第1章 1.5 两条直线的交点坐标-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

1．5　两条直线的交点坐标

知识点　两直线的交点

思考　对于l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，若方程组有无数组解，那么直线l1，l2是什么位置关系？

提示：l1，l2重合．

[知识梳理]

一般地，对于两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，我们可以用直线的斜率(斜率存在时)或法向量先定性判断两条直线是否相交，若相交，则依据直线方程的概念可知，两条直线l1，l2交点的坐标就是两个方程的公共解．因此，可通过求解方程组得到两条直线l1，l2的交点坐标．

[例1] (1)直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为(　　)

A．(4，3) B．(－4，3)

C．(－4，－3) D．(4，－3)

(2)(2026·福州期中)三条直线ax＋2y－8＝0，4x＋3y－2＝0与2x－y－6＝0相交于一点，则a＝________．

【解析】　(1)联立解得所以交点坐标为(－4，3).故选B．

(2)根据题意，联立解得所以直线4x＋3y－2＝0与2x

－y－6＝0相交于点(2，－2).

因为三条直线ax＋2y－8＝0，4x＋3y－2＝0与2x－y－6＝0相交于一点，

所以点(2，－2)在直线ax＋2y－8＝0上，代入得2a－4－8＝0，解得a＝6.

【答案】　(1)B　(2)6

求两相交直线的交点坐标

(1)求两相交直线的交点坐标的关键是解方程组．

(2)联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交；若有无数解，则两直线重合；若无解，则两直线平行．

[跟踪训练1] 若三条互不重合的直线y＝－x，4x＋y＝3，mx＋y＋m－1＝0不能围成三角形，则m＝________．

解析：当三条直线交于同一点时，由可得即交点坐标为(1，－1). 将(1，－1)代入mx＋y＋m－1＝0，解得m＝1，直线为x＋y＝0，与y＝－x重合，舍去．

当y＝－x与mx＋y＋m－1＝0平行时，即－m＝－1，解得m＝1，舍去．

当4x＋y＝3与mx＋y＋m－1＝0平行时，－m＝－4，解得m＝4，

此时直线为4x＋y＋3＝0，符合题意．

答案：4

应用点一　求过两直线交点的直线方程

[例2] 求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0 的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．

【解】　方法一：联立解得即l1与l2的交点坐标为(－1，2).又由直线l3的斜率为，得直线l的斜率为－，则直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.

方法二：由于直线l过直线l1，l2的交点，故直线l满足3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)

＝0.整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y－1＋λ＝0.其斜率为－＝－，解得λ＝，则直线l的方程为5x＋3y－1＝0.

母题探究　本例中将“且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0”改为“过原点”，其他条件不变，则直线l的方程为________．

解析：设所求直线方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0，将(0，0)代入上式，解得λ＝1，所以所求直线方程为8x＋4y＝0，即2x＋y＝0.

答案：2x＋y＝0

求过两直线交点的直线方程的两种方法

(1)求出交点坐标，根据题意求出相关的直线方程；

(2)用直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包含A2x＋B2y＋C2＝0)表示，根据题意，求出λ，化简即可．

[跟踪训练2] 过直线3x－2y＋3＝0与直线x＋y－4＝0的交点，且与直线2x＋y－1＝0平行的直线方程为(　　)

A．2x＋y－5＝0 B．2x－y＋1＝0

C．x＋2y－7＝0 D．x－2y＋5＝0

解析：选A．由得 所以交点坐标为(1，3).设与直线2x＋y－1＝0平行的直线方程为2x＋y＋C＝0(C≠－1)，把点(1，3)的坐标代入，得2＋3＋C＝0，解得C＝－5，

所以所求直线方程为2x＋y－5＝0.

应用点二　与交点有关的证明问题

[例3] (对接教材例20)已知A(1，4)，B(－2，－1)，C(4，1)是△ABC的三个顶点，求证：△ABC的三条高所在的直线交于一点．

【证明】　由题意得，kAB＝＝，kBC＝＝，kAC＝＝－1，则AB，BC，AC边上的高所在的直线的斜率分别为－，－3，1，则AB，BC，AC