1.1.5 两条直线的交点坐标 课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦两条直线交点坐标的求解与位置关系判断，以斜率判定平行垂直为起点，自然过渡到联立方程组求交点，再延伸至中线共点证明和直线系方程探究，形成由浅入深、层层递进的知识链条，有效搭建从代数运算到几何直观的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，通过具体问题如中线交于一点的验证，体现几何直观与逻辑推理的统一，借助直线系方程的探究展现模型意识与创新思维。教学设计注重从实际情境出发提出问题，引导学生用代数方法解决几何问题，既强化了运算能力和推理能力，又提升了应用意识。学生能系统掌握直线关系的本质，教师可借此提升课堂深度与思维含量。

关于两条不重合且斜率存在的直线，它们的位置关系，有以下结论： 1.1.5 两条直线的交点坐标 几何元素及关系 代数表示 点 直线l 点A在直线l上 A（a,b） Ax+By+C=0 A的坐标满足方程 Ax+By+C=0 由,的方程可知斜率分别为k1=2,k2=,从而k1≠k2,所以,不平行,因此从图形上看,,一定相交.显然,,的交点既在直线上,又在直线上. 也就是说,交点坐标既满足方程2x-y+3=0,又满足方程x-2y+6=0.将这两个方程联立即可求出交点的坐标. 由两条直线的方程:2x-y+3=0,:x-2y+6=0,如何判断 是否相交呢?若相交,如何求出其交点坐标呢? 所以这两条直线的交点坐标为(0,3). 解方程组 2x-y+3=0 x-2y+6=0 x=0 y=3 得 一般地,对于两条不重合的直线 我们可以用直线的斜率(斜率存在时)或法向量先定性判断两条直线是否相交,若相交,则依据直线方程的概念可知,两条直线 交点的坐标就是两个方程的公共解.因此,可通过求 解方程组 得到两条直线 的交点坐标. 对于两条不重合的直线 方程组有唯一解则两直线相交 方程组无解则两直线平行 方程组无数个解则两直线重合 求下列各组直线的交点坐标： （1） （2） （3） 解： 判断下列各组直线的位置关系，若相交，求出交点坐标. （1） （2） （3） 解： 已知是的三个顶点，求证：的三条中线交于一点. 解： 已知直线，设直线，的交点为P． （1）求P的坐标； （2）若直线过点P且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 解： 直线和 联立得方程组 解方程组即可得到交点坐标 两条不重合直线的位置关系 平行 相交 无交点 有一个交点 方程组无解 方程组有解 课堂小结 作业： 探究2：当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示何图形?图形有何特点？ λ=0时，方程为l1：3x+4y-2=0 λ=1时，方程为l2：5x+5y=0 λ=-1时，方程为l3：x+3y-4=0 解：先以特殊值引路： 作出相应的直线 x y l2 0 l1 l3 探究发现：此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交点的直线束（直线集合） 是过直线A1x+B1y+C1=0和直线A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。 共点直线系方程：A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0 x y l2 0 l1 l3 例2：求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点， 且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程。 解法一：解方程组 得 x=3 y=－1 ∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）   ∴ 所求直线的斜率是3 所求直线方程为y+1=3（x－3）即 3x－y－10=0 x+2y－1=0， 2x－y－7=0 例2：求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点， 且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程。 解法二：所求直线在直线系2x－y－7+λ（x+2y－1）=0中 经整理，可得（2+λ）x+（2λ－1）y－λ－7=0 ∴ － ——— =3 2+λ 2λ－1   因此，所求直线方程为3x－y－10=0 总结：过直线A1x+B1y+C1=0和直线A2x+B2y+C2=0交点的直线，可设为： 对于两条不重合的直线 A1x+B1y+C1=0和:A2x+B2y+C2=0,它们的位置关系是： 直线 , 直线 ,平行 A1B2=A2B1 直线 ,平行 直线 , $