第1章 1.1 1.2 第1课时 直线的倾斜角和斜率-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角和斜率，以泰山十八盘现实情境导入，通过“两点确定直线”“方向区别”等问题支架，衔接一次函数图象与直线方程，逐步抽象出倾斜角定义、范围及斜率公式，构建从具体到抽象的认知脉络。 其亮点在于用现实情境培养数学眼光，通过分类讨论（如例1倾斜角不同位置情况）发展数学思维，以表格梳理知识、公式推导体现数学语言精确性。分层练习助学生掌握，教师可直接用于教学，提升效率。

第一章　直线与圆 §1　直线与直线的方程 1．1　一次函数的图象与直线的方程 1．2　直线的倾斜角、斜率及其关系 第1课时　直线的倾斜角和斜率 新课导入 学习目标 　　泰山为五岳之首，其十八盘更有名．“拔地五千丈，冲霄十八盘．”泰山之雄伟，尽在十八盘，泰山之壮观，尽在攀登中．十八盘岩层陡立，坡角70°～80°，在不足1 km的距离内升高400米．你能用怎样的数学语言来描述泰山之雄伟呢？ 1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.　2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.　3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率． 返回导航 内 容 索 引 新知学习 探究 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 6 知识点一　直线的倾斜角 思考1　在平面中，怎样才能确定一条直线？ 提示：两点确定一条直线或者一点和一个方向也可以确定一条直线． 思考2　在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向 向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图 中过点P的直线有什么区别？ 提示：直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同． 返回导航 [知识梳理] 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按________方向绕着交点旋转到和直线l__________时所成的角，称为直线l的倾斜角 规定 当直线l和x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为___ 记法 α 图示 范围 ________ 逆时针 首次重合 0 [0，π) 返回导航 [例1] (1)已知直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　) A．α B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α D 【解析】　如图1，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；如图2，当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α. 返回导航 (2)已知直线l经过点(－1，0)，倾斜角为150°，若将直线l绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，得到直线l′，则直线l′的倾斜角为________． 【解析】　因为直线l的倾斜角为150°，所以绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，得到直线l′的倾斜角为(150°＋60°)－180°＝30°. 30° 返回导航 感悟提升 直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． 提醒　倾斜角的取值范围． 返回导航 [跟踪训练1] (1)已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　) A．0°≤α<90° B．90°≤α<180° C．90°<α<180° D．0°<α<180° 解析：因为直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角的取值范围是90°<α<180°. C 返回导航 (2)如图，已知直线l1的倾斜角为150°，l2⊥l1，垂足为B，l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则直线l3的倾斜角为________． 30° 返回导航 返回导航 返回导航 [知识梳理] 1．定义：称k＝___________(其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率． 2．特例：直线l垂直于x轴，则它的斜率不存在． 返回导航 [例2] (对接教材例1)满足下列条件的直线的斜率是否存在，若存在，求其斜率． (1)经过点A(2，3)，B(4，5)； (2)经过点C(－2，3)，D(2，－1)； 返回导航 (3)经过点P(－3，1)，Q(－3，10)； 【解】　不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ⊥x轴，所以直线PQ的斜率不存在． (4)经过点M(a，2)，N(3，6). 返回导航 感悟提升 (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率不存在． (2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置． 返回导航 [跟踪训练2] (1)已知点A(2，3)，B(3，5)，则直线AB的斜率为(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 A 返回导航 (2)(多选)已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则B的坐标可能为(　　) A．(0，－4) B．(4，0) C．(2，0) D．(0，－8) CD 返回导航 应用点　三点共线问题 [例3] (1)(对接教材例2)已知直线l经过点A(1，2)，且斜率k＝1，判断B(0，0)，C(2，3)，D(3，2)中，哪些点在直线l上，哪些点不在直线l上； 返回导航 (2)已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a). ①若A，B，C三点在同一条直线上，求实数a的值； ②若点A不在直线BC上，求实数a的取值范围． 返回导航 感悟提升 用斜率公式解决三点共线的方法 返回导航 返回导航 (2)设点A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，若直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数m的值为________． 4 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 27 1．(多选)如图，α能表示直线l的倾斜角的是(　　) AC 返回导航 2．(教材P5T1改编)若直线l经过点A(0，－2)，B(1，－3)，则该直线的斜率为(　　) A．5 B．－5 C．1 D．－1 D 返回导航 3．设m∈R，若三个不同的点A(2，0)，B(m，2)，C(2m－2，2－m)都在直线l上，则m的值为________． －2 返回导航 4．判断下列三点是否在同一条直线上： (1)A(－3，1)，B(2，－4)，C(3，0)； 返回导航 (2)D(5，－1)，E(－1，2)，F(－5，4). 返回导航 课堂小结 1．已学习：直线的倾斜角、直线斜率的定义和斜率公式． 2．须贯通：每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率． 3．应注意：忽视倾斜角范围，图形理解不清． 返回导航 解析：由题意得，∠BCA＝30°，又l2⊥l1，l3平分∠BAC，所以直线l3的倾斜角为×(90°－30°)＝30°. $