第2章 第7节 指数与对数的运算-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“指数与对数的运算”核心考点，依据高考评价体系梳理根式性质、指数幂运算、对数概念及综合应用等考查要求，通过分析近五年真题明确对数换底公式（占比30%）、指数式化简（占25%）等高频考点，归纳选择、填空及综合求值常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+方法建模+素养提升”，如以2026年山东青岛模拟题为例，通过设参数转化指数等式培养数学思维中的推理能力，结合换底公式变形技巧（如logₐb=lg b/lg a）提升运算能力，帮助学生掌握得分关键，教师可依托分层训练精准指导，高效冲刺高考。

第七节　指数与对数的运算 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1.通过对有理数指数幂、实数指数幂含义的认识,掌握指数幂的运算性质.　2.理解对数的概念和运算性质,利用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.　3.能够利用指数与对数运算解决一些简单的实际问题. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点一　指数与指数的运算 1.根式的性质 (1)()n=a(a使有意义). (2)当n为奇数时,= ; 当n为偶数时,= = a |a| 2.分数指数幂的意义 分数 指数幂 正数的正分 数指数幂 给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得 ，则称b为a的 次 幂，记作________ 正数的负分 数指数幂 规定:==(a>0,m,n∈N+,n>1) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂________ 没有意义 bn＝am 3.指数幂的运算性质 (1)aras= (a>0,r,s∈R). (2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈ R). (3)(ab)r= (a>0,b>0,r∈ R). ar+s arbr 知识点二　对数与对数的运算 1.对数的概念 一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即 ，那么数b称为以 为底 的对数，记作logaN＝b. 其中a叫作对数的底数，N叫作真数． a N ab＝N logaM＋logaN logaM－logaN blogaM 常用结论 1.lg 2+lg 5=1. 2.换底公式的变形:logab·logbc·logcd=logad,lobn=logab(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1;c>0,且c≠1;d>0;m≠0). 3.对数值的符号规律:logab>0⇔(a-1)(b-1)>0,logab<0⇔(a-1)(b-1)<0(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1). 自我评价 1.若函数f(x)=(a-3)·ax是指数函数,则f()的值为(　　) A.2　　　　　　　　　　 B.-2 C.-2 D.2 解析:∵函数f(x)是指数函数, ∴a-3=1,∴a=8, ∴f(x)=8x,故f()==2. D 2.(北师大必修第一册P107T5改编)设a=lg 2,b=lg 3,则log1210=(　　) A.　　　　　　　　 B. C.2a+b D.2b+a 解析:log1210===. A 3.+(-27-log32·log49=　　　　.  解析:原式=+(-3-·=4+9-1=12. 12 关键能力　重点探究 考点一　根式、指数式的化简与求值 [例1]　(多选)下列运算正确的是(式中字母均为正数)(　　) A.0.2+()0-2-1=0 B.(-()0.5+(0.008×+(π-1)0= C.(2·)(-6·)÷(-3·)=1 D.若+=,则= BD [解析]　对于A,原式=0.5+1-=1,A错误; 对于B,原式=()-2-+()-2×+1=-+25×+1=-+2=,B正确; 对于C,原式=(2)(-6)÷(-3)=[2×(-6)÷(-3)]· =4ab0=4a,C错误; 对于D,当+=时,(+)2=x+2+x-1=6,得x+x-1=4,由(x+x-1)2= x2+2+x-2=16,得x2+x-2=14,所以==,D正确. 方法总结 指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意: 1.有括号的先算括号里的,无括号的先进行指数运算. 2.先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. 3.底数是负数的,先确定符号;底数是小数的,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数. 跟踪训练 1.(多选)下列计算正确的是(式中字母均为正数)(　 　) A.= B.4÷(-)=-6a C.= D.已知x2+x-2=2,则x+x-1=2 BCD 解析:对于A,====≠,所以A错误; 对于B,4÷(-)=-6=-6a,所以B正确; 对于C,====,所以C正确; 对于D,因为(x+)2=x2+2+=4,所以x+=±2,又因为x>0,所以x+x-1 =2,所以D正确. 考点二　对数的运算与化简 [例2]　求值: (1)lg 14-2lg+lg 7-lg 18; [解]　 lg 14-2lg+lg 7-lg 18=lg 14-lg+lg 7+lg=lg(14××7×)=lg 1=0. (2)log35·log57·log79+(lg 2)2+lg 2·lg 5+lg 5-ln(ln e)+. [解]　 log35·log57·log79+(lg 2)2+lg 2·lg 5+lg 5-ln(ln e)+ =··+lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5-ln 1+ =+lg 2·lg 10+lg 5-ln 1+8 =2+lg 2+lg 5-0+8=11. 方法总结 1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.ab=N⇔b=logaN(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化. 跟踪训练 2.求值:+lg 5-lo2×lg 2×log23=　　　　.  解析:+lg 5-lo2×lg 2×log23=4+lg 5-×lg 2×log23=4+lg 5-×lg 2×log23=4+lg 5+lg 2=4+lg 10=5. 5 3.=　　　　.  解析:原式===-. - 考点三　指数与对数的综合运算 [例3]　(1)已知log23=a,2b=7,用a,b表示log4256=(　　) A.　　　　　　 B. C. D. [解析]　由题意可得b=log27,所以log4256=====. B (2)(2026·山东青岛模拟)若abc≠0,且3a=4b=6c,则(　　) A.=+ B.=+ C.=+ D.=+ C [解析]　设3a=4b=6c=t(t>0),则a=log3t,b=log4t,c=log6t,∴==,==,==. +=+=≠,A错误. +=+=≠,B错误. +=+====,C正确. +=+==≠=,D错误. 方法总结 指对互化的转化技巧 对于将指数恒等式ax=by=cz作为已知条件,求函数f(x,y,z)的值的问题,通常设ax=by=cz=k(k>0),则x=logak,y=logbk,z=logck,将x,y,z的值代入函数f(x,y,z)求解. 跟踪训练 4.若2x=3y=6,则x+y-xy=(　　) A. B. C. D.0 解析:因为2x=3y=6,所以x=log26,y=log36,则=log62,=log63, 所以+=log62+log63=1,所以=1,则x+y-xy=0. D 5.已知a=log52,2b=3,则log1210= (　　) A. B. C. D. 解析:因为2b=3,所以b=log23,a=log52=, 即log25=,所以log1210=====. C b＝a 2．对数的运算性质 若a>0，且a≠1，M>0，N>0，b∈R，则 (1)loga(M·N)＝ ； (2)loga＝ ； (3)logaMb＝ ． 3．换底公式 若a>0，b>0，c>0，且a≠1，c≠1，则logab＝. $