第2章 第11节 函数与方程-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数与方程”专题，覆盖函数零点概念、零点存在定理及二分法等高考核心考点，依据高考评价体系梳理三个等价关系、定理条件等必备知识，明确判断零点区间、个数及参数范围三大高频题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题引领+方法总结+素养提升”，如2025天津卷例1通过“定理法+单调性分析”突破零点区间判断，培养数学思维。总结零点个数“直接法+图象法”等技巧，跟踪训练含易错点解析，助力学生掌握得分关键，教师可依此系统教学，提升复习效率。

第十一节　函数与方程 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1.结合学过的函数图象,了解函数的零点与方程解的关系.　2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理,并能简单应用二分法求方程的近似解. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点一　函数的零点 1.函数零点的概念 使得f(x0)＝0的 称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的 ． 注意：零点不是点，是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． 2.三个等价关系 数x0 零点 3.函数零点存在定理 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条 的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即 ，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解． 连续 f(a)·f(b)<0 知识点一　函数的零点 知识点二　二分法的定义 对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)<0，则每次取区间的 ，将区间 ，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法． 给定精度ε，用二分法求函数y＝f(x) 零点x0近似值的步骤： 中点 一分为二 (1)确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0. (2)求区间(a,b)的中点x1. (3)计算f(x1),若f(x1)=0,则x1就是函数f(x)的零点; 若f(a)f(x1)<0(此时零点x0∈(a,x1)),则令b=x1; 若f(b)f(x1)<0(此时零点x0∈(x1,b)),则令a=x1. (4)判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则函数零点的近似值为a(或b);否则重复第(2)~(4)步. 知识点二　二分法的定义 常用结论 1.f(a)f(b)<0是连续函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件. 2.函数零点存在定理中的几个“不一定”与“一定”(假设f(x)连续) (1)若f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)上“一定”存在零点,但“不一定”只有一个零点,可以有多个. 如果f(x)单调,则“一定”只有一个零点.因此分析一个函数零点的个数前,可尝试判断函数是否单调. (2)若f(a)f(b)>0,则f(x)在(a,b)上“不一定”存在零点,也“不一定”没有零点. 此时如果还有条件f(x)单调,那么“一定”没有零点. (3)若f(x)在(a,b)上有零点,则f(a)f(b)的符号是不确定的,f(a),f(b)“不一定”必须异号. 受函数性质与图象影响,如果f(x)单调,则f(a)f(b)“一定”小于0. 3.连续不断的函数y=f(x),其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. 自我评价 1.函数f(x)=的零点个数为(　　) A.3个　　　　　　　　　　 B.2个 C.7个 D.0个 解析:由 解得x=-2或x=e,故f(x)有2个零点. B 2.函数y=-ln x的零点所在区间是(　　) A.(3,4) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1) 解析:因为y=在(0,+∞)上单调递减,y=-ln x在(0,+∞)上单调递减,所以函数y=-ln x在(0,+∞)上单调递减.又当x=2时,y=-ln 2>0;当x=3时,y=1-ln 3<0,两函数值异号,所以函数y=-ln x的零点所在区间是(2,3). B 3.下列函数中,不能用二分法求零点的是(　　) A.y=2x B.y=(x-2)2 C.y=x+-3 D.y=ln x 解析:对于B,y=(x-2)2有唯一零点x=2,但函数值在零点两侧同号,则不可用二分法求零点. B 4.若函数f(x)=2x+a在(-1,1)内存在一个零点,则a的取值范围是　　　　.  解析:由题意得f(-1)f(1)=(-2+a)(2+a)<0, 解得 -2<a<2. (-2,2) 关键能力　重点探究 考点一　判断函数零点所在的区间 [例1]　(2025·天津卷)函数f(x)=0.3x-的零点所在区间是(　　) A.(0,0.3)　　　　　　　　 B.(0.3,0.5) C.(0.5,1) D.(1,2) [解析]　由指数函数、幂函数的单调性可知,y=0.3x在R上单调递减, y=在[0,+∞)上单调递增, 所以f(x)=0.3x-在定义域上单调递减, 显然f(0)=1>0,f(0.3)=0.30.3-0.30.5>0,f(0.5)=0.30.5-0.50.5<0, 所以根据零点存在定理可知f(x)的零点所在区间是(0.3,0.5). B 方法总结 函数零点所在区间的判断方法及适用情形 1.定理法:利用函数零点存在定理进行判断.适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形. 2.图象法:画出函数图象,通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.适用于容易画出函数图象的情形. 跟踪训练 1.根据下列表格的对应值: 判断方程x2+x-1=0一个解的取值范围是(　　) A.0.59<x<0.60 B.0.60<x<0.61 C.0.61<x<0.62 D.0.62<x<0.63 x 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 x2+x-1 -0.061 9 -0.04 -0.017 9 0.004 4 0.026 9 C 解析:∵当x=0.61时,x2+x-1=-0.017 9<0;当x=0.62时,x2+x-1=0.004 4>0, 则在0.61和0.62之间有一个值能使x2+x-1的值为0,∴方程x2+x-1=0一个解的取值范围是0.61<x<0.62. 2.(2026·河北沧州模拟)函数f(x)=2x+ln x-1的零点所在的区间为(　　) A.(0,) B.(,1) C.(1,) D.(,2) B 解析:因为y=2x与y=ln x-1均在其定义域上单调递增, 所以f(x)=2x+ln x-1在(0,+∞)上单调递增. 又f()=+ln-1=-1-ln 2, ∵-1<,ln 2>ln=, ∴f()=-1-ln 2<0. 又∵f(1)=2+ln 1-1=1>0,∴函数f(x)的零点所在区间是(,1). 考点二　判断函数零点的个数 [例2]　函数f(x)=的零点个数是 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B [解析]　因为f(x)= 当x≤0时,令f(x)=0,即x2+3x-4=0,解得x1=-4,x2=1(舍去); 当x>0时,令f(x)=0,即log2(x+2)-3=0,即log2(x+2)=3,解得x3=6. 综上可得函数f(x)的零点为-4,6,共2个. 方法总结 函数零点个数的判断方法 1.直接法:令f(x)=0,有几个解就有几个零点. 2.定理法:首先确定函数f(x)在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数. 3.图象法:将原函数分成两个函数,作出两函数图象,观察其交点个数即得零点个数. 跟踪训练 3.函数f(x)=ex|ln x|-2的零点个数为(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:令f(x)=0,所以|ln x|=. 在同一平面直角坐标系中画出两个函数y=|ln x|,y=的图象,根据图象可得有2个交点,故原函数有2个零点. B 考点三　利用函数的零点求参数 [例3]　(1)函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(　　) A.0<a<3 B.1<a<3 C.1<a<2 D.a≥2 A [解析]　因为函数y=2x,y=-在(0,+∞)上均单调递增, 所以函数f(x)=2x--a在(0,+∞)上单调递增, 由函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内得f(1)=-a<0,f(2)=3-a>0, 解得0<a<3. (2)(2026·北京模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-mx有三个零点,则实数m的取值范围为　　 　　.  [解析]　易知x=0为g(x)的一个零点,当x≠0时,令g(x)=f(x)-mx=0,得=m, 令h(x)=, 则h(x)=作出h(x)的图象, 如图,依题意,只需y=m与y=h(x)有两个交点即可. 由图可得m∈(0,1)∪(2,+∞). (0,1)∪(2,+∞) 方法总结 利用函数零点求参数范围的方法 跟踪训练 4.函数f(x)=+x2+m在区间(2,4)上存在零点,则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞,-18) B.(4+,+∞) C.(4+,18) D.(-18,-4-) D 解析:函数f(x)=+x2+m在(2,4)上的图象连续不断,且为增函数, 若f(x)=+x2+m在区间(2,4)上存在零点, 根据零点存在定理可知,只需满足f(2)·f(4)<0, 即(m+4+)(m+18)<0,解得-18<m<-4-,所以实数m的取值范围是(-18, -4-). 5.已知函数f(x)=若方程f(x)=k有三个不同的实数解,则k的取值范围为(　　) A.(-∞,3) B.(-∞,3] C.[3,4) D.(3,4) 解析:根据题意,画出函数y=f(x)和y=k的图象,如图. 当x≤0时,f(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,f(x)max=f(-1)=4,f(0)=3, 由图象可知当3≤k<4时,方程f(x)=k有三个解. C $