第5章 培优点7 隔板法-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

　隔板法

　　隔板法是高中排列组合的重要方法之一，它用于解决相同元素的分配问题，其模型是：将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数），每份至少一个元素，可以用m－1块隔板，插入n个元素排成一排的n－1个空隙中，共有C种分法．

[典例] (1)某校将6个三好学生名额分配到高三年级的3个班，每班至少1个名额，则不同的分配方案种数为(　　)

A．15    B．20  

C．10    D．30

(2)将20个完全相同的小球放进三个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，则不同的放法有(　　)

A．190种    B．231种

C．690种    D．1 140种

(3)某学校决定把12个参观航天博物馆的名额给三(1)、三(2)、三(3)、三(4)四个班级．要求每个班分配的名额不比班级序号少，即三(1)班至少1个名额，三(2)班至少2个名额，……，则不同的分配方案有________种．

【解析】　(1)采用“隔板法”，6个名额之间有5个空，隔2块板就可以分成3份，每份至少1个名额，故共有C＝10种方案．

(2)每个盒子可以为空，可以先给每个盒子从外部借1个元素，总共借了3个元素，然后将23个元素分配给每个盒子且每个盒子至少分1个，由此转化成标准的隔板法模型，则符合题目要求的放法共有C＝231(种).

(3)根据题意，先在编号为2，3，4的3个班级中分别分配1，2，3个名额，编号为1的班级里不分配；

再将剩下的6个名额分配4个班级里，每个班级里至少1个，

由隔板法可得共C＝10种方法，即可得符合题目要求的分配方案有10种．

【答案】　(1)C　(2)B　(3)10