第1章 2.3 直线与圆的位置关系-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

2．3　直线与圆的位置关系

知识点一　直线与圆的位置关系的判断

思考　如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察太阳落山的图片，你认为直线与圆有哪些位置关系？

提示：相离、相切与相交．

[知识梳理]

直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断

[即时练]

1．已知直线l：x＋y＋2＝0和圆C：x2＋y2－2x－4y－3＝0，则直线l与圆C的位置关系是(　　)

A．相交 B．相切

C．相离 D．相交或相切

解析：选C．方法一：联立

消去y，得2x2＋6x＋9＝0.

因为Δ＝62－4×2×9＝－36<0，

所以直线l与圆C相离，没有公共点．

方法二：将圆C的方程通过配方化为标准方程(x－1)2＋(y－2)2＝8，可知圆心C的坐标为(1，2)，半径r＝2.直线l的方程为x＋y＋2＝0，圆心C(1，2)到直线l的距离d＝＝＝>2，所以直线l与圆C相离，没有公共点．

2．“直线ax＋by－1＝0与圆x2＋y2＝1相交”是“a2＋b2≥1”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A．若直线ax＋by－1＝0与圆x2＋y2＝1相交，则圆心(0，0)到直线的距离满足<1，故a2＋b2>1，由于a2＋b2>1能推出a2＋b2≥1，但a2＋b2≥1不能推出a2＋b2>1，故“直线ax＋by－1＝0与圆x2＋y2＝1相交”是“a2＋b2≥1”的充分不必要条件．

3．已知圆C经过直线y＝x－1与圆x2＋y2＝1的公共点和点(1，1)，则圆C的一般方程为________________．

解析：联立

解得或

所以直线y＝x－1与圆x2＋y2＝1的公共点为(0，－1)和(1，0)，所以圆C经过点(0，－1)，(1，0)和点(1，1)，设圆C的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋

E2－4F>0)，

则解得所以圆C的一般方程为x2＋y2＋x－y－2＝0.

答案：x2＋y2＋x－y－2＝0

4．若直线l：x＋y－m＝0与曲线C：y＝只有一个公共点，则实数m的取值范围是________．

解析：由曲线C：y＝，整理可得x2＋y2＝9(y≥0)，则曲线C为圆心O(0，0)，半径r＝3的圆的上半部分，如图，

由图可得直线l1与圆相切，则＝3，解得m＝±3，由图可得直线l1的方程为x＋y－3＝0；由图可得直线l2过点(3，0)，可得方程x＋y－3＝0；由图可得直线l3过点(－3，0)，可得方程x＋y＋3＝0.

由图可得m∈[－3，3)∪{3}．

答案：[－3，3)∪{3}

判断直线与圆的位置关系的方法

(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．

(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．

知识点二　圆的切线问题

[例1] (对接教材例7)已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0，直线l过点A(1，0).

(1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程；

(2)当直线l的斜率存在且与圆C相切于点B时，求|AB|.

【解】　(1)圆C的方程x2＋y2－6x－8y＋21＝0可化为(x－3)2＋(y－4)2＝4，