第1章 1.4 两条直线的平行与垂直-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

1．4　两条直线的平行与垂直

知识点一　两条直线平行

思考1　在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？

提示：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．

思考2　平面中的两条平行直线被x轴所截，它们的倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？

提示：两直线平行，倾斜角相等．

[知识梳理]

对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(其中b1≠b2)，l1∥l2⇔k1＝k2．若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为的直线，从而它们互相平行或重合．

[例1] (对接教材例16)根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系．

(1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；

(2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3，2)，N(－2，－3).

【解】　(1)设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.

由题意知k1＝＝－，k2＝＝－.

因为k1＝k2，又kAC＝＝－4，

所以k1≠kAC，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线，

所以l1∥l2.

(2)设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.

由题意知k1＝tan 60°＝，k2＝＝.

所以k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合．

判断两条直线是否平行的步骤

注意　若已知直线上点的坐标，判断两条直线是否平行时，要考虑直线重合的情况．

[跟踪训练1] (1)已知A(1，1)，B(4，－2)，C(6，0)，D(4，4)，则直线AD与BC的位置关系是(　　)

A．垂直 B．平行

C．重合 D．相交但不垂直

解析：选B．kAD＝＝1，kBC＝＝1，由图可知A，B，C，D不共线，所以AD∥BC.

(2)(2026·渭南期中)已知直线l1经过P(－1，0)，Q(a，2)两点，直线l2的方向向量为n＝(1，a)，若l1∥l2，则a＝ ________．

解析：当a＝－1时，直线l1的斜率不存在，而直线l2的斜率k2＝－1，显然不平行，故a≠－1，则直线l1的斜率为k1＝，直线l2的斜率为k2＝a.

因为l1∥l2，所以k1＝k2，即＝a，整理得a2＋a－2＝0，解得a＝－2或a＝1.

答案：1或－2

知识点二　两条直线垂直

思考　平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？

提示：a⊥b⇔a·b＝0⇔1＋k1k2＝0.

[知识梳理]

对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1．特殊地，当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，说明斜率不存在的直线与x轴垂直，因此，若l1⊥l2，则另一条直线与x轴平行或重合，即另一条直线的斜率为0.

[例2] (对接教材例18)判断下列各组直线是否垂直．

(1)直线l1的斜率为－10，直线l2经过点A(10，4)，B(20，3)；

(2)直线l1经过点A(3，4)，B(3，7)，直线l2经过点P(－2，4)，Q(2，4)；

(3)直线l1的方向向量为(1，2)，直线l2的方向向量为(2，－1).

【解】　(1)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝－，因为k1k2＝－10×(－)＝1，所以l1与l2不垂直．

(2)直线l1的斜率不存在，故l1与x轴垂直，直线l2的斜率为0，故直线l2与x轴平行，所以l1与l2垂直．

(3)因为直线l1的方向向量为(1，2)，所以直线l1的斜率k1＝2.因为直线l2的方向