二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．)

7．由数字1，2，3，5组成一个没有重复数字的四位数，下列结论正确的是(　　)

A．可以组成24个数

B．可以组成18个奇数

C．可以组成10个偶数

D．可以组成18个比2 000大的数

解析：选ABD.由数字1，2，3，5组成一个没有重复数字的四位数，则有A＝4×3×2×1＝24个数，故A正确；奇数个数：先把1，3，5选1个安排到个位有C种，其他数位有A种，共有CA＝3×3×2×1＝18个，故B正确；偶数个数：先把2安排到个位有1种，其他数位有A种，共有A＝3×2×1＝6个，