第1章 1.4 两条直线的平行与垂直-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦高中数学中两条直线平行与垂直的判定这一核心知识点，先通过平面几何中平行的同位角关系、垂直的方向向量数量积引入，再系统梳理斜率存在时平行（k1=k2且b1≠b2）、垂直（k1k2=-1）及斜率不存在时的特殊情况，构建从几何直观到代数表达的学习支架。 该资料以过山车情境导入，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过问题链设计和判定步骤培养数学思维的逻辑性，结合坐标计算与方程应用强化数学语言表达。课中步骤总结助教师高效授课，课后跟踪训练与综合题帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

1．4　两条直线的平行与垂直 新课导入 学习目标 过山车是一种富有刺激性的游乐设施．实际上，过山车的运动包含了许多数学、物理学原理．过山车的两条铁轨是永远平行的轨道，它们依靠一根根巨大且垂直于地面的钢筋支撑着．你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直又用什么来刻画呢？ 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件．　2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直．　3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题． 知识点一　两条直线平行 思考1　在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？ 提示：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 思考2　平面中的两条平行直线被x轴所截，它们的倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ 提示：两直线平行，倾斜角相等． [知识梳理] 对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(其中b1≠b2)，l1∥l2⇔k1＝k2．若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为的直线，从而它们互相平行或重合． [例1] (对接教材例16)根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系． (1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； (2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3，2)，N(－2，－3). 【解】　(1)设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2. 由题意知k1＝＝－，k2＝＝－. 因为k1＝k2，又kAC＝＝－4， 所以k1≠kAC，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线， 所以l1∥l2. (2)设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2. 由题意知k1＝tan 60°＝，k2＝＝. 所以k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合． 判断两条直线是否平行的步骤 注意　若已知直线上点的坐标，判断两条直线是否平行时，要考虑直线重合的情况． [跟踪训练1] (1)已知A(1，1)，B(4，－2)，C(6，0)，D(4，4)，则直线AD与BC的位置关系是(　　) A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 解析：选B．kAD＝＝1，kBC＝＝1，由图可知A，B，C，D不共线，所以AD∥BC. (2)(2026·渭南期中)已知直线l1经过P(－1，0)，Q(a，2)两点，直线l2的方向向量为n＝(1，a)，若l1∥l2，则a＝ ________． 解析：当a＝－1时，直线l1的斜率不存在，而直线l2的斜率k2＝－1，显然不平行，故a≠－1，则直线l1的斜率为k1＝，直线l2的斜率为k2＝a. 因为l1∥l2，所以k1＝k2，即＝a，整理得a2＋a－2＝0，解得a＝－2或a＝1. 答案：1或－2 知识点二　两条直线垂直 思考　平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 提示：a⊥b⇔a·b＝0⇔1＋k1k2＝0. [知识梳理] 对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1．特殊地，当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，说明斜率不存在的直线与x轴垂直，因此，若l1⊥l2，则另一条直线与x轴平行或重合，即另一条直线的斜率为0. [例2] (对接教材例18)判断下列各组直线是否垂直． (1)直线l1的斜率为－10，直线l2经过点A(10，4)，B(20，3)； (2)直线l1经过点A(3，4)，B(3，7)，直线l2经过点P(－2，4)，Q(2，4)； (3)直线l1的方向向量为(1，2)，直线l2的方向向量为(2，－1). 【解】　(1)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝－，因为k1k2＝－10×(－)＝1，所以l1与l2不垂直． (2)直线l1的斜率不存在，故l1与x轴垂直，直线l2的斜率为0，故直线l2与x轴平行，所以l1与l2垂直． (3)因为直线l1的方向向量为(1，2)，所以直线l1的斜率k1＝2.因为直线l2的方向向量为(2，－1)，所以直线l2的斜率k2＝－，k1k2＝2×(－)＝－1，所以l1与l2垂直． 判定两直线垂直的步骤 (1)一看：看每条直线所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步； (2)二代：将点的坐标代入斜率公式计算斜率； (3)三判断：根据两斜率之间的关系进行判断． 提醒　(1)判断两直线是否垂直也可以根据两直线的方向向量的数量积是否为0进行判断． (2)若已知点的坐标中含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况． [跟踪训练2] (1)已知平面内两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1，k2是方程x2＋x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系为(　　) A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 解析：选B．由题意k1k2＝－1，因此两直线垂直．平面内的两直线垂直时当然相交． (2)(2026·中卫月考)已知直线l1过A(1，3)，B(2，5)两点，且l1⊥l2，则直线l2的斜率为 ________． 解析：因为直线l1过A(1，3)，B(2，5)，所以直线l1的斜率为k1＝＝2， 因为l1⊥l2，所以直线l2的斜率为k2＝－＝－. 答案：－ 应用点一　由平行、垂直关系求直线方程 [例3] 已知点A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求： (1)过点A和直线l平行的直线方程； (2)过点A和直线l垂直的直线方程． 【解】　(1)方法一：利用直线方程的点斜式求解．由直线l：3x＋4y－20＝0，得kl＝－.设过点A且平行于l的直线为l1，则直线l1的斜率kl1＝kl＝－，所以l1的方程为y－2＝－(x－2)，即3x＋4y－14＝0. 方法二：利用直线系方程求解．设过点A且平行于直线l的直线为l1，则直线l1的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－20).由点A(2，2)在直线l1上，得3×2＋4×2＋m＝0，解得m＝－14，所以l1的方程为3x＋4y－14＝0. (2)方法一：设过点A与l垂直的直线为l2，直线l的斜率为k1，直线l2的斜率为k2.因为k1k2＝－1，所以k2＝，故直线l2的方程为y－2＝(x－2)，即4x－3y－2＝0. 方法二：设过点A且垂直于直线l的直线l2的方程为4x－3y＋m＝0.因为l2经过点A(2，2)，所以4×2－3×2＋m＝0，解得m＝－2.故l2的方程为4x－3y－2＝0. (1)求与直线y＝kx＋b平行的直线方程时，根据两直线平行的条件可设为y＝kx＋m(m≠b)，然后通过待定系数法求参数m的值． (2)求与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程时，可设方程为Ax＋By＋m＝0(A，B不同时为0，且m≠C)，代入已知条件求出m即可． (3)求与直线y＝kx＋b(k≠0)垂直的直线方程时，根据两直线垂直的条件可设方程为y＝－x＋m(k≠0)，然后通过待定系数法求参数m的值． (4)求与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程时，可设方程为Bx－Ay＋m＝0(A，B不同时为0)，然后通过待定系数法求出m即可． [跟踪训练3] 已知直线l1：2x＋y－2＝0，l1与x轴、y轴的交点分别为A，B.直线l2经过A点且倾斜角为. (1)求直线l2的一般式方程； (2)求线段AB的中垂线方程． 解：(1)设直线l2的斜率为k2，则k2＝tan ＝1，对于l1：2x＋y－2＝0，令y＝0，得x＝1，所以A(1，0)，由直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)，代入可得，y－0＝1×(x－1)，化简得x－y－1＝0，所以所求的直线l2的一般式方程为x－y－1＝0. (2)设线段AB的中垂线斜率为k，线段AB的中点为C，设直线l1的斜率为k1，由直线l1：2x＋y－2＝0可得y＝－2x＋2，则k1＝－2，令x＝0，得y＝2，所以B(0，2)，由中点坐标公式可知，C(，)，即C(，1)，由垂直关系可知，kk1＝－1，解得k＝.由直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)，代入可得，y－1＝×(x－)，化简得2x－4y＋3＝0，即线段AB的中垂线方程是2x－4y＋3＝0. 应用点二　平行、垂直关系的综合应用 [例4] 已知四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，D(4，2). 试判断四边形ABCD的形状，并给出证明． 【解】　由已知可判断四边形ABCD是直角梯形． 证明如下：由题意得kCD＝＝－，kAB＝＝－，kBC＝＝2，kAD＝＝－3， 所以kCD＝kAB，kBC≠kAD，即AB∥CD且BC与AD不平行，所以四边形ABCD是梯形，又因为kBC·kCD＝kBC·kAB＝－1，所以BC⊥CD，BC⊥AB，综上，四边形ABCD是直角梯形． 母题探究　本题条件“B(1，1)”变为“B(x，y)”，当四边形ABCD是平行四边形时，此时x＝________，y＝________． 解析：由本例解析知，kCD＝－，kAD＝－3，kAB＝＝，kBC＝，因为四边形ABCD是平行四边形，所以kCD＝kAB，kBC＝kAD，所以＝－，＝－3，联立解得x＝3，y＝0. 答案：3　0 利用两条直线平行或垂直判定 几何图形形状的步骤 (1)描点：在平面直角坐标系中描出给定的点； (2)猜测：根据描出的点，猜测图形的形状； (3)求斜率：根据给定的点的坐标求直线的斜率； (4)结论：由斜率之间的关系，判断形状． [跟踪训练4] (1)以A(3，－1)，B(2，1)，C(－4，－2)为顶点的三角形是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以A为直角顶点的直角三角形 D．以B为直角顶点的直角三角形 解析：选D．直线AB的斜率kAB＝＝－2，直线BC的斜率kBC＝＝，直线AC的斜率kAC＝＝，由kAB·kBC＝－1，所以AB⊥BC，故△ABC是以B为直角顶点的直角三角形． (2)已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，则点D的坐标为________． 解析：设点D的坐标为(x，y)，由题易知kBC＝＝1，kAB＝＝－1， 所以 解得所以点D的坐标为(2，3). 答案：(2，3) 1．过点A(2，5)和点B(2，－4)的直线与x轴所在直线的位置关系是(　　) A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 解析：选D．由题意知直线AB的斜率不存在，与x轴所在直线垂直． 2．(多选)已知l1，l2为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有(　　) A．若l1，l2斜率相等，则l1，l2平行 B．若l1，l2平行，则l1，l2的斜率相等 C．若l1，l2的斜率乘积等于－1，则l1，l2垂直 D．若l1，l2垂直，则l1，l2的斜率乘积等于－1 解析：选AC．根据题意及两直线的位置关系可知若l1，l2斜率相等，则l1，l2平行，故A正确；若l1，l2平行，当l1，l2都与y轴平行时，l1，l2的斜率不存在，故B错误；易知若l1，l2的斜率乘积等于－1，则l1，l2垂直，故C正确；若l1，l2垂直，当l1与x轴平行，l2与y轴平行时，直线l1的斜率为0，l2的斜率不存在，故D错误． 3．(教材P19T3(1)改编)已知直线l1的倾斜角为45°，直线l1∥l2，若直线l2过点A(2，3)，B(5，n)，则n＝________． 解析：设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为直线l1的倾斜角为45°，所以k1＝1.又直线l1∥l2，则k2＝＝1，解得n＝6. 答案：6 4．(教材P19T1改编)判断下列各组不重合的直线是否平行或垂直： (1)l1的斜率为－2，l2经过A(－1，2)，B(4，－8)两点； (2)l1的倾斜角为45°，l2经过P(－2，－1)，Q(3，－6)两点． 解：(1)l1的斜率为－2，l2经过A(－1，2)，B(4，－8)两点， 则l2的斜率为＝－2，即l1，l2的斜率相等，且两直线不重合，故l1∥l2. (2)l1的倾斜角为45°，所以l1的斜率为1，l2经过P(－2，－1)，Q(3，－6)两点，则l2的斜率为＝－1，即两直线斜率之积等于－1，故l1⊥l2. 1．已学习：两条直线平行与垂直的判定及应用． 2．须贯通：(1)利用直线的斜率判断平面图形的形状时，一般先由图形进行猜测，然后利用直线的斜率关系进行判断； (2)探究及应用两直线平行、垂直的条件体现了数形结合、分类讨论的思想方法． 3．应注意：(1)研究两直线平行、垂直关系时不要忽略直线斜率为0或不存在的情况； (2)当两直线的斜率相等时，这两条直线可能平行，也可能重合． 学科网（北京）股份有限公司 $