第2章 第5节 函数的对称性及其应用-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的对称性及其应用”专题，依据高考评价体系梳理了奇函数偶函数对称性、函数图象对称公式、对称性与周期关系三大核心考点，通过近五年高考真题分析，明确了“对称性与周期性综合应用”占比达50%的高频考查方向，归纳了对称中心判断、对称轴应用等常考题型。 课件亮点在于“真题解析+方法建模+素养提升”的备考路径，如以2021全国甲卷为例，通过推导函数对称中心与周期的关系，培养学生的数学思维与推理能力，总结“f(a+x)+f(b-x)=2c”对称中心公式等解题模型。特设“易错点警示”和“跟踪训练”，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此系统开展专题复习，提升备考效率。

第五节　函数的对称性及其应用 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1.能通过平移,分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.　2.会利用对称公式解决问题. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点　函数的对称性 1.奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数关于 对称,偶函数关于 对称. (2)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线 对称. (3)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点 中心对称. 原点 y轴 x=a (b,0) 2.函数图象的对称性 (1)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x)或f(a+x)=f(a-x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称. (2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=-f(x)或f(-x)=-f(2a+x)或f(a+x)=-f(a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,0)对称. 3.两个函数图象的对称性 (1)函数y=f(x)与y=f(-x)关于 对称. (2)函数y=f(x)与y=-f(x)关于 对称. (3)函数y=f(x)与y=-f(-x)关于 对称. y轴 x轴 原点 知识点　函数的对称性 常用结论 函数f(x) 图象的对称性与周期的关系 1.若函数f(x) 的图象关于直线x=a 与直线x=b 对称,则函数f(x) 的周期为2|b-a|. 2.若函数f(x) 的图象既关于点(a,0) 对称,又关于点(b,0) 对称,则函数f(x) 的周期为2|b-a|. 3.若函数f(x) 的图象既关于直线x=a 对称,又关于点(b,0) 对称,则函数f(x) 的周期为4|b-a|. 4.设函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R. (1)若f(x)的图象关于直线x=a对称,则f'(x)的图象关于点(a,0)对称; (2)若f(x)的图象关于点(a,b)对称,则f'(x)的图象关于直线x=a对称; (3)若f(x)是以T为周期的函数,则f'(x)也是以T为周期的函数. 自我评价 1.函数f(x)=的图象的对称中心为(　　) A.(0,0)　　　　　　　　 B.(0,1) C.(1,0) D.(1,1) 解析:因为f(x)==1+,由y=的图象向上平移一个单位长度得到y=1+的图象,又y=的图象关于点(0,0)对称, 所以f(x)=1+的图象关于点(0,1)对称. B 2.下列函数与y=ex关于直线x=1对称的是(　　) A.y=ex-1 B.y=e1-x C.y=e2-x D.y=ln x 解析:记f(x)=ex,则关于直线x=1对称的是f(2-x)=e2-x,即y=e2-x. C 3.已知函数y=f(x+2)-3是奇函数,且f(4)=2,则f(0)=　　　　　.  解析:法一:∵y=f(x+2)-3是奇函数, ∴f(-x+2)-3=-f(x+2)+3, 令x=2,f(0)-3=-f(4)+3,得f(0)=4. 法二:由y=f(x+2)-3是奇函数, 得f(x)关于(2,3)对称, 故f(0)+f(4)=6,即f(0)=4. 4 4.若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且当x∈[2,3]时,f(x)=2x-1,则f(-1)=　　　　　.  解析:∵f(x)为偶函数, ∴f(-1)=f(1), 由f(x)的图象关于x=2对称, 可得f(1)=f(3)=2×3-1=5, ∴f(-1)=5. 5 关键能力　重点探究 考点一　函数的对称性 [例1]　(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=ln+ax+b(x-1)3,证明:曲线y=f(x)是中心对称图形. [证明]　法一:易知x∈(0,2), f(2-x)+f(x)=ln+a(2-x)+b(1-x)3+ln+ax+b(x-1)3=2a, 所以f(x)的图象关于点(1,a)中心对称,即曲线y=f(x)是中心对称图形. 法二:f(x)=ln+ax+b(x-1)3的定义域为(0,2), f(1+x)+f(1-x)=ln+a(1+x)+b(1+x-1)3+ln+a(1-x)+b(1-x-1)3= ln+a(1+x)+bx3+ln+a(1-x)-bx3=ln 1+2a=2a,因此f(x)的图象关于点(1,a)中心对称,所以曲线y=f(x)是中心对称图形. 方法总结 函数对称性的常用结论 1.若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=对称. 2.若函数y=f(x)满足f(x)+f(2a-x)=2b,则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称. 3.函数y=f(a+x)的图象与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=对称. 特别地,当a=b时,函数y=f(a+x)的图象与函数y=f(a-x)的图象关于直线x=0对称. 跟踪训练 1.(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=(+a)ln(1+x),是否存在a,b,使得曲线y=f()关于直线x=b对称?若存在,求a,b;若不存在,说明理由. 解:假设存在a,b,使得曲线y=f()关于直线x=b对称. 令g(x)=f()=(x+a)ln(1+)=(x+a)·ln. 因为曲线y=g(x)关于直线x=b对称,所以g(x)=g(2b-x), 即(x+a)ln=(2b-x+a)ln=(x-2b-a)ln, 于是 当a=,b=-时,g(x)=(x+)ln(1+),g(-1-x)=(-x-)ln=(-x-)·ln= (x+)ln=(x+)ln(1+)=g(x), 所以曲线y=g(x)关于直线x=-对称,满足题意. 故存在a,b,使得曲线y=f()关于直线x=b对称,且a=,b=-. 考点二　对称性与函数的奇偶性的应用 [例2]　(多选)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x都有f(2+x)=f(2-x),且 f(-x)=f(x),则下列结论正确的是(　 　) A.f(x)的图象关于直线x=2对称 B.f(x)的图象关于点(2,0)对称 C.f(x)的周期为4 D.y=f(x+4)为偶函数 ACD [解析]　因为f(2+x)=f(2-x),所以f(x) 的图象关于直线x=2 对称,故A正确, B错误; 因为函数f(x) 的图象关于直线x=2对称, 则f(-x)=f(x+4),又f(-x)=f(x), 所以f(x+4)=f(x),所以f(x) 的周期为4,故C正确; 因为f(x)的周期为4且f(x) 为偶函数, 所以y=f(x+4) 为偶函数,故D正确. 跟踪训练 2.(多选)已知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,则下列结论成立的是(　　) A.f(x+1)为偶函数 B.f(1+x)=f(1-x) C.f(1+x)+f(1-x)=0 D.f(1)=0 AB 解析:由于y=f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(1+x)=f(1-x),所以f(x+1)为偶函数,故A,B选项正确,C选项错误;如f(x)=(x-1)2+1,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,但f(1)=1≠0,故D选项错误. 考点三　函数的对称性与周期性 [例3]　(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f()=(　　) A.-　　　　　　　　 B.- C. D. D [解析]　由于f(x+1)为奇函数,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,得f(1)=0,即a+b=0　①,即有f(x)+f(2-x)=0,所以f(0)=-f(2),由于f(x+2)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(3)=f(1),所以f(0)+f(3)= -f(2)+f(1)=-4a-b+a+b=-3a=6　②. 根据①②可得a=-2,b=2,所以当x∈[1,2]时,f(x)=-2x2+2. 根据函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且关于点(1,0)对称,可得函数f(x)的周期为4,所以f()=f()=-f()=2×()2-2=. 跟踪训练 3.已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)+f(2-x)=2,f(x)-f(4-x)=0,且f(0)=2.若i∈N+,则f(i)=(　　) A.506 B.1 012 C.2 024 D.4 048 C 解析:因为f(x)+f(2-x)=2,① 所以f(1+x)+f(2-(1+x))=2, 即f(1+x)+f(1-x)=2, 所以f(1+x)-1=-[f(1-x)-1], 所以函数f(x)的图象关于(1,1)对称, 在①中,令x=1,则f(1)+f(1)=2,所以f(1)=1, 令x=2,f(2)+f(0)=2,又f(0)=2,所以f(2)=0. 又因为f(x)-f(4-x)=0,所以f(2-x)=f(4-(2-x))=f(2+x),② 即函数f(x)的图象关于直线x=2对称, f(3)=f(1)=1, 由①和②,得f(x)+f(2+x)=2⇒f(2+x)+f(4+x)=2, 所以f(x)=f(4+x),则函数f(x)的一个周期为4, 则f(4)=f(0)=2, 所以f(i)=506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=506×(1+0+1+2)=2 024. 考点四　函数的奇偶性、对称性与周期性 [例4]　(2026·山东青岛模拟)已知函数f(x)的定义域为R,若f(2x+1)为偶函数,且f(x)+f(4-x)=2,f(1)=2,则f(n)= (　　) A.2 026 B.2 025 C.2 024 D.2 023 A [解析]　由f(2x+1)为偶函数,得f(2x+1)=f(-2x+1),即f(1+x)=f(1-x),则f(2-x) =f(x), 因此f(2-x)+f(4-x)=2,即f(2+x)+f(x)=2,则f(4+x)+f(2+x)=2, 于是f(x+4)=f(x),函数f(x)是周期为4的周期函数, 由f(2+x)+f(x)=2,得f(1)+f(3)=2,f(2)+f(4)=2,因此f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4, 所以f(n)=506×4+f(1)=2 026. 方法总结 函数的奇偶性实际上是特殊的对称性,解决此类问题要把函数的奇偶性转化为对称性,求出函数的对称中心或对称轴,从而得到周期性,利用周期性解决问题. 跟踪训练 4.(多选)(2026·河北石家庄模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x+1)是定义在R上的奇函数,则(　　) A.f(x)的图象关于点(1,0)中心对称 B.f(x)是周期为2的函数 C.f(2 027)=0 D.f(i)=0 AC 解析:对于A,因为y=f(x+1)是R上的奇函数,其图象关于原点对称, 又y=f(x+1)可以看成函数y=f(x)向左平移1个单位得到,所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,故A正确; 对于B,由y=f(x+1)是R上的奇函数,可得f(-x+1)=-f(x+1),即 f(-x)=-f(x+2), 又f(-x)=f(x),则f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)是周期为4的函数,故B错误; 对于C,由f(-x)=-f(x+2),令x=-1,得f(1)=-f(1),则f(1)=0, 所以f(2 027)=f(506×4+3)=f(3)=-f(-1)=-f(1)=0,故C正确; 对于D,由f(x+2)+f(x)=0,则f(2)+f(4)=0,又f(1)=f(3)=0,f(x)是周期为4的函数, 则f(i)=4[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+f(3)=f(2), 而f(2)的值无法确定,故D错误. $