第1章 1.3 第1课时 直线方程的点斜式-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦直线方程的点斜式与斜截式，通过射击运动员瞄准轨迹的实例导入，衔接斜率公式推导点斜式，再延伸至斜截式，构建从具体情境到抽象方程的学习支架。 其亮点在于以问题链引导探究，如通过思考过定点与定斜率的直线数量培养数学思维，结合含参数直线过定点等实例提升数学语言表达能力。课堂小结明确易错点，助力学生系统掌握，教师可高效开展教学。

1．3　直线的方程 第1课时　直线方程的点斜式 新课导入 学习目标 射击运动员在进行射击训练时， 要掌握两个动作要领：一是托枪的手 要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方 向．若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，并且运动员达到了上述的两个动作要求，试从数学角度分析子弹是否会命中目标． 1.了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程. 2．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程．　3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题． 返回导航 内 容 索 引 新知学习 探究 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 4 知识点一　直线方程的点斜式 思考1　在平面内，过点P0(x0，y0)的直线有多少条？ 提示：无数条． 思考2　在平面内，斜率为k的直线有多少条？ 提示：无数条． 思考3　在平面内，过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线有多少条？ 提示：有且只有一条． 返回导航 [知识梳理] 1．直线l的方程 一般地，如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点______直线l上，那么这个方程称为直线l的方程． 2．直线方程的点斜式 (1)定义 直线l经过点P(x0，y0)，且斜率为k，我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为经过点P(x0，y0)且斜率为k的直线l的方程，方程________________称为直线方程的点斜式． (2)两种特殊直线 ①当直线l的倾斜角为0°时，直线l的方程为______． ②当直线l的倾斜角为90°时，直线l的方程为_______． x＝x0 y＝y0 y－y0＝k(x－x0) 都在 返回导航 BD 返回导航 【解析】　对于A，斜率不存在的直线无点斜式方程，故A错误； 对于B，倾斜角是钝角的直线，其倾斜角的正切值为负数，直线斜率为负数，故B正确；       对于D，直线过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0，故D正确．故选BD． 返回导航 (2)(2026·房山月考)过点(－1，2)且斜率为－1的直线，其点斜式方程为 (　　) A．y－2＝－(x＋1) B．y＋2＝－(x－1) C．y－2＝x＋1 D．y＋2＝x－1 【解析】　过点(－1，2)且斜率为－1的直线，其点斜式方程为y－2＝－(x＋1). A 返回导航 感悟提升 (1)定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)； (2)已知直线的一个方向向量和某点坐标，或两点坐标时，可以先求斜率，再用点斜式求直线的方程． (3)直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． 返回导航 返回导航 2 返回导航 知识点二　直线方程的斜截式 思考　在平面内，过点P0(0，b)且斜率为k的直线方程如何表示？ 提示：y＝kx＋b. 返回导航 [知识梳理] 若直线l经过点(0，b)且斜率为k，则方程y－y0＝k(x－x0)中的点P(x0，y0)就可以为点(0，b)，所以该直线方程的点斜式为y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b.该方程中的k为直线l的斜率，b为直线l在y轴上的截距．称_________为直线方程的斜截式． y＝kx＋b 返回导航 返回导航 (2)倾斜角为60°，在y轴上的截距为3. 返回导航 母题探究　将本例(2)的条件“在y轴上的截距为3”变为“与y轴的交点到原点的距离为3”，则直线的方程为________________________________． 返回导航 感悟提升 (1)直线方程的斜截式是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要已知条件中给出的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示． (2)直线方程的斜截式y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可． 提醒　(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0(当截距均为0时直线过原点). (3)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，直线的斜截式方程就是函数解析式，其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距． 返回导航 C 返回导航 (2)已知直线l在y轴上的截距为2，且直线l的一个方向向量为a＝(1，2)，则直线l的方程是 _________________． y＝2x＋2 返回导航 应用点　含参数的直线方程的几何特征 [例3] 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； 返回导航 (2)直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 返回导航 感悟提升 (1)直线y＝kx＋b的图象特征：一般地，如果直线经过第一、三象限，则斜率为正；如果直线经过第二、四象限，则斜率为负． (2)含参数的直线过定点：对于含参数k的直线y－y0＝k(x－x0)，该直线一定过定点(x0，y0). 返回导航 [跟踪训练3] (1)(多选)(2026·南昌月考)直线l1：y＝ax＋b与l2：y＝bx＋a(a，b∈R)在同一平面直角坐标系内的位置可能是(　　) BC 返回导航 解析：对于A，两条直线的斜率和在y轴上的截距均大于0，且其中一条直线的斜率和在y轴上的截距均大于另一条直线的斜率和在y轴上的截距，不符合题意，A不正确； 对于B，当ab<0时，符合题意，B正确； 对于D，其中一条直线的斜率不存在，不符合题意，D不正确． 返回导航 (2)已知直线kx－y＋1＝3k，当k变动时，所有直线恒过定点坐标为(　　) A．(0，0) B．(0，1) C．(3，1) D．(2，1) C 方法二：直线方程可化为点斜式y－1＝k(x－3)，所以直线恒过定点(3，1). 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 27 C 返回导航 2．对任意实数a，直线y＝ax－3a＋2所经过的定点是(　　) A．(2，3) B．(3，2) C．(－2，3) D．(3，－2) 解析：y＝ax－3a＋2整理为y－2＝a(x－3)，所以直线经过的定点为(3，2).故选B． B 返回导航 返回导航 4．(2026·驻马店月考)直线l的斜率为3且它在y轴上的截距为－3. (1)求直线l的方程； 解：因为直线l的斜率为3且它在y轴上的截距为－3， 由斜截式得直线l的方程为y＝3x－3. 返回导航 (2)求直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积． 返回导航 课堂小结 1．已学习：直线的方程的概念、直线方程的点斜式、斜截式． 2．须贯通：利用直线方程的点斜式、斜截式解决有关问题． 3．应注意：(1)求直线的点斜式与斜截式方程时忽略斜率不存在的情况； (2)混淆直线的截距和距离． 返回导航 y＝(x－1) y＝x＋3或y＝x－3 解析：由题知，直线y＝－x＋2的斜率为－，记倾斜角为α，则tan α＝－，因为α∈[0，π)，所以α＝. $