第1章 1.3 第2课时 直线方程的两点式-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

第2课时　直线方程的两点式

知识点一　直线方程的两点式

思考1　如图，给定直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)且x1≠x2，如何用点斜式写出l的方程？

提示：y－y1＝(x－x1)或y－y2＝·(x－x2).

思考2　给定直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，任选直线上一点P(x，y)，其中P不与P1，P2重合，那么k与k有什么关系？

提示：k＝k，即＝.

[知识梳理]

[例1] (对接教材例9)已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－6，5).求：

(1)直线AB的方程；

(2)直线BD的方程．

【解】　(1)过点A(2，1)，B(3，2)的直线的两点式方程为＝，整理得x－y－1＝0.

(2)因为A(2，1)，C(－6，5)，由中点坐标公式可得线段AC的中点M的坐标为(－2，3)，由平行四边形的性质可知，点M也是线段BD的中点，所以直线BD的方程即为直线BM的方程，过点B(3，2)，M(－2，3)的直线的两点式方程为＝，整理得x＋5y－13＝0.

求直线的两点式方程的注意点

(1)适用条件：两点的连线不平行或重合于坐标轴．

(2)差的顺序性：一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．

提醒　已知两点坐标，求过这两点的直线方程也可以先求斜率，再代入点斜式得到直线的方程．

[跟踪训练1] (1)(多选)已知直线l的两点式方程为＝，则下列选项正确的是(　　)

A．直线l经过点(3，－3)

B．直线l的斜截式方程为y＝－x－

C．直线l的一个方向向量为a＝(4，－5)

D．直线l的倾斜角为锐角

解析：选AB．对于A，由直线l的两点式方程可知，直线l经过点(3，－3)，(－2，1)，A正确；对于B，将直线l的方程变形为－＝，即y＝－x－，B正确；对于C，直线l的方向向量可以为a＝(1，－)＝(5，－4)，C错误；对于D，直线l的斜率k＝tan α＝－<0，所以倾斜角为钝角，D错误．

(2)已知点A(m，5)，B(3，n).若AB的中点坐标为(2，1)，则直线AB的方程为__________________．

解析：由题可得解得即A(1，5)，B(3，－3).

由两点式方程可得＝，即4x＋y－9＝0.

答案：4x＋y－9＝0

知识点二　直线方程的截距式

思考　直线方程的截距式和两点式有什么关系？

提示：截距式方程是两点式的一种特殊情况，两个点是直线与坐标轴的交点．

[知识梳理]

[即时练]

1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．

(1)能用截距式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．(　　)

(2)能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．(　　)

(3)已知直线在x轴、y轴上的截距，只能用截距式求直线方程．(　　)

(4)任何直线都可以用＋＝1表示．(　　)