第1章 1.5 两条直线的交点坐标-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦“两条直线的交点坐标”核心知识点，从平面几何定性研究过渡到用二元一次方程进行代数定量研究，通过解方程组求交点坐标，依据解的个数判定直线位置关系，进而延伸到过交点的直线方程及证明问题，构建完整知识支架。 该资料以问题驱动引导学生用数学眼光抽象直线位置关系，通过例题和跟踪训练培养数学思维中的推理能力，直线系方程应用体现数学语言的简洁表达。如例2用直线系快速求过交点直线，跟踪训练3证明交点在定直线上，课中助力教师系统教学，课后帮助学生巩固提升。

1．5　两条直线的交点坐标 新课导入 学习目标 　　在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标． 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．　2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系． 知识点　两直线的交点 思考　对于l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，若方程组有无数组解，那么直线l1，l2是什么位置关系？ 提示：l1，l2重合． [知识梳理] 一般地，对于两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，我们可以用直线的斜率(斜率存在时)或法向量先定性判断两条直线是否相交，若相交，则依据直线方程的概念可知，两条直线l1，l2交点的坐标就是两个方程的公共解．因此，可通过求解方程组得到两条直线l1，l2的交点坐标． [例1] (1)直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为(　　) A．(4，3) B．(－4，3) C．(－4，－3) D．(4，－3) (2)(2026·福州期中)三条直线ax＋2y－8＝0，4x＋3y－2＝0与2x－y－6＝0相交于一点，则a＝________． 【解析】　(1)联立解得所以交点坐标为(－4，3).故选B． (2)根据题意，联立解得所以直线4x＋3y－2＝0与2x－y－6＝0相交于点(2，－2). 因为三条直线ax＋2y－8＝0，4x＋3y－2＝0与2x－y－6＝0相交于一点， 所以点(2，－2)在直线ax＋2y－8＝0上，代入得2a－4－8＝0，解得a＝6. 【答案】　(1)B　(2)6 求两相交直线的交点坐标 (1)求两相交直线的交点坐标的关键是解方程组． (2)联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交；若有无数解，则两直线重合；若无解，则两直线平行． [跟踪训练1] 若三条互不重合的直线y＝－x，4x＋y＝3，mx＋y＋m－1＝0不能围成三角形，则m＝________． 解析：当三条直线交于同一点时，由可得即交点坐标为(1，－1). 将(1，－1)代入mx＋y＋m－1＝0，解得m＝1，直线为x＋y＝0，与y＝－x重合，舍去． 当y＝－x与mx＋y＋m－1＝0平行时，即－m＝－1，解得m＝1，舍去． 当4x＋y＝3与mx＋y＋m－1＝0平行时，－m＝－4，解得m＝4， 此时直线为4x＋y＋3＝0，符合题意． 答案：4 应用点一　求过两直线交点的直线方程 [例2] 求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0 的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程． 【解】　方法一：联立解得即l1与l2的交点坐标为(－1，2).又由直线l3的斜率为，得直线l的斜率为－，则直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0. 方法二：由于直线l过直线l1，l2的交点，故直线l满足3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0.整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y－1＋λ＝0.其斜率为－＝－，解得λ＝，则直线l的方程为5x＋3y－1＝0. 母题探究　本例中将“且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0”改为“过原点”，其他条件不变，则直线l的方程为________． 解析：设所求直线方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0，将(0，0)代入上式，解得λ＝1，所以所求直线方程为8x＋4y＝0，即2x＋y＝0. 答案：2x＋y＝0 求过两直线交点的直线方程的两种方法 (1)求出交点坐标，根据题意求出相关的直线方程； (2)用直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包含A2x＋B2y＋C2＝0)表示，根据题意，求出λ，化简即可． [跟踪训练2] 过直线3x－2y＋3＝0与直线x＋y－4＝0的交点，且与直线2x＋y－1＝0平行的直线方程为(　　) A．2x＋y－5＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x＋2y－7＝0 D．x－2y＋5＝0 解析：选A．由得 所以交点坐标为(1，3).设与直线2x＋y－1＝0平行的直线方程为2x＋y＋C＝0(C≠－1)，把点(1，3)的坐标代入，得2＋3＋C＝0，解得C＝－5， 所以所求直线方程为2x＋y－5＝0. 应用点二　与交点有关的证明问题 [例3] (对接教材例20)已知A(1，4)，B(－2，－1)，C(4，1)是△ABC的三个顶点，求证：△ABC的三条高所在的直线交于一点． 【证明】　由题意得，kAB＝＝，kBC＝＝，kAC＝＝－1，则AB，BC，AC边上的高所在的直线的斜率分别为－，－3，1，则AB，BC，AC边上的高所在直线的方程分别为y－1＝－(x－4)，y－4＝－3(x－1)，y－(－1)＝x－(－2)，联立解得则AB，BC边上的高所在直线的交点坐标为.又AC边上的高所在直线的方程为y＝x＋1，因为点满足方程y＝x＋1，故△ABC的三条高所在的直线交于一点． 证明平面几何中的三条直线交于一点的基本思路： 先求其中两条直线的交点坐标，然后证明这一点在第三条直线上． [跟踪训练3] 已知m为实数，设直线l1的方程为2x＋my＝1，直线l2的方程为mx＋8y＝m－2. (1)若l1与l2平行，求m的值； (2)当l1与l2相交时，用m表示交点A的坐标，并证明点A一定在某一条定直线上． 解：(1)因为l1与l2平行，则 解得m＝－4. (2)由(1)得当l1与l2相交时，m≠－4.联立解得所以点A(，－)，因为x＝＝＝1－＝1＋2y，即x－2y－1＝0(y≠0).因此，点A在定直线x－2y－1＝0(y≠0)上． 1．(教材P21T1改编)直线y＝x＋1与直线y＝－2的交点坐标为(　　) A．(－3，－2) B．(－2，－3) C．(0，0) D．(3，－2) 解析：选A．由题意有解得所以交点坐标为(－3，－2). 2．(多选)下列直线中，与直线x＋y－1＝0相交的直线是(　　) A．x＋y＝3 B．x＋y＝0 C．y＝x－3 D．y＝x－1 解析：选CD．易知直线x＋y－1＝0的斜率为－1，所以与直线x＋y－1＝0相交且不重合的直线的斜率必定不为－1，选项A，B中的直线的斜率都是－1且不与直线x＋y－1＝0重合，故A，B不符合题意，选项C，D中的直线的斜率都是1，故C，D符合题意．故选CD． 3．(2026·镇江月考)直线kx－y＋k＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第四象限，则实数k的取值范围为________． 解析：由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即k≠－2， 由解得 因为两直线的交点在第四象限， 则有解得－2<k<0， 所以实数k的取值范围为(－2，0). 答案：(－2，0) 4．求经过直线l1：3x＋4y－5＝0，l2：2x－3y＋8＝0的交点M，且满足下列条件的直线l的方程： (1)过原点； (2)与直线3x＋y＋2＝0平行； (3)与直线3x＋y＋2＝0垂直． 解：由解得故点M(－1，2). (1)当直线过原点，可设直线l的方程为y＝kx，代入点M(－1，2)可得k＝－2，故方程为2x＋y＝0. (2)若直线l平行于直线3x＋y＋2＝0，则斜率为－3，故可得方程为y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y＋1＝0. (3)若直线l垂直于直线3x＋y＋2＝0，则斜率为，故可得方程为y－2＝(x＋1)，即x－3y＋7＝0. 1．已学习：两条直线的交点、直线系过定点问题． 2．须贯通：(1)利用方程思想求两直线交点的坐标； (2)利用A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，求过两直线交点的直线方程． 3．应注意：对两直线相交条件认识模糊． 学科网（北京）股份有限公司 $