第1章 1.3 第2课时 直线方程的两点式-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦高中数学直线方程的两点式与截距式核心知识点，以点斜式为基础，通过两点坐标关系推导两点式方程，再延伸出截距式作为特殊情况，构建从基础到应用的知识支架。 资料以斜拉桥情境导入培养数学眼光，通过问题链引导推导培养数学思维，结合平行四边形等实例用数学语言解决问题。课中助力教师引导探究，课后通过跟踪训练与分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　直线方程的两点式 新课导入 学习目标 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线，如何建立这条直线的方程？这两个点有什么特别之处吗？ 1.掌握直线方程的两点式、截距式的特征及适用范围并会求直线方程的两点式、截距式．　2.能利用直线方程的两点式、截距式解决相应的问题． 知识点一　直线方程的两点式 思考1　如图，给定直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)且x1≠x2，如何用点斜式写出l的方程？ 提示：y－y1＝(x－x1)或y－y2＝·(x－x2). 思考2　给定直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，任选直线上一点P(x，y)，其中P不与P1，P2重合，那么k与k有什么关系？ 提示：k＝k，即＝. [知识梳理] 名称 已知条件 示意图 方程 适用范围 两点式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，(其中x1≠x2，y1≠y2) ＝ 不与坐标轴平行或重合的直线 [例1] (对接教材例9)已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－6，5).求： (1)直线AB的方程； (2)直线BD的方程． 【解】　(1)过点A(2，1)，B(3，2)的直线的两点式方程为＝，整理得x－y－1＝0. (2)因为A(2，1)，C(－6，5)，由中点坐标公式可得线段AC的中点M的坐标为(－2，3)，由平行四边形的性质可知，点M也是线段BD的中点，所以直线BD的方程即为直线BM的方程，过点B(3，2)，M(－2，3)的直线的两点式方程为＝，整理得x＋5y－13＝0. 求直线的两点式方程的注意点 (1)适用条件：两点的连线不平行或重合于坐标轴． (2)差的顺序性：一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系． 提醒　已知两点坐标，求过这两点的直线方程也可以先求斜率，再代入点斜式得到直线的方程． [跟踪训练1] (1)(多选)已知直线l的两点式方程为＝，则下列选项正确的是(　　) A．直线l经过点(3，－3) B．直线l的斜截式方程为y＝－x－ C．直线l的一个方向向量为a＝(4，－5) D．直线l的倾斜角为锐角 解析：选AB．对于A，由直线l的两点式方程可知，直线l经过点(3，－3)，(－2，1)，A正确；对于B，将直线l的方程变形为－＝，即y＝－x－，B正确；对于C，直线l的方向向量可以为a＝(1，－)＝(5，－4)，C错误；对于D，直线l的斜率k＝tan α＝－<0，所以倾斜角为钝角，D错误． (2)已知点A(m，5)，B(3，n).若AB的中点坐标为(2，1)，则直线AB的方程为__________________． 解析：由题可得解得即A(1，5)，B(3，－3). 由两点式方程可得＝，即4x＋y－9＝0. 答案：4x＋y－9＝0 知识点二　直线方程的截距式 思考　直线方程的截距式和两点式有什么关系？ 提示：截距式方程是两点式的一种特殊情况，两个点是直线与坐标轴的交点． [知识梳理] 名称 已知条件 示意图 方程 适用范围 截距式 在x，y轴上的截距分别为a，b(其中ab≠0) ＋＝1 不与坐标轴平行或重合且不过原点的直线 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)能用截距式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．(　　) (2)能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．(　　) (3)已知直线在x轴、y轴上的截距，只能用截距式求直线方程．(　　) (4)任何直线都可以用＋＝1表示．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．(2026·南开月考)经过点M(2，2)且在两坐标轴上截距相等的直线是(　　) A．x＋y＝4 B．x＋y＝2 C．x＋y＝4或x＝y D．x－y＝4或x＝y 解析：选C．若截距不为0，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝4，故所求直线方程为x＋y＝4；若截距均为0，则直线过原点和M(2，2)，所以直线方程为x＝y. 3．在平面直角坐标系中，直线l：－＝1，则直线l过(　　) A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 解析：选D．直线l在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为－3，所以直线l过第一、三、四象限． 4．已知直线l在x轴与y轴上的截距分别为4，9，若点E(1，b)在直线l上，则b＝________． 解析：由题得直线的截距式方程为＋＝1.因为点E(1，b)在直线l上，所以＋＝1，解得b＝. 答案： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，且两截距均不为0，可以直接代入截距式求直线的方程． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常用于作图． (3)解决问题的过程中要对直线在两坐标轴上的截距进行分类讨论． 应用点　截距式方程的应用 [例2] 已知直线过点P(，2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，求分别满足下列条件的直线方程． (1)△AOB的周长为12； (2)△AOB的面积为6. 【解】　(1)设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)， 由题意可知，a＋b＋＝12.① 又因为直线过点P(，2)，所以＋＝1，② 由①②可得5a2－32a＋48＝0， 解得或所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1， 即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. (2)设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)， 由题意可知解得 或所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0. 母题探究　本例条件不变，当△AOB的面积最小时，直线的方程为________． 解析：由本例(1)知，＋＝1(a>0，b>0). 所以1＝＋≥2. 即ab≥，当且仅当＝＝，即a＝，b＝4时取等号，△AOB面积的最小值为(S△AOB)min＝ab＝××4＝，此时直线方程为＋＝1， 即3x＋2y－8＝0. 答案：3x＋2y－8＝0 解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时，一般选择直线方程的截距式，若设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a≠0，b≠0)，则直线与坐标轴所围成的三角形的面积为S＝|a||b|，周长为C＝|a|＋|b|＋ . [跟踪训练2] (1)已知直线l：＋＝1过点A(2，3)，则直线l与x，y正半轴围成的三角形的面积最小值为(　　) A．6 B．12 C．18 D．24 解析：选B．因为直线l：＋＝1过点A(2，3)，所以＋＝1，令x＝0，可得y＝n，即直线l与y轴交于点(0，n)，令y＝0，可得x＝m，即直线l与x轴交于点(m，0)，依题意可得m>0，n>0，所以＋＝1≥2，则mn≥24，当且仅当＝，即m＝4，n＝6时取等号，所以直线l与x，y正半轴围成的三角形的面积S＝mn≥12，当且仅当m＝4，n＝6时取等号，即直线l与x，y正半轴围成的三角形的面积最小值为12.故选B． (2)(2026·南阳月考)已知直线l过点P(4，3)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点．当两截距之和最小时，直线l的方程为________． 解析：设直线l的方程为＋＝1(a，b>0)，则＋＝1， 所以a＋b＝(a＋b)(＋)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4， 当且仅当即时等号成立，此时直线l的方程为x＋2y－6－4＝0. 答案：x＋2y－6－4＝0 1．(教材P12T1改编)经过点A(－3，2)，B(4，4)的直线的两点式方程为(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 解析：选A．因为直线经过点A(－3，2)，B(4，4)，且－3≠4，2≠4，所以由方程的两点式可得直线方程为＝，即＝.故选A． 2．(多选)下列说法中错误的是(　　) A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B．－＝1与＋＝－1是直线的截距式方程 C．直线方程的斜截式都可以化为截距式 D．在x轴、y轴上的截距分别是2，3的直线方程为＋＝1 解析：选ABC．对于A，直线方程的截距式为＋＝1，其中ab≠0， 故不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线，A错误； 对于B，－＝1，＋＝－1都不是直线的截距式方程，B错误； 对于C，直线方程的斜截式为y＝kx的情况下，不能化为截距式方程，C错误； 对于D，在x轴、y轴上的截距分别是2，3的直线方程为＋＝1，D正确． 3．已知A(2，－1)，B(6，1)，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB中点的直线方程为_________________________________． 解析：因为A(2，－1)，B(6，1)，则线段AB的中点为E(4，0)，又因为所求直线在y轴上的截距为－3，故所求直线方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0. 答案：3x－4y－12＝0 4．直线l过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12. (1)求直线l的方程； (2)求直线l与两条坐标轴所围成三角形的面积． 解：(1)由于直线l在两坐标轴上的截距之和为12，过点(－3，4)， 因此直线l在两坐标轴上的截距都存在且不过原点， 故可设直线l的方程为＋＝1，且a＋b＝12，① ＋＝1，② 由①②解得或 所以直线l的方程为＋＝1或＋＝1， 即x＋3y－9＝0或4x－y＋16＝0. (2)设直线l与两条坐标轴所围成三角形的面积为S.由(1)可知，当直线l的方程为x＋3y－9＝0时，S＝|a||b|＝×9×3＝； 当直线l的方程为4x－y＋16＝0时，S＝|a||b|＝×4×16＝32. 所以直线l与两条坐标轴所围成三角形的面积为或32. 1．已学习：直线方程的两点式、截距式． 2．须贯通：能利用直线方程的两点式、截距式解决相应的问题． 3．应注意：(1)直线方程的两点式和截距式的使用条件； (2)截距相等时需考虑都等于0和都不等于0两种情况． 学科网（北京）股份有限公司 $