第3章 提升课5 与三次函数有关的问题-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“三次函数”专题，覆盖零点、单调性与极值、对称性、切线四大核心考点，对接高考评价体系，通过2023-2024年全国卷真题（如乙卷零点问题、甲卷交点问题）分析考点权重，归纳“极值符号判断零点个数”“导数求单调区间”等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题溯源+方法建模+素养提升”，以2024新课标Ⅱ卷对称中心题为例，用二阶导数求对称中心培养数学眼光，结合“极值点乘积符号判断零点”训练数学思维，提炼“导数求极值—符号分析—结论推导”答题模板。帮助学生掌握得分技巧，教师可精准教学，助力高考冲刺。

提升课5　与三次函数有关的问题 第三章　一元函数的导数及其应用 考点一　三次函数的零点 [例1]　(1)(2023·全国乙卷)若函数f(x)=x3+ax+2存在3个零点,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2)　　　　　 B.(-∞,-3) C.(-4,-1) D.(-3,0) B [解析]　f(x)=x3+ax+2,则f'(x)=3x2+a, 若f(x)存在3个零点,则f(x)存在极大值和极小值,f'(x)=0有2个不同的根,则a<0. 令f'(x)=3x2+a=0,解得x=-或x=, 且当x∈(-∞,-)∪(　,+∞)时,f'(x)>0, 当x∈(-,)时,f'(x)<0,故f(x)的极大值为f(-),极小值为f(), 若f(x)存在3个零点, 则 即解得a<-3. (2)(2024·全国甲卷)当x>0时,曲线y=x3-3x与曲线y=-(x-1)2+a有两个交点,则a的取值范围是　　　　　.  (-2,1) 又当x→0时,g(x)→1,当x→+∞时,g(x)→+∞,g(1)=-2, 作出y=g(x)的大致图象如图. 曲线y=x3-3x与y=-(x-1)2+a在(0,+∞)上有两个交点, 等价于直线y=a与函数y=g(x)的图象有两个交点,所以a∈(-2,1). [解析]　令x3-3x=-(x-1)2+a, 即a=x3+x2-5x+1, 令g(x)=x3+x2-5x+1(x>0), 则g'(x)=3x2+2x-5=(3x+5)(x-1), 令g'(x)=0(x>0)得x=1, 当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减, 当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增, 方法总结 1.若三次函数f(x)没有极值点,则f(x)有1个零点. 2.若三次函数f(x)有2个极值点x1,x2,则当f(x1)f(x2)>0时f(x)有1个零点;当f(x1)f(x2)=0时f(x)有2个零点;当f(x1)f(x2)<0时f(x)有3个零点. 跟踪训练 1.已知函数f(x)=x3-x2-x-1的图象与直线y=c有3个不同的交点,求实数c的取值范围. 解:∵f(x)=x3-x2-x-1,∴f'(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1), 当x∈(-∞,-)时f'(x)>0,函数f(x)在(-∞,-)上单调递增, 当x∈(-,1)时f'(x)<0,函数f(x)在(-,1)上单调递减, 当x∈(1,+∞)时f'(x)>0,函数f(x)在(1,+∞)上单调递增, 则f(x)的极大值为f(-)=-,极小值为f(1)=-2,又当x→-∞时,f(x)→-∞,当x→+∞时,f(x)→+∞, 根据题意可得实数c的取值范围为(-2,-). 考点二　三次函数的单调性与极值 [例2]　已知函数f(x)=x3-x2-ax+2在x=1处取得极值. (1)求a的值; [解]　 f'(x)=3x2-2x-a,由题意得f'(1)=0,即3-2-a=0,解得a=1, 故f'(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1),令f'(x)>0得x>1或x<-,令f'(x)<0得-<x<1, 故x=1为极小值点,满足要求. (2)求函数f(x)的极值. [解]　由(1)可知,f(x)=x3-x2-x+2,当x>1或x<-时,f'(x)>0,当-<x<1时, f'(x)<0, 所以f(x)的单调递增区间为(1,+∞),(-∞,-),单调递减区间为(-,1), 所以f(x)的极小值为f(1)=1-1-1+2=1, 极大值为f(-)=(-)3-(-)2++2=. 方法总结 三次函数f(x) 的极值点就是二次函数f'(x)的零点,所以与三次函数极值有关的问题常借助“三个二次”的关系,同时结合三次函数图象求解. 跟踪训练 2.已知函数f(x)=x3+x2-3x+1. (1)求函数f(x)的单调区间; 解:由题知,f(x)的定义域为R,则f'(x)=x2+2x-3=(x+3)(x-1), 令f'(x)>0,得x>1或x<-3,令f'(x)<0,得-3<x<1, 所以f(x)的单调递增区间为(1,+∞)和(-∞,-3),f(x)的单调递减区间为(-3,1). (2)求函数f(x)的极值. 解:由(1)知,f(x)在(1,+∞)和(-∞,-3)上单调递增,在(-3,1)上单调递减, 所以f(x)的极小值为f(1)=+1-3+1=-,极大值为f(-3)=×(-27)+9-3× (-3)+1=10. 考点三　三次函数的对称性 [例3]　(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则(　　) A.当a>1时,f(x)有三个零点 B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴 D.存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心 AD [解析]　A选项,f'(x)=6x2-6ax=6x(x-a),由于a>1, 故当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 当x∈(0,a)时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 则f(x)在x=0处取得极大值,在x=a处取得极小值, 由f(0)=1>0,f(a)=1-a3<0, 则f(0)f(a)<0, 根据函数零点存在定理知f(x)在(0,a)上有一个零点, 又f(-1)=-1-3a<0,f(2a)=4a3+1>0, 则f(-1)f(0)<0,f(a)f(2a)<0, 则f(x)在(-1,0),(a,2a)上各有一个零点,于是当a>1时,f(x)有三个零点,A选项正确. B选项,f'(x)=6x(x-a),a<0, 当x∈(a,0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 此时f(x)在x=0处取得极小值,B选项错误. C选项,假设存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴, 即存在a,b,使得f(x)=f(2b-x), 即2x3-3ax2+1=2(2b-x)3-3a(2b-x)2+1, 根据二项式定理,等式右边2(2b-x)3的展开式中含有x3的项为2(2b)0 (-x)3=-2x3, 等式左右两边x3的系数不相等,原等式不可能恒成立,所以不存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴,C选项错误; D选项,法一(利用对称中心的表达式化简):f(1)=3-3a,若存在a,使得点 (1,3-3a)为曲线y=f(x)的对称中心, 则f(x)+f(2-x)=6-6a, 又f(x)+f(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a, 于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a, 即解得a=2,即存在a=2,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心,D选项正确. 法二(直接利用拐点结论):任何三次函数都有对称中心,对称中心的横坐标是其二阶导数的零点, f(x)=2x3-3ax2+1,f'(x)=6x2-6ax,f″(x)=12x-6a, 由f″(x)=0⇔x=,得该三次函数图象的对称中心为(,f()), 由题意(1,f(1))为其图象的对称中心,故=1⇔a=2,即存在a=2,使得点(1,f(1))是曲线y=f(x)的对称中心,D选项正确. 方法总结 三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)一定有对称中心.其对称中心的横坐标为x=-,即f'(x)=3ax2+2bx+c的顶点的横坐标,也即f″(x)=6ax+2b的零点,即三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象的对称中心在其导函数f'(x)=3ax2+2bx+c的图象的对称轴上.若三次函数f(x)有极值,那么它的对称中心是两个极值点的中点. 跟踪训练 3.(多选)已知函数f(x)=x3-4x+6,则(　　) A.f(x)有两个极值点 B.f(x)有3个零点 C.点(0,6)是曲线y=f(x)的对称中心 D.直线x+y-6=0是曲线y=f(x)的切线 AC 解析:由题,f'(x)=x2-4,令f'(x)>0得x>2或x<-2, 令f'(x)<0得-2<x<2,所以f(x)在(-∞,-2),(2,+∞)上单调递增,在(-2,2)上单调递减, 所以x=±2是f(x)的极值点,故A正确; 因为f(-2)=-+8+6>0,f(2)=-8+6=>0,即f(-2)×f(2)>0,所以函数f(x)有一个零点,故B错误; 令h(x)=x3-4x,该函数的定义域为R,h(-x)=(-x)3-4(-x)=-x3+4x=-h(x), 则h(x)是奇函数,(0,0)是h(x)的对称中心,将h(x)的图象向上平移6个单位长度得到f(x)的图象,所以点(0,6)是曲线y=f(x)的对称中心,故C正确; 令f'(x)=x2-4=-1,可得x=±,又f()=6-3,f(-)=6+3, 当切点为(,6-3)时,切线方程为y=-x+6-2, 当切点为(-,6+3)时,切线方程为y=-x+6+2,故D错误. 考点四　三次函数的切线 [例4]　(2021·全国乙卷)已知函数f(x)=x3-x2+ax+1. (1)讨论f(x)的单调性; [解]　由题意知f(x)的定义域为R, f'(x)=3x2-2x+a, Δ=(-2)2-4×3a=4(1-3a). ①当a≥时,f'(x)≥0恒成立,f(x)在R上单调递增; ②当a<时,由f'(x)=3x2-2x+a=0, 解得x1=,x2=, 令f'(x)>0,则x<x1或x>x2, 令f'(x)<0,则x1<x<x2, 所以f(x)在(-∞,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增. 综上,当a≥时,f(x)在R上单调递增; 当a<时,f(x)在(-∞,)上单调递增,在(,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增. (2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标. [解]　设曲线y=f(x)过坐标原点的切线为l,切点为P(x0,-+ax0+1). 因为f'(x0)=3-2x0+a, 所以切线l的方程为y-(-+ax0+1)=(3-2x0+a)(x-x0). 由l过坐标原点,得2--1=0, 解得x0=1,所以f'(1)=1+a, 所以切线l的方程为y=(1+a)x. 令x3-x2+ax+1=(1+a)x, 则x3-x2-x+1=0,解得x=±1, 所以曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标为(1,1+a)和(-1,-1-a). 方法总结 一般地,如图,过三次函数f(x)图象的对称中心作切线L,则坐标平面被切线L和函数f(x)的图象分割为四个区域,有以下结论: (1)过区域Ⅰ、Ⅳ内的点作曲线f(x)的切线,有且仅有3条; (2)过区域Ⅱ、Ⅲ内的点以及对称中心作曲线f(x)的切线,有且仅有1条; (3)过切线L或函数f(x)图象(除去对称中心)上的点作曲线f(x)的切线,有且仅有2条. 跟踪训练 4.过点P(1,-2)且与曲线y=2x3-3x相切的不同直线共有(　　) A.0条　　　B.1条　　　C.2条　　　D.3条 D 解析:设切点为(x0,2-3x0),y'=6x2-3,则切线的斜率为6-3,又切线过点P(1,-2), 所以2-3x0+2=(6-3)(x0-1),则4-6+1=0,设g(x0)=4-6+1, 则g'(x0)=12-12x0,令g'(x0)=0,解得x0=0或x0=1, 当x0∈(-∞,0)或x0∈(1,+∞)时g'(x0)>0,函数g(x0)单调递增, 当x0∈(0,1)时g'(x0)<0,函数g(x0)单调递减, 又g(-1)=-4-6+1=-9<0,g(0)=1>0,g(1)=4-6+1=-1<0,g(2)=4×8-6×4+1=9>0, 所以存在x1∈(-∞,0),g(x1)=0;x2∈(0,1),g(x2)=0;x3∈(1,+∞),g(x3)=0, 所以g(x0)与x轴有3个交点,则过点P(1,-2)有3条直线与曲线y=2x3-3x相切. $