第2章 2.1 双曲线及其标准方程-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本高中数学讲义聚焦双曲线的定义、标准方程及应用，从拉链实验导入，类比椭圆定义引出双曲线定义，通过即时练、例题及跟踪训练构建学习支架，系统梳理定义推导、方程求解及实际应用的脉络。 资料以实验探究培养数学眼光，通过类比椭圆定义发展数学思维，结合焦点三角形、巨响定位等实例提升数学语言表达。课中助力教师引导学生主动探究，课后学生可借助分层练习与总结巩固知识，有效查漏补缺。

§2　双曲线 2．1　双曲线及其标准方程 新课导入 学习目标 取一条拉链，拉开一部分，在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上，如图，把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出曲线，你知道画出的曲线是什么形状吗？ 1.掌握双曲线的定义及其标准方程、几何图形，会用待定系数法求双曲线的标准方程．　2.通过对双曲线方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力．　3.会利用双曲线解决一些简单的实际问题． 知识点一　双曲线的定义 思考1　同学们还记得椭圆的定义吗？把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)”，那么点的轨迹会怎么样？ 提示：将拉链拉开一段，其中一边的端点固定在F1处，在另一边上截去一段(小于|F1F2|)，作为动点P到两定点F1和F2距离之差，而后把它固定在F2处，这时将铅笔(粉笔)置于P处，于是随着拉链逐渐打开，铅笔就画出一条曲线，同理可画出另一支．(如图)显然所画的曲线不是椭圆，而是两条相同的曲线，只是位置不同，其原因都是应用了“到两定点的距离之差|PF1|－|PF2|或|PF2|－|PF1|是同一个常数”这个条件． 思考2　在新课导入给出的材料中，点M在运动过程中满足什么几何条件？ 提示：点M在运动过程中满足|MF1|－|MF2|＝常数，或|MF2|－|MF1|＝常数，且该常数小于|F1F2|. [知识梳理] 1．文字语言：平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离|F1F2|叫作双曲线的焦距． 2．集合语言：M＝{P|||PF1|－|PF2||＝2a，0＜2a＜|F1F2|}． [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹就是双曲线．(　　) (2)平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．(　　) (3)平面内两个定点F1(0，4)，F2(0，－4)，满足条件||PF1|－|PF2||＝6的动点P的轨迹是双曲线．(　　) (4)平面内两个定点F1(0，4)，F2(0，－4)，满足条件||PF1|－|PF2||＝8的动点P的轨迹是双曲线．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(2026·厦门期中)若k∈R，则“k>2”是“方程－＝1表示双曲线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．方程－＝1表示双曲线等价于(k－2)(k＋3)>0，解得k>2或k<－3， 所以“k>2” 是“方程－＝1表示双曲线”的充分不必要条件． 3．已知F1(－3，0)，F2(3，0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m的取值范围是________________． 解析：由双曲线的焦点坐标F1(－3，0)，F2(3，0)，可得|F1F2|＝6，要使得满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支， 则 解得－<m<且m≠. 答案：－<m<且m≠ 记动点M到定点F1，F2的距离分别为|MF1|，|MF2|，||MF1|－|MF2||＝2a，|F1F2|＝2c，c>0. (1)2a<2c，M的轨迹为双曲线； (2)2a＝2c，M的轨迹为两条射线； (3)2a>2c，M无轨迹图形； (4)2a＝0，M的轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点二　求双曲线的标准方程 思考　类比椭圆的方程，结合双曲线的形成过程，怎样建立坐标系才使双曲线的方程更简单些？ 提示：以F1，F2所在的直线以及线段F1F2的垂直平分线作为坐标轴，所得方程应该更简单． [知识梳理] 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图象 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 [例1] (对接教材例1)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点为(2，0)，(－2，0)，且双曲线上的一点到两个焦点的距离之差的绝对值为2； (2)焦点在y轴上，焦距为10，且经过点(0，4)； (3)经过点(2，)，(－，2). 【解】　(1)因为双曲线的焦点在x轴上，故可设方程为－＝1(a>0，b>0)，又焦点为(2，0)，(－2，0)，故可得c＝2，又双曲线上的一点到两个焦点的距离之差的绝对值为2，即2a＝2，则a＝1， 又b2＝c2－a2＝4－1＝3. 故双曲线的标准方程为x2－＝1. (2)因为双曲线的焦点在y轴上，故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， 又其焦距为10，故可得2c＝10，c＝5. 又该双曲线过点(0，4)，代入双曲线方程可得a＝4，故b2＝c2－a2＝25－16＝9， 故双曲线的标准方程为－＝1. (3)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)， 因其过点(2，)，(－，2)，故可得解得 故所求双曲线的标准方程为x2－y2＝1. 求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：根据双曲线的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出双曲线的标准方程； (2)待定系数法：依据条件判断焦点是在x轴上，还是在y轴上，设出相应双曲线的标准方程，结合已知条件建立关于a，b，c的方程组，将求得的结果代入所设方程即为所求． 注意　若焦点的位置不明确，可以分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0. [跟踪训练1] (1)焦点分别为(－2，0)，(2，0)且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为________________________________________________________. 解析：由题意得c2＝4，可设双曲线的标准方程为－＝1，将点(2，3)代入方程可得－＝1，解得a2＝1或a2＝16(舍去)，从而b2＝4－a2＝3，所以双曲线的标准方程为x2－＝1. 答案：x2－＝1 (2)焦点在x轴上，且经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准方程为_______________________________________________________________． 解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，将点(4，－2)和(2，2)代入方程得解得所以双曲线的标准方程为－＝1. 答案：－＝1 应用点一　双曲线定义和方程的应用 角度1　求长度 [例2] (2026·驻马店月考)已知双曲线C：x2－＝1的右焦点为F，M为C的左支上一点，P为线段MF的中点，O为坐标原点，若|OP|＝4，则|MF|＝(　　) A．10 B．9 C．7 D．6 【解析】　设C的左焦点为F′，连接MF′，因为P为线段MF的中点， O为坐标原点，所以|MF′|＝2|OP|＝8， 由双曲线的定义可知，|MF|－|MF′|＝2a＝2， 所以|MF|＝|MF′|＋2＝8＋2＝10. 【答案】　A 双曲线定义的双向运用 (1)判断(正用)：符合定义中到两定点的距离之差的绝对值为非零常数(小于两定点间的距离)这一条件的点的轨迹为双曲线． (2)求值(逆用)：双曲线上的任意点一定满足定义中的条件，即到两焦点的距离之差的绝对值为2a，但要注意点在双曲线的哪一支上，如点在右支上，则该点到右焦点的最小距离为c－a；该点到左焦点的最小距离为c＋a，均无最大值． 角度2　双曲线中的焦点三角形问题 [例3] 若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________． 【解析】　由题意得a＝3，c2＝9＋16＝25，则c＝5，所以|F1F2|＝2c＝10.由双曲线的定义和余弦定理得，|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝64，所以S＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2＝×64×＝16(或S＝＝＝16). 【答案】　16 (1)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用． (2)若双曲线中焦点三角形的顶角∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积S＝. 角度3　利用双曲线定义求线段和、差的最值 [例4] 已知双曲线x2－y2＝2的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，点Q(0，2)，则|PQ|＋|PF1|的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．4 【解析】　连接PF2，由题意，双曲线 x2－y2＝2化为标准方程为－＝1，所以a2＝2，b2＝2，c2＝a2＋b2＝4， 所以F1(－2，0)，F2(2，0)， 因为点P在双曲线的右支上， 所以|PQ|＋|PF1|＝|PQ|＋(|PF2|＋2)＝|PQ|＋|PF2|＋2≥|QF2|＋2＝2＋2＝4， 当且仅当Q，P，F2三点共线且P在Q，F2之间时等号成立． 【答案】　D (1)转化思想：利用双曲线定义||PF1|－|PF2||＝2a，将线段和或差转化为只含一个焦点的线段表达式，再结合三角形不等式或三点共线等几何性质求解． (2)共线原则：无论是求和还是求差的最值，取得最值的常见条件往往是动点P与定点、焦点三点共线的情况，此类问题的处理方式与椭圆一样，仍旧体现数形结合的思想方法． [跟踪训练2] (1)设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，|PF1|＝3|PF2|，则∠F1PF2的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：选C．根据双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝4，又因为|PF1|＝3|PF2|，所以|PF1|＝6，|PF2|＝2.又因为|F1F2|＝2，所以在△F1PF2中结合余弦定理的推论得，cos ∠F1PF2＝＝，因为0°<∠F1PF2<180°，所以∠F1PF2＝60°. (2)已知双曲线的标准方程为－＝1，左、右焦点分别为F1，F2，且双曲线上有一点P使得S△PF1F2＝25，则点P的坐标为________． 解析：由双曲线的标准方程－＝1，可得a＝3，b＝4，则c＝＝5， 设P(x0，y0)，则S＝×2c·|y0|＝25，解得|y0|＝5，因为点P在双曲线上，代入可得－＝1，解得x0＝±，故P(±，±5). 答案：(±，±5) (3)已知A(7，3)，双曲线C：－＝1的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则|PA|－|PF|的最大值是________． 解析：如图，设双曲线的右焦点为F′(3，0)，连接PF′，AF′，则|PF|－|PF′|＝2a＝4，因为|AF′|＝＝5，而|AF′|≥|PA|－|PF′|， 所以|PA|－|PF|＝|PA|－|PF′|－4≤|AF′|－4＝5－4＝1，当且仅当P，F′，A三点共线且F′在P，A之间时等号成立，故|PA|－|PF|的最大值是1. 答案：1 应用点二　双曲线在生活中的应用 [例5] (对接教材例2)如图所示，某接报中心O接到其正西、正东、正北方向三个观测点A，B，C的报告：A，C两个观测点同时听到了一声巨响，B观测点听到的时间比A观测点晚4 s，假定当时声音传播的速度为v m/s，各观测点到该中心的距离都是3v m，设发出巨响的位置为点P，且A，B，C，O，P均在同一平面内．请你确定该巨响发生的点P的位置． 【解】　如图，以接报中心O为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向，建立平面直角坐标系． 则A(－3v，0)，B(3v，0)，C(0，3v)， 设P(x，y)为巨响发生点，由A，C同时听到巨响声，得|PA|＝|PC|， 故P在AC的垂直平分线OP上，OP的方程为y＝－x，因为B观测点比A观测点晚4 s听到巨响， 故|PB|－|PA|＝4v<6v＝|AB|，由双曲线定义知P点在以A，B为焦点的双曲线－＝1(a>0，b>0)的左支上，依题意得a＝2v，c＝3v，所以b2＝c2－a2＝(3v)2－(2v)2＝5v2，故双曲线方程为－＝1，将y＝－x代入上式，得x＝±2v， 因为|PB|>|PA|，所以x＝－2v，y＝2v，即P(－2v，2v)， 故|PO|＝2v. 故巨响发生的点P在接报中心的北偏西45°距接报中心2v m处． 利用双曲线解决实际问题的基本步骤 (1)建立适当的坐标系； (2)求出双曲线的标准方程； (3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义). [跟踪训练3] 如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线－＝1(m>0)的一部分，当拱顶M到水面的距离为4 m时，水面宽AB为4 m，则当水面宽度为4 m时，拱顶M到水面的距离为________m. 解析：根据题意，M(0，－4)，A(－2，－8)，故－＝1，解得m＝4，即－＝1(y≤－4)，当水面宽度为4 m，即x＝±2时，y＝－4，所以拱顶M到水面的距离为(4－4) m. 答案：4－4 1．平面内到两定点A(－6，0)，B(0，8)的距离之差等于10的点的轨迹为(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．一条射线 解析：选D．因为A(－6，0)，B(0，8)，所以|AB|＝＝10，故平面内到两定点A(－6，0)，B(0，8)的距离之差等于10的点的轨迹为一条射线． 2．(多选)设F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，P为C上一点且|PF1|＝2|PF2|，则点P的纵坐标为(　　) A．－2 B．－ C．2 D． 解析：选AC．根据题意可知，a＝1，b＝，c＝，由|PF1|＝2|PF2|以及|PF1|－|PF2|＝2a＝2可得|PF1|＝4，|PF2|＝2，又|F1F2|＝2c＝2，由于|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，故PF2⊥F1F2，即△PF1F2为直角三角形，将x＝代入x2－＝1得|y|＝2，故点P的纵坐标为2或－2. 3．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是________________________________________________________． 解析：因为方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则解得k<5. 答案：(－∞，5) 4．已知双曲线C：－＝1(a>0)上的点到焦点的最小距离为1，则双曲线C的方程为________． 解析：双曲线C：－＝1(a>0)中，c＝，则双曲线上的点到焦点的最小距离为－a＝1，解得a＝1.所以双曲线C的方程为x2－＝1. 答案：x2－＝1 5．(2026·桂林月考)已知双曲线－＝1(a>0)的两个焦点分别是F1与F2，焦距为4，M是双曲线上的一点，且|MF1|＝3. (1)求双曲线的标准方程； (2)求△MF1F2的面积． 解：(1)由双曲线－＝1(a>0)的焦距为4，得a2＋3＝22，解得a＝1， 所以双曲线的标准方程为x2－＝1. (2)由|MF1|＝3，||MF2|－|MF1||＝2，解得|MF2|＝1或|MF2|＝5， 当|MF2|＝1时，M(1，0)与F1，F2共线，不符合要求， 因此|MF2|＝5，又|F1F2|2＋|MF1|2＝25＝|MF2|2，所以△MF1F2为直角三角形， 所以△MF1F2的面积是|F1F2||MF1|＝6. 1．已学习：双曲线的定义、双曲线的标准方程，双曲线在实际生活中的应用． 2．须贯通：(1)求解双曲线的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法； (2)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，体现分类讨论思想及方程思想． 3．应注意：双曲线的定义中的2a<|F1F2|或把双曲线的一支误认为是双曲线的两支；辨明双曲线的标准方程中a，b，c的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $