第3章 2.1 第1课时 空间向量的概念及线性运算-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦空间向量的概念、线性运算及共线向量基本定理，以滑翔伞受力情境导入，通过类比平面向量概念与运算，搭建从平面到空间的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过“思考”引导抽象空间向量概念，体现数学眼光。结合平行六面体等几何体的例题与跟踪训练，运用数形结合和逻辑推理，培养数学思维。知识梳理表格化、即时练分层设计助力数学语言表达，“感悟提升”总结方法，利于学生结构化学习，也为教师提供清晰教学路径。

§2　空间向量与向量运算 第1课时　空间向量的概念及线性运算 新课导入 学习目标 如图展示的是一个做滑翔伞 运动的场景，可以想象在滑翔过 程中，飞行员会受到来自不同方 向且大小各异的力，你能用图示法表示这些力吗？能对这些力进行力的合成吗？这就是本节我们学习的空间向量及其线性运算． 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．　2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程．　3.掌握空间向量的线性运算． 返回导航 内 容 索 引 新知学习 探究 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 4 知识点一　空间向量的有关概念 思考1　与平面向量有关的概念有哪些？ 提示：模、夹角、向量平行、向量相等． 思考2　学习了哪几个特殊的平面向量？ 提示：零向量、单位向量、相反向量等． 思考3　你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？ 提示：空间向量是平面向量的推广，其表示方法及相关概念与平面向量一致． 返回导航 (3)长度：表示向量a的有向线段的长度也叫作向量a的长度或模，用|a|表示．有向线段的方向表示向量的方向． 返回导航 (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 相等向量 方向____且__相等的向量称为相等向量 自由向量 数学中所研究的向量，与向量的____无关，称之为自由向量 相反向量 方向____且模____的向量互为相反向量，向量a的相反向量用___表示 零向量 规定模为0的向量叫作零向量，记为___ 共线向量 (平行向量) 当表示向量的两条有向线段所在的直线__________时，称这两个向量互为共线向量(或平行向量).向量a、向量b、向量c互为共线向量，记作a∥b，a∥c，b∥c 相同 模 起点 相反 相等 －a 0 平行或重合 返回导航 2.共面向量 当表示向量a的有向线段所在直线平行于平面α或在平面α内时，就说向量a平行于平面α，记作______．通常，我们把平行于__________的向量，叫作__________． 共面向量 同一平面 a∥α 返回导航 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)两个有公共终点的向量，一定是共线向量.(　　) (2)若a＝－b，则|a|＝|b|.(　　) (3)若两个向量的起点重合，则这两个向量的方向相同．(　　) × √ × 返回导航 BC 返回导航 返回导航 3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中： 8 返回导航 感悟提升 处理向量概念问题时要关注的两个要素和两个关系： (1)两个要素 判断与向量有关的命题时，要抓住向量的两个要素，即大小与方向，两者缺一不可． (2)两个关系 ①模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件． ②向量的模与向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．但向量的模是可以比较大小的． 返回导航 知识点二　空间向量的加减运算 思考1　平面向量的线性运算是指哪些运算？ 提示：平面向量的线性运算是指平面向量的加减法及数乘运算． 思考2　空间中的向量能用平面向量的线性运算法则进行运算吗？ 提示：能．因为空间向量是可以自由移动的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合，又因为两条相交直线确定一个平面，所以平移后两个向量是在同一个平面内的，同一平面内的两个向量可以利用平面向量的线性运算法则进行运算． 返回导航 [知识梳理] 首指向尾 返回导航 共起点对角线 返回导航 被减向量 返回导航 返回导航 返回导航 感悟提升 空间向量加、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 返回导航 返回导航 返回导航 知识点三　空间向量的数乘运算 [知识梳理] 1．空间向量的数乘运算 定义 与平面向量类似，实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算 几何 意义 λ>0 向量λa与向量a方向____ |λa|＝|λ||a|，λa的长度是a的长度的____倍 λ<0 向量λa与向量a方向____ λ＝0 λa＝0，其方向是____的 运算律 (λ，μ∈R) 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa， λ(a＋b)＝λa＋λb 相同 相反 任意 |λ| 返回导航 2.共线向量基本定理 空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得______． 提醒　(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0. (2)λ的正负影响向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响λa的长度． (3)向量λa与向量a一定是共线向量． a＝λb 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 感悟提升 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 返回导航 A 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 －8 返回导航 感悟提升 返回导航 －3 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 40 1．(多选)下列命题中为真命题的是(　　　) A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 解析：容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．A，B，C为真命题，故选ABC． ABC 返回导航 B 返回导航 返回导航 1 返回导航 返回导航 课堂小结 1．已学习：空间向量的相关概念、空间向量的线性运算、共线向量基本定理． 2．须贯通：空间向量的线性运算、共线向量基本定理的应用． 3．应注意：(1)抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，注意它是一个“量”，而不是一个数； (2)利用共线向量基本定理解决三点共线问题忽视公共点． 返回导航 ，，，，，，， ，， ，，， 加法 运算 三角形 法则 语言 首尾顺次相接，__________为和 图形 a＋b＝＋＝ 加法 运算 平行四边形法则 语言 共起点的两边为邻边作平行四边形，______________为和 图形 a＋b＝＋＝ 减法 运算 几何 意义 语言 共起点，连终点，方向指向__________ 图形 a＋(－b)＝a－b＝－＝ 加法 运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 证明：连接AO，AC1，A1C1，如图所示．由＝，得＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋.又＝2，＝＋＝－＝－2，所以＝(－2)＋＝＋＝(＋)＋(＋)，所以＋＝0，即＝－2，故C1，O，M三点共线． 3．(教材P102T3改编)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，点N为B1D1上靠近点D1的三等分点．设＝a，＝b，＝c，则＝__________________________．(用a，b，c表示) －a＋b－c $