第1章 2.3 直线与圆的位置关系-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“直线与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理相交、相切、相离三种位置关系，通过几何法（圆心到直线距离与半径比较）和代数法（联立方程判别式）实现判定，延伸至切线方程求解、切线长计算及弦长问题（几何法与代数法），构建从情境导入到概念理解再到应用深化的学习支架。 该资料以日出情境导入，引导学生用数学眼光观察现实世界中的位置关系，通过几何法与代数法对比培养数学思维，例题设置如“求过点切线方程”让学生用数学语言解决实际问题。课中辅助教师互动教学提升参与度，课后练习题与知识总结帮助学生查漏补缺，巩固知识体系。

2．3　直线与圆的位置关系 新课导入 学习目标 在海天交于一线的天际，一轮红日先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，再跃出海面，展现着斑斓的霞光和迷人的风采．在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系． 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切与相离．　2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系．　3.会求与圆有关的弦长问题． 知识点一　直线与圆的位置关系的判断 思考　如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察太阳落山的图片，你认为直线与圆有哪些位置关系？ 提示：相离、相切与相交． [知识梳理] 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程根的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 [即时练] 1．已知直线l：x＋y＋2＝0和圆C：x2＋y2－2x－4y－3＝0，则直线l与圆C的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 解析：选C．方法一：联立 消去y，得2x2＋6x＋9＝0. 因为Δ＝62－4×2×9＝－36<0， 所以直线l与圆C相离，没有公共点． 方法二：将圆C的方程通过配方化为标准方程(x－1)2＋(y－2)2＝8，可知圆心C的坐标为(1，2)，半径r＝2.直线l的方程为x＋y＋2＝0，圆心C(1，2)到直线l的距离d＝＝＝>2，所以直线l与圆C相离，没有公共点． 2．“直线ax＋by－1＝0与圆x2＋y2＝1相交”是“a2＋b2≥1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．若直线ax＋by－1＝0与圆x2＋y2＝1相交，则圆心(0，0)到直线的距离满足<1，故a2＋b2>1，由于a2＋b2>1能推出a2＋b2≥1，但a2＋b2≥1不能推出a2＋b2>1，故“直线ax＋by－1＝0与圆x2＋y2＝1相交”是“a2＋b2≥1”的充分不必要条件． 3．已知圆C经过直线y＝x－1与圆x2＋y2＝1的公共点和点(1，1)，则圆C的一般方程为________________． 解析：联立 解得或 所以直线y＝x－1与圆x2＋y2＝1的公共点为(0，－1)和(1，0)，所以圆C经过点(0，－1)，(1，0)和点(1，1)，设圆C的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 则解得所以圆C的一般方程为x2＋y2＋x－y－2＝0. 答案：x2＋y2＋x－y－2＝0 4．若直线l：x＋y－m＝0与曲线C：y＝只有一个公共点，则实数m的取值范围是________． 解析：由曲线C：y＝，整理可得x2＋y2＝9(y≥0)，则曲线C为圆心O(0，0)，半径r＝3的圆的上半部分，如图， 由图可得直线l1与圆相切，则＝3，解得m＝±3，由图可得直线l1的方程为x＋y－3＝0；由图可得直线l2过点(3，0)，可得方程x＋y－3＝0；由图可得直线l3过点(－3，0)，可得方程x＋y＋3＝0. 由图可得m∈[－3，3)∪{3}． 答案：[－3，3)∪{3} 判断直线与圆的位置关系的方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 知识点二　圆的切线问题 [例1] (对接教材例7)已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0，直线l过点A(1，0). (1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程； (2)当直线l的斜率存在且与圆C相切于点B时，求|AB|. 【解】　(1)圆C的方程x2＋y2－6x－8y＋21＝0可化为(x－3)2＋(y－4)2＝4， 则圆C的圆心为C(3，4)，半径r＝2， ①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，此时直线l与圆C相切，满足题意； ②当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程是y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0， 由圆心C(3，4)到直线l的距离d＝＝r＝2，解得k＝，此时直线l的方程是3x－4y－3＝0，综上，直线l的方程是x＝1或3x－4y－3＝0. (2)由(1)得直线l的方程是3x－4y－3＝0， 则|AC|＝＝2， 所以|AB|＝＝＝4. (1)求过已知点的圆的切线的方法 ①如果已知点在圆上，那么圆心和已知点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得切线方程． ②如果已知点在圆外，过这点的切线有两条，但在设斜率解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在． (2)圆的切线长的求法 过圆外一点的圆的切线长的求解要抓住圆心到切线的距离等于半径这一几何性质．设切线长为l，点到圆心的距离为d，半径为r，运用勾股定理可得l＝. [跟踪训练1] (1)(2026·河西期中)已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2经过点P(3，－1)，则圆在点P处的切线方程为(　　) A．x＋y－4＝0 B．x＋y＝0 C．x－y＝0 D．x－y－4＝0 解析：选D．设圆心C(1，1)，则kCP＝＝－1，设切线斜率为k1，则k1·kCP＝－1，得k1＝1，故切线方程为y＋1＝1×(x－3)，即x－y－4＝0. (2)已知圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4及圆C外一点M(－4，－1)，过点M作圆C的一条切线，切点为N，则△MNC的面积为________． 解析：因为圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4的圆心为C(2，1)，半径r＝2， 由题意得，CN⊥MN，所以|MN|＝＝＝6，所以△MNC的面积为×2×6＝6. 答案：6 知识点三　圆的弦长问题 [例2] (对接教材例8)已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋4＝0，直线l：x＋my－1－m＝0. (1)求证：无论实数m取何值，直线l与圆C都相交； (2)当m＝1时，求直线l被圆C截得的弦长． 【解】　(1)证明：因为直线方程可化为x－1＋m(y－1)＝0，由可得所以直线恒过定点(1，1)，把(1，1)代入圆C方程得12＋12－4－4＋4＝－2<0，所以定点(1，1)始终在圆C内，所以无论实数m取何值，直线l与圆C都相交． (2)方法一：圆C：x2＋y2－4x－4y＋4＝0化为(x－2)2＋(y－2)2＝4，圆心C(2，2)，半径r＝2. 当m＝1时，直线l：x＋y－2＝0. 圆心C到直线l的距离d＝＝. 所以直线l被圆C截得的弦长为 2＝2×＝2. 方法二：当m＝1时，直线l：x＋y－2＝0. 联立 整理得x2－2x＝0，得或 设直线l与圆C相交于A(0，2)，B(2，0)，所以弦长|AB|＝＝2. 方法三：在方法二中，也可以不求交点坐标，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x2－2x＝0可得，x1＋x2＝2，x1x2＝0，由弦长公式|AB|＝·＝×＝2. 求解直线被圆截得的弦长问题时，方法有以下两种． (1)几何法：因为半径r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以常利用d2＋()2＝r2求解． (2)代数法：当直线斜率为k时，联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，运用根与系数的关系即可求得弦AB的长为|AB|＝·|x1－x2|＝·. [跟踪训练2] 在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x2＋y2－2x＋2ay＋3＝0，M上存在两点关于直线x＋y＋1＝0对称． (1)求M的半径； (2)过坐标原点O的直线l被M截得的弦长为2，求l的方程． 解：(1)圆M：x2＋y2－2x＋2ay＋3＝0，即(x－1)2＋(y＋a)2＝a2－2(a2－2＞0)，则圆心为M(1，－a)，半径r＝，因为M上存在两点关于直线x＋y＋1＝0对称，所以点M(1，－a)在直线x＋y＋1＝0上，所以1－a＋1＝0，解得a＝2，所以M的半径r＝. (2)由(1)可得(x－1)2＋(y＋2)2＝2，圆心为M(1，－2)，因为过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为2，所以圆心M(1，－2)到直线的距离d＝＝1，若直线l的斜率不存在，则直 线l的方程为x＝0，此时圆心M(1，－2)到直线l的距离d＝1，符合题意； 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx，则d＝＝1，解得k＝－，所以直线l的方程为y＝－x，即3x＋4y＝0.综上可得，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0. 1．已知圆2x2＋2y2＋3x－4y－λ＝0与x轴相切，则λ＝(　　) A．2 B．－ C．－ D．1 解析：选C．易得圆的标准方程为(x＋)2＋(y－1)2＝＋，需满足＋＞0，即λ>－，则圆心(－，1)，半径r＝，由圆与x轴相切，则＝1，解得λ＝－. 2．(多选)已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝4与直线x＋my－m－2＝0，下列选项正确的是(　　) A．直线与圆必相交 B．直线与圆不一定相交 C．直线与圆不可能相离 D．直线与圆可以相切 解析：选AC．易知直线x＋my－m－2＝0过定点P(2，1)，又(2－1)2＋(1－1)2＝1<4，所以点P在圆内，所以直线与圆必相交，所以A，C正确，B，D错误． 3．(教材P35T2改编)若直线3x－4y＋a＝0与圆(x－2)2＋(y－1)2＝4相交，则实数a的取值范围是________． 解析：依题意，由圆(x－2)2＋(y－1)2＝4的圆心(2，1)到直线3x－4y＋a＝0的距离d＝<2，解得－12<a<8. 答案：(－12，8) 4．已知点(2，－3)在圆C：x2＋y2－8x＋6y＋m＝0上． (1)求该圆的圆心坐标及半径长； (2)过点M(1，－1)，斜率为－的直线l与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长． 解：(1)因为点(2，－3)在圆C：x2＋y2－8x＋6y＋m＝0上，所以4＋9－16－18＋m＝0，解得m＝21，所以该圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝4，所以该圆的圆心坐标为(4，－3)，半径长为2. (2)因为直线l过点M(1，－1)，斜率为－，所以直线l的方程为y＋1＝－(x－1)，即4x＋3y－1＝0，则圆心(4，－3)到直线l的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2×＝. 1．已学习：直线与圆的位置关系、圆的切线问题及弦长问题． 2．须贯通：判断直线与圆的位置关系的方法有代数法与几何法，其中几何法较为简捷．求弦长的方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.　 3．应注意：根据直线与圆的位置关系求直线方程时，易忽略直线斜率不存在的情况． 由圆C：x2＋y2＋4x－1＝0可得圆心C(－2，0)，半径r＝，因为PC平分∠APB，且BC⊥PB，|PC|2＝(－2－0)2＋(0－2)2＝8， 所以cos ∠APB＝1－2sin2∠CPB＝1－2×＝1－＝－. 12．(2026·贵阳月考)已知直线l：y＝kx＋，圆x2＋y2＝4上恰有3个点到直线的距离都等于1，则k＝________． 解析：圆x2＋y2＝4的圆心坐标为(0，0)，半径为2， 直线l：y＝kx＋，即kx－y＋＝0， 要使圆x2＋y2＝4上恰有3个点到直线l的距离都等于1，则圆心到直线l的距离＝1，解得k＝±1. 答案：±1 13．(13分)在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋3与y＝2x－3的交点是圆C的圆心，直线y＝x与圆C相切． (1)求圆C的标准方程；(6分) (2)若过点Q(1，3)的直线l与圆C有且只有一个公共点，求直线l的方程．(7分) 解：(1)联立解得 所以圆C的圆心坐标为(2，1)， 又由圆C与直线y＝x相切，可得圆C的半径为＝1，可得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1. (2)由直线l与圆C有且只有一个公共点，可得直线l与圆C相切，①当直线l斜率不存在时，此时直线l方程为x＝1，与圆C相切，符合题意；②当直线l斜率存在时，设l：y＝k(x－1)＋3，即kx－y＋3－k＝0，根据圆心到切线距离等于半径可得＝1，得k＝－，所以此时直线l的方程为3x＋4y－15＝0.综上，直线l的方程为x＝1或3x＋4y－15＝0. 14．(15分)已知点M为线段AB的中点，B(6，4)，点M为圆(x－4)2＋(y－2)2＝1上的动点． (1)求A点的轨迹曲线C的方程；(5分) (2)过点P(－1，0)的直线l与(1)中曲线C交于不同的两点E，F(异于坐标原点O)，直线OE，OF的斜率分别为k1，k2，判断k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．(10分) 解：(1)设A(x，y)，M(x0，y0)，由中点坐标公式得 因为点M为圆(x－4)2＋(y－2)2＝1上的动点，则(x0－4)2＋(y0－2)2＝1，可得(－4)2＋(－2)2＝1，整理得曲线C的方程为(x－2)2＋y2＝4. (2)由题意可知，曲线C是以(2，0)为圆心，半径r＝2的圆，且直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，k≠0，E(x1，y1)，F(x2，y2)， 联立 消去y得(1＋k2)x2＋(2k2－4)x＋k2＝0， 因为直线l与曲线C交于异于坐标原点的两点E，F， 则 解得k∈(－，0)∪(0，)， 又因为k1k2＝＝ ＝k2· ＝k2· ＝k2·＝5， 所以k1k2是定值，定值为5. 15．(2026·武清月考)若对圆(x－3)2＋(y－2)2＝1上任意一点P(x，y)，|3x－4y＋a|＋|9－3x＋4y|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是________． 解析：依题意，令d＝|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|＝5(＋)， 因此d的几何意义为圆(x－3)2＋(y－2)2＝1上的点P(x，y)到直线m：3x－4y＋a＝0与l：3x－4y－9＝0的距离和的5倍． 圆(x－3)2＋(y－2)2＝1的圆心C(3，2)，半径r＝1，圆心C到直线l的距离为＞r，直线l与该圆相离．由d的取值与x，y无关，即d的取值与点P在圆上的位置无关，得该圆在平行直线m，l之间，此时当直线m平移时，该圆上任意一点P到直线m，l的距离之和均为直线m与l间的距离， 因此直线m与该圆相切或相离，且a＞0，此时≥1，则a≥4， 所以实数a的取值范围是[4，＋∞). 答案：[4，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $