第3章 提升课6 不等式恒(能)成立问题-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“一元函数的导数及其应用”专题，围绕不等式恒成立、能成立及双变量问题三大核心考点，依据高考评价体系分析考点权重，归纳出最值法、分离参数法等常考题型，构建系统的解题思路，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题模拟+方法总结+素养提升”的复习模式，如例1通过分离参数法求k最小值，例2能成立问题分类讨论，培养学生数学思维（逻辑推理）和数学语言（模型转化）能力。配套题型训练和易错点分析，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准指导，助力高效备考。

提升课6　不等式恒(能)成立问题 第三章　一元函数的导数及其应用 考点一　不等式恒成立问题 [例1]　(2026·辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)=ln x-kx.若k>0,且f(x)≤在x∈(0,+∞)上恒成立,求k的最小值. [解]　k>0,若f(x)≤在(0,+∞)上恒成立,则ln x-kx-≤0在(0,+∞)上恒成立, 令h(x)=ln x-kx-(x>0), 则h'(x)=-k+=,令h'(x)=0,则x=-(舍去)或x=, 当0<x<时,h'(x)>0,h(x)单调递增,当x>时,h'(x)<0,h(x)单调递减, 所以h(x)max=h()=ln-k·-=ln-ln k≤0,则k≥,则k的最小值为. 方法总结 利用不等式恒成立求参数的取值范围的策略 1.最值法:将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题. 2.分离参数法:将参数分离出来,进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式,通过导数的应用求出f(x)的最值,即得参数的取值范围. 跟踪训练 1.(2026·辽宁辽阳模拟)已知函数f(x)=,若∀x∈(0,π),f(x)>cos x,求a的取值范围. 解:因为∀x∈(0,π),f(x)>cos x,所以∀x∈(0,π),a>-sin x+xcos x. 令g(x)=-sin x+xcos x,x∈(0,π),则g'(x)=-xsin x<0, 所以g(x)在(0,π)上单调递减,g(x)<g(0)=0,所以a≥0,即a的取值范围为[0,+∞). 考点二　不等式能成立问题 [例2]　已知函数f(x)=x+ln x,若关于x的不等式f(x)<mln x有解,求m的取值范围. [解]　由题意得x+ln x<mln x有解,即x-(m-1)ln x<0有解. 令g(x)=x-(m-1)ln x(x>0),则g'(x)=1-=, 若m-1<0,即m<1,则0<<1,则g()=-1<0,符合题意; 若m-1=0,即m=1,则g(x)=x>0,不符合题意; 若m-1>0, 当x∈(0,m-1)时,g'(x)<0,g(x)在(0,m-1)上单调递减, 当x∈(m-1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在(m-1,+∞)上单调递增, 所以g(x)min=g(m-1)=m-1-(m-1)·ln(m-1)<0,解得m>1+e. 综上,m的取值范围为(-∞,1)∪(1+e,+∞). 方法总结 含参数的不等式能成立(存在性)问题的转化方法 若a>f(x)在x∈D上能成立,则a>f(x)min; 若a<f(x)在x∈D上能成立,则a<f(x)max. 跟踪训练 2.(2026·河北张家口模拟)已知f(x)=ln x-a(x+1),a∈R,若∃x∈(0,2],使得f(x)>0,求a的取值范围. 解:因为∃x∈(0,2],使得f(x)>0,即ln x-a(x+1)>0, 所以a<()max,令g(x)=,x∈(0,2],则g'(x)=,令h(x)=1+-ln x,x∈(0,2], 所以h'(x)=--<0在(0,2]上恒成立,所以函数h(x)在(0,2]上单调递减, 所以h(x)≥h(2)=-ln 2>0,所以g'(x)>0在(0,2]上恒成立, 所以函数g(x)在(0,2]上单调递增,所以g(x)max=g(2)=,所以a的取值范围为 (-∞,). 考点三　双变量恒(能)成立问题 [例3]　已知函数f(x)=ax+ln x. (1)讨论f(x)的极值; [解]　函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a+=. 当a≥0时,f'(x)>0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时函数不存在极值. 当a<0时,由f'(x)>0,解得0<x<-,故f(x)在(0,-)上单调递增, 由f'(x)<0,解得x>-,故f(x)在(-,+∞)上单调递减, 此时函数在x=-处取得极大值f(-)=-1-ln(-a),无极小值. 综上所述,当a≥0时,函数不存在极值, 当a<0时,函数在x=-处取得极大值-1-ln(-a),无极小值. (2)设g(x)=x2-2x+2,若∀x1∈(0,+∞),∃x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),求实数a的取值范围. [解]　由(1)知当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上为增函数, 故f(x)无最大值,此时不符合题意;当a<0时,f(x)max=f(-)=-1-ln(-a). 易知g(x)=x2-2x+2在[0,1]上单调递减,所以g(x)max=g(0)=2. 因为∀x1∈(0,+∞),∃x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2), 所以f(x)max<g(x)max,即 解得a<-e-3,所以实数a的取值范围是(-∞,-e-3). 方法总结 双变量的恒(能)成立问题的常见转化 1.∀x1∈M,∃x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min. 2.∀x1∈M,∀x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max. 3.∃x1∈M,∃x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)min. 4.∃x1∈M,∀x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max. 跟踪训练 3.已知函数f(x)=+aln x,其中a<0. (1)讨论函数f(x)的单调区间; 解:∵f(x)=+aln x(x>0),∴f'(x)=. ①当-1<a<0时,<0,f'(x)<0恒成立, ∴f(x)的单调递减区间是(0,+∞),无单调递增区间. ②当a=-1时,f'(x)=-<0恒成立,∴f(x)的单调递减区间是(0,+∞),无单调递增区间. ③当a<-1时,x∈(0,),f'(x)>0,∴f(x)的单调递增区间是(0,), x∈(,+∞),f'(x)<0,∴f(x)的单调递减区间是(,+∞). 综上,当-1≤a<0时,f(x)的单调递减区间是(0,+∞),无单调递增区间; 当a<-1时,f(x)的单调递增区间是(0,),单调递减区间是(,+∞). (2)设函数g(x)=2x2f'(x)-xf(x)-3a(a<0),存在实数x1,x2∈[1,e2],使得不等式2g(x1)<g(x2)成立,求a的取值范围. 解:g(x)=2ax-axln x-(6a+3)(a<0).∵存在实数x1,x2∈[1,e2],使得不等式2g(x1)<g(x2)成立,∴2g(x)min<g(x)max, g'(x)=a(1-ln x).∵a<0,∴当x∈[1,e)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(e,e2]时,g'(x)>0,g(x)单调递增, ∴g(x)min=g(e)=ae-6a-3,g(x)max=max{g(1),g(e2)}=-6a-3, ∴2ae-12a-6<-6a-3,∴a>. ∵a<0,∴a的取值范围为(,0). $