第1章 1.4 两条直线的平行与垂直-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦两条直线的平行与垂直，通过过山车轨道实例导入，从平面几何同位角等旧知过渡到斜率关系，构建“旧知-新知”学习支架，帮助学生理解判定条件及应用。 其亮点在于以情境激发数学眼光，通过思考问题链培养数学思维，例题与跟踪训练结合坐标计算与几何推理，课堂小结系统梳理方法。助力学生发展逻辑推理与应用意识，为教师提供层次分明的教学资源。

1．4　两条直线的平行与垂直 新课导入 学习目标 过山车是一种富有刺激性的 游乐设施．实际上，过山车的运 动包含了许多数学、物理学原理．过山车的两条铁轨是永远平行的轨道，它们依靠一根根巨大且垂直于地面的钢筋支撑着．你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直又用什么来刻画呢？ 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件．　2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直．　 3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题． 返回导航 内 容 索 引 新知学习 探究 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 4 知识点一　两条直线平行 思考1　在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？ 提示：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 思考2　平面中的两条平行直线被x轴所截，它们的倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ 提示：两直线平行，倾斜角相等． 返回导航 k1＝k2 平行或重合 返回导航 [例1] (对接教材例16)根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系． (1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； 返回导航 返回导航 感悟提升 判断两条直线是否平行的步骤 注意　若已知直线上点的坐标，判断两条直线是否平行时，要考虑直线重合的情况． 返回导航 跟踪训练1] (1)已知A(1，1)，B(4，－2)，C(6，0)，D(4，4)，则直线AD与BC的位置关系是(　　) A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 B 返回导航 (2)(2026·渭南期中)已知直线l1经过P(－1，0)，Q(a，2)两点，直线l2的方向向量为n＝(1，a)，若l1∥l2，则a＝ ________． 1或－2 返回导航 知识点二　两条直线垂直 思考　平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 提示：a⊥b⇔a·b＝0⇔1＋k1k2＝0. 返回导航 [知识梳理] 对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔___________．特殊地，当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，说明斜率不存在的直线与x轴垂直，因此，若l1⊥l2，则另一条直线与x轴平行或重合，即另一条直线的斜率为0. k1k2＝－1 返回导航 [例2] (对接教材例18)判断下列各组直线是否垂直． (1)直线l1的斜率为－10，直线l2经过点A(10，4)，B(20，3)； (2)直线l1经过点A(3，4)，B(3，7)，直线l2经过点P(－2，4)，Q(2，4)； 【解】　直线l1的斜率不存在，故l1与x轴垂直，直线l2的斜率为0，故直线l2与x轴平行，所以l1与l2垂直． 返回导航 (3)直线l1的方向向量为(1，2)，直线l2的方向向量为(2，－1). 返回导航 感悟提升 判定两直线垂直的步骤 (1)一看：看每条直线所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步； (2)二代：将点的坐标代入斜率公式计算斜率； (3)三判断：根据两斜率之间的关系进行判断． 提醒　(1)判断两直线是否垂直也可以根据两直线的方向向量的数量积是否为0进行判断． (2)若已知点的坐标中含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况． 返回导航 [跟踪训练2] (1)已知平面内两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1，k2是方程x2＋x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系为(　　) A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 解析：由题意k1k2＝－1，因此两直线垂直．平面内的两直线垂直时当然相交． B 返回导航 (2)(2026·中卫月考)已知直线l1过A(1，3)，B(2，5)两点，且l1⊥l2，则直线l2的斜率为 ________． 返回导航 应用点一　由平行、垂直关系求直线方程 [例3] 已知点A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求： (1)过点A和直线l平行的直线方程； 返回导航 方法二：利用直线系方程求解．设过点A且平行于直线l的直线为l1，则直线l1的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－20).由点A(2，2)在直线l1上，得3×2＋4×2＋m＝0，解得m＝－14，所以l1的方程为3x＋4y－14＝0. 返回导航 (2)过点A和直线l垂直的直线方程． 方法二：设过点A且垂直于直线l的直线l2的方程为4x－3y＋m＝0.因为l2经过点A(2，2)，所以4×2－3×2＋m＝0，解得m＝－2.故l2的方程为4x－3y－2＝0. 返回导航 感悟提升 返回导航 返回导航 (2)求线段AB的中垂线方程． 返回导航 应用点二　平行、垂直关系的综合应用 [例4] 已知四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A(5，－1)， B(1，1)，C(2，3)，D(4，2).  试判断四边形ABCD的形状，并给出证明． 返回导航 返回导航 母题探究　本题条件“B(1，1)”变为“B(x，y)”，当四边形ABCD是平行四边形时，此时x＝________，y＝________． 3　 0 返回导航 感悟提升 利用两条直线平行或垂直判定 几何图形形状的步骤 (1)描点：在平面直角坐标系中描出给定的点； (2)猜测：根据描出的点，猜测图形的形状； (3)求斜率：根据给定的点的坐标求直线的斜率； (4)结论：由斜率之间的关系，判断形状． 返回导航 [跟踪训练4] (1)以A(3，－1)，B(2，1)，C(－4，－2)为顶点的三角形是 (　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以A为直角顶点的直角三角形 D．以B为直角顶点的直角三角形 D 返回导航 返回导航 (2)已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，则点D的坐标为________． (2，3) 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 32 1．过点A(2，5)和点B(2，－4)的直线与x轴所在直线的位置关系是(　　) A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 解析：由题意知直线AB的斜率不存在，与x轴所在直线垂直． D 返回导航 2．(多选)已知l1，l2为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有(　　) A．若l1，l2斜率相等，则l1，l2平行 B．若l1，l2平行，则l1，l2的斜率相等 C．若l1，l2的斜率乘积等于－1，则l1，l2垂直 D．若l1，l2垂直，则l1，l2的斜率乘积等于－1 AC 返回导航 解析：根据题意及两直线的位置关系可知若l1，l2斜率相等，则l1，l2平行，故A正确； 若l1，l2平行，当l1，l2都与y轴平行时，l1，l2的斜率不存在，故B错误； 易知若l1，l2的斜率乘积等于－1，则l1，l2垂直，故C正确； 若l1，l2垂直，当l1与x轴平行，l2与y轴平行时，直线l1的斜率为0，l2的斜率不存在，故D错误． 返回导航 3．(教材P19T3(1)改编)已知直线l1的倾斜角为45°，直线l1∥l2，若直线l2过点A(2，3)，B(5，n)，则n＝________． 6 返回导航 4．(教材P19T1改编)判断下列各组不重合的直线是否平行或垂直： (1)l1的斜率为－2，l2经过A(－1，2)，B(4，－8)两点； 返回导航 (2)l1的倾斜角为45°，l2经过P(－2，－1)，Q(3，－6)两点． 返回导航 课堂小结 1．已学习：两条直线平行与垂直的判定及应用． 2．须贯通：(1)利用直线的斜率判断平面图形的形状时，一般先由图形进行猜测，然后利用直线的斜率关系进行判断； (2)探究及应用两直线平行、垂直的条件体现了数形结合、分类讨论的思想方法． 3．应注意：(1)研究两直线平行、垂直关系时不要忽略直线斜率为0或不存在的情况； (2)当两直线的斜率相等时，这两条直线可能平行，也可能重合． 返回导航 (2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3，2)，N(－2，－3). － $