第3章 第1节 导数的概念及其意义、导数的运算-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“一元函数的导数及其应用”核心模块，依据高考评价体系明确导数概念、几何意义、运算（含复合函数）及几何应用四大考查要求，通过考点梳理分析“导数几何意义”占比35%、“导数运算”占30%的高频考点，归纳切线方程、参数范围等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+方法建模+素养提升”，如结合2022新课标Ⅰ卷“曲线切线参数范围”题，详解“设切点—列方程—求参数”三步法，培养数学思维（推理与运算能力）。设“易错警示”专栏，教师可通过题型训练精准指导，助力学生掌握得分技巧，高效冲刺高考。

第一节　导数的概念及其意义、导数的运算 第三章　一元函数的导数及其应用 1.了解导数概念的实际背景.　2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.　3.能根据导数定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数.　4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.　5.了解复合函数的求导法则,能求简单复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点一　函数y=f(x) 的导数 1．y＝f(x)在x＝x0处的导数 f′(x0) 知识梳理 知识点一　函数y=f(x) 的导数 知识点二　导数的意义 1.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的 ．函数y＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义． 2.导数的物理意义 函数s=s(t)在点t0处的导数s'(t0)是物体在t0时刻的瞬时速度v,即v=s'(t0);v=v(t)在点t0处的导数v'(t0)是物体在t0时刻的瞬时加速度a,即a=v'(t0). 斜率 知识点三　基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=___ f(x)=xα(α∈R) f'(x)=________ f(x)=sin x f'(x)=_______ f(x)=cos x f'(x)=________ f(x)＝tan x f′(x)＝ f(x)=ex f'(x)=____ f(x)=ax(a>0,a≠1) f'(x)=_______ f(x)=ln x f'(x)= f(x)=logax(a>0,a≠1) f'(x)= 0 α cos x -sin x ex axln a 知识点四　导数的运算法则 1.导数的四则运算法则 若f'(x),g'(x)存在,则有 (1)[f(x)±g(x)]'= ; (2)[f(x)g(x)]'= ; (3)[]'=(g(x)≠0); (4)[kf(x)]'= ,k∈R . f'(x)±g'(x) f'(x)g(x)+f(x)g'(x) kf'(x) 2.复合函数的定义及其导数 (1)定义：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量． (2)复合函数的导数：复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为y′x＝[f(φ(x))]′＝ ，其中u＝φ(x). f′(u)φ′(x) 知识点四　导数的运算法则 常用结论 1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. 2.[af(x)+bg(x)]'=af'(x)+bg'(x). 3.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. 4.[]'=(f(x)≠0). 自我评价 1.已知f(x)=x+ex,则=(　　) A.1+e　　　　　　　　 　 B.1-e C.e-1 D.-1-e 解析:=f'(1)=(1+ex)|x=1=1+e. A 2.(多选)(北师大选择性必修第二册P70例3改编)下列求导运算正确的是(　　) A.(cos 2)'=-sin 2 B.()'= C.()'= D.(ln sin x)'= BC 解析:对于A,因为cos 2是常数,故(cos 2)'=0,故A错误; 对于B,()'=()'==,故B正确; 对于C,()'==,故C正确; 对于D,因为(ln sin x)'=,故D错误. 3.已知函数f(x)=x2f'()+ln x-9,则f'(1)=(　　) A.18 B.19 C.20 D.21 解析:因为函数f(x)=x2f'()+ln x-9,所以f'(x)=2f'()x+, 所以令x=,可得f'()=9,所以f'(x)=18x+,所以f'(1)=19. B 4.(北师大选择性必修第二册P72例6改编)函数y=e1-x+x2在x=1处的切线方程为(　　) A.y=3-x B.y=2x C.y=x+1 D.y=3x-1 解析:对函数y=e1-x+x2求导得y'=-e1-x+2x, 故当x=1时,斜率k=-e1-1+2=1, 又切线过点(1,2),故切线方程为y-2=(x-1),即y=x+1. C 关键能力　重点探究 考点一　变化率及导数的概念 [例1]　 (多选)已知某物体运动时位移s与时间t之间的关系式为s(t)=7t2+8(0≤t≤5),则(　 　) A.当1≤t≤3时,该物体的平均速度是28 B.该物体在t=4时的瞬时速度是56 C.该物体位移的最大值为43 D.该物体在t=5时的瞬时速度是70 ABD [解析]　对于A,当1≤t≤3 时,该物体的平均速度是==28,A正确; 对于B,= =(56+7Δt)=56,B正确; 对于C,由题易知,s(t)在[0,5] 上单调递增, 所以当t=5 时,s(t)取最大值,最大值为s(5)=7×52+8=183,C错误; 对于D,= =(70+7Δt)=70,D正确. 方法总结 由导数的定义可知,若函数y=f(x)在x=x0处可导,则f'(x0)=,它仅与x0有关,与Δx无关,因此使用导数的定义时要明确公式的形式,分子为函数值的改变量,分母是自变量的改变量,要注意公式的变形. 跟踪训练 1.已知函数f(x)=,则=(　　) A.2　　　B.　　　C.-　　　D.-4 解析:因为f(x)=,所以f'(x)=,则=f'(2)==. B 考点二　导数的运算 [例2]　(1)(多选)下列函数求导运算正确的是(　　) A.(lg x)'= B.(e-x)'=e-x C.(x2sin x)'=2xsin x+x2cos x D.[ln(2x+1)]'= AC [解析]　由基本初等函数的导数公式可知,(lg x)'=,故A正确; (e-x)'=()'==-=-e-x,故B错误; (x2sin x)'=(x2)'sin x+x2(sin x)'=2xsin x+x2cos x,故C正确; 令t=2x+1,则y=ln t,则t'=2,y'=, 则[ln(2x+1)]'==,故D错误. (2)已知函数f(x)=sin 2x-xf'(0),则f'()=　　　　.  [解析]　f'(x)=2cos 2x-f'(0),令x=0得f'(0)=2cos 0-f'(0)=2-f'(0), 解得f'(0)=1,故f'(x)=2cos 2x-1,所以f'()=2cos π-1=-3. -3 方法总结 1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导. 2.抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解. 3.复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元. 4.解析式形如f(x)=f'(x0)g(x)+h(x)(x0为常数)的函数求值问题,解题思路:先求导数f'(x),然后令x=x0,解关于f'(x0)的方程,即可得到f'(x0)的值,进而得到f(x),f'(x)再进行求解. 跟踪训练 2.(多选)下列求导运算正确的是(　 　) A.[ln(-x)]'= B.(2-x)'=-ln 2·2-x C.()'= D.()'= ABD 解析:对于A,[ln(-x)]'=×(-1)=,故A正确; 对于B,(2-x)'=[()x]'=()x·ln =-ln 2·2-x,故B正确; 对于C,()'=[(x-1]'=(x-1=,故C错误; 对于D,()'==,故D正确. 3.已知函数f(x)=3ln(x-1)-x2f'(2),则f'(2)=　　　　.  解析:因为f(x)=3ln(x-1)-x2f'(2),则f'(x)=-2xf'(2), 令x=2,可得f'(2)=3-4f'(2),解得f'(2)=. 考点三　导数的几何意义 角度1　求切线方程 [例3]　(1)若函数f(x)=xln x+2xf'(1),则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为　　　　.  [解析]　因为f(x)=xln x+2xf'(1),所以f'(x)=ln x+1+2f'(1), 令x=1,得f'(1)=1+2f'(1),解得f'(1)=-1,所以f(x)=xln x-2x,则f(1)=-2, 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(-2)=-1×(x-1),即y=-x-1. y=-x-1 (2)已知函数f(x)=x-ln x,过原点作曲线y=f(x)的切线,则该切线的方程为　　　　　　.  [解析]　设所求切线切点为(x0,x0-ln x0),x0>0,由题可知f'(x)=1-,x>0, 所以所求切线斜率为k=f'(x0)=1-,又切线过原点, 所以1-=⇒x0=e,故切点为(e,e-1),切线斜率为1-, 所以切线方程为y=(1-)x. y=(1-)x 角度2　求切点坐标 [例4]　已知函数f(x)=ln x+x,过原点作曲线y=f(x)的切线l,则切点P的坐标为(　　) A.(1,1) B.(e,e+1) C.(,-1) D.(e2,e2+2) B [解析]　由题意可知,f'(x)=+1,x>0, 设切点为P(x0,ln x0+x0),x0>0,则切线方程为y=(+1)(x-x0)+ln x0+x0. 因为切线过原点,所以0=(+1)(-x0)+ln x0+x0=ln x0-1,解得x0=e,则P(e,e+1). 角度3　求与切线有关的参数值(范围) [例5]　(1)(2025·全国一卷)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线,则a=　　　　　　.  4 [解析]　法一:对于y=ex+x+a,其导数为y'=ex+1. 因为直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线,直线的斜率为2, 所以y'=ex+1=2,即ex=1,解得x=0, 将x=0代入切线方程y=2x+5,可得y=2×0+5=5, 所以切点坐标为(0,5). 因为切点(0,5)在曲线y=ex+x+a上, 所以5=e0+0+a,即5=1+a,解得a=4. 法二:对于y=ex+x+a,其导数为y'=ex+1, 假设y=2x+5与y=ex+x+a的切点为(x0,y0), 则解得a=4. (2)(2022·新课标Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　 　　　.  [解析]　设y=f(x)=(x+a)ex,则f'(x)=(x+a+1)ex,设切点为(x0,(x0+a)), 因此切线方程为y-(x0+a)=(x0+a+1)(x-x0). 又∵切线过原点(0,0),∴-(x0+a)=(x0+a+1)·(-x0),整理得+ax0-a=0.又切线有两条,∴关于x0的方程+ax0-a=0有两个不相等的实根,故Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4. (-∞,-4)∪(0,+∞) 方法总结 求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点”的切线方程的不同.过点的切点坐标不知道,要设出切点坐标,根据:①斜率相等,②切点在切线上,③切点在曲线上建立方程(组)求解,求出切点坐标是解题的关键. 跟踪训练 4.(2024·全国甲卷)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 (　　) A. B. C. D. A 解析:f'(x)=, 所以f'(0)=3, 所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1=3(x-0),即3x-y+1=0, 切线与两坐标轴的交点分别为(0,1),(-,0), 所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×=. 5.已知f(x)=x2-,过原点作曲线y=f(x)的切线,则切点的横坐标为(　　) A.2 B.-2 C.- D. C 解析:由f(x)=x2-,得f'(x)=x+, 设切点坐标为(x0,-), ∴f'(x0)=x0+, 则切线方程为y-+=(x0+)(x-x0). ∵切线过原点, ∴-+=-x0(x0+)=--, 解得x0=-, 即切点的横坐标为-. 6.若函数f(x)=x-+aln x存在与x轴平行的切线,则实数a的取值范围是　　　　　.  解析:f'(x)=1++(x>0), 依题意得f'(x)=0有解, 即-a=x+有解. ∵x>0, ∴x+≥2,当且仅当x=1时取等号, ∴-a≥2,即a≤-2. (-∞,-2] 两曲线的公切线问题 教材延展 知识背景 在教材中没有明确提到两条曲线的公切线问题,但在高考题中经常考查两条曲线的公切线问题.如2024·新课标Ⅰ卷T13. 定义:若直线l与曲线C1,C2均相切,则称直线l是曲线C1与曲线C2的公切线. 思路分析 一般地,求C1:y=f(x)与C2:y=g(x)的公切线l的方程有以下三种思路: 思路1:设切点分别为A(x1,f(x1)),B(x2,g(x2)),公切线l的方程为y=kx+b,则研究方程组解的情况. 思路2:设切点分别为A(x1,f(x1)),B(x2,g(x2)),f'(x1)=g'(x2)= (x1≠x2),研究方程解的情况. 思路3:设切点分别为A(x1,f(x1)),B(x2,g(x2)),公切线l:y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),y-g(x2)=g'(x2)(x-x2), 则研究方程组解的情况. 方程解的情况对应着公切线的情况,但要注意,求解方程时,一般可转化为研究函数的零点问题. 角度1　共切点的公切线问题 [例1]　已知函数g(x)=的图象与函数f(x)=aln x的图象在公共点处有相同的切线,则公共点的坐标为　　　　　　.  (e2,e) [解析]　由题可知,函数f(x)=aln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=,g'(x)=. 设曲线f(x)=aln x与曲线g(x)=的公共点为(x0,y0)(x0>0). 因为f(x)的图象与g(x)的图象在公共点处有共同的切线,所以=,即x0=4a2(a>0). 由f(x0)=g(x0),可得aln x0=, 联立解得x0=e2,所以y0=e,所以公共点的坐标为(e2,e). 跟踪训练 1.设曲线f(x)=aex+b和曲线g(x)=cos+c在它们的公共点P(0,2)处有相同的切线,则ba+c=　　　　　　.  解析:由已知得, 又f'(x)=aex,g'(x)=-sin,所以f'(0)=g'(0)=0,解得a=0,所以a=0,b=2,c=1,所以ba+c=20+1=2. 2 角度2　不共切点的公切线问题 [例2]　(2026·广东广州模拟)已知曲线C1:f(x)=ex-1和曲线C2:g(x)=1+ln x,请写出曲线C1和C2的一条公切线方程:　　 　 　　　.  y=x(答案不唯一,或填y=ex-1) [解析]　设公切线与C1:f(x)=ex-1的切点为(x1,-1),与C2:g(x)=1+ln x的切点为(x2,1+ln x2)(x2>0). 由f'(x)=ex,则f'(x1)=,则公切线方程为y=(x-x1)+-1, 即y=x+(1-x1)-1; 由g'(x)=,则g'(x2)=,则公切线方程为y=(x-x2)+ln x2+1,即y=·x+ln x2, 所以 故曲线C1和C2的公切线方程为y=x或y=ex-1. 2.已知直线y=kx+b既是曲线y=ln x的切线,也是曲线y=-ln(-x)的切线,则(　　) A.k=,b=0　　　　　　 B.k=1,b=0 C.k=,b=-1 D.k=1,b=-1 跟踪训练 A 解析:设直线与曲线y=ln x的切点为(x1,ln x1)且x1>0, 与曲线y=-ln(-x)的切点为(x2,-ln(-x2))且x2<0,令f(x)=ln x,g(x)=-ln(-x), 又f'(x)=(ln x)'=,g'(x)=[-ln(-x)]'=-, 则曲线y=ln x的切线方程为y-ln x1=(x-x1),即y=x+ln x1-1, 曲线y=-ln(-x)的切线方程为y+ln(-x2)=-(x-x2),即y=-x+1-ln(-x2), 则 故k==,b=ln x1-1=0. 设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为＝＝. 当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数，通常用符号 表示，记作f′(x0)＝ ＝ ． 2．函数y＝f(x)的导函数(简称导数) 一般地，如果一个函数y＝f(x)在区间(a，b)的每一点x处都有f′(x)＝ ，那么f′(x)也是关于x的函数，称f′(x)为y＝f(x)的导函数，也简称为导数，有时也将导数记作y′. $