第2章 第2节 函数的单调性-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数单调性”核心考点，依据高考评价体系明确单调函数定义、单调区间求解及单调性判断与证明的考查要求。通过梳理近五年高考真题，分析得出“单调区间求解”占35%、“单调性判断”占30%的高频考点分布，归纳出选择、填空及解答题证明等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“知识梳理-方法总结-真题训练”的系统备考策略，如利用定义法证明单调性的“取值-作差变形-定号-结论”四步法，培养学生的数学思维（推理能力）与数学语言（符号表达）素养。特设易错点分析（如复合函数定义域忽视）和跟踪训练，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第二节　函数的单调性 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,理解其意义.　2.理解并会求单调区间. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点一　单调函数的定义   增函数 减函数 定义 设函数y=f(x)的定义域为D, I是定义域D上的一个区间，如果∀x1,x2∈I 当x1<x2时,都有 ,那么就称函数y=f(x)在区间I上单调递增,特别地,当函数y=f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数 当x1<x2时,都有 ,那么就称函数y=f(x)在区间I上单调递减,特别地,当函数y=f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2)   增函数 减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 知识点一　单调函数的定义 知识点二　单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上 或 ，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，单调递增区间和单调递减区间统称为单调区间． 单调递增 单调递减 常用结论 1.函数单调性的两个等价结论 设∀x1,x2∈D(x1≠x2),则 (1)>0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增. (2)<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减. 2.若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则在区间I上具有以下性质: (1)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,f(x)+g(x)是增(减)函数. (2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反. (3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反. (4)复合函数y=f(g(x))的单调性与y=f(u)和u=g(x)的单调性有关.简记:“同增异减”. (5)若f(x),g(x)在同一区间都是增(减)函数,当f(x)>0,g(x)>0时,则f(x)·g(x) 是增(减)函数;当f(x)<0,g(x)<0时,f(x)·g(x)是减(增)函数. 自我评价 1.已知函数f(x)的图象如图所示,则(　　) A.函数f(x)在区间[-1,2]上单调递增 B.函数f(x)在区间[-1,2]上单调递减 C.函数f(x)在区间[-1,4]上单调递减 D.函数f(x)在区间[2,4]上单调递增 A 2.下列函数中,在其定义域上是减函数的是(　　) A.y=-2x+1　　　　　 B.y=x2+1 C.y= D.y=2x A 解析:y=-2x+1在R上是减函数,故A正确; y=x2+1在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故B错误; y=在[0,+∞)上是增函数,故C错误; y=2x在R上是增函数,故D错误. 3.已知函数y=f(x),x∈R.若f(1)<f(2)成立,则下列说法正确的是 (　　) A.函数f(x)在R上一定是增函数 B.函数f(x)在R上一定不是增函数 C.函数f(x)在R上可能是减函数 D.函数f(x)在R上不可能是减函数 解析:因为函数y=f(x),x∈R且f(1)<f(2)成立, 则函数f(x)在R上不可能是减函数,可能是增函数,也可能不是增函数, 如f(x)=x2,满足f(1)<f(2),但是f(x)在R上不具有单调性, 故D正确,A,B,C错误. D 4.函数f(x)=的单调递增区间是　　　　　.  解析:由题意可知x2-2x≥0,解得x≤0或x≥2, 所以函数f(x)的定义域为(-∞,0]∪[2,+∞). 设y=,u=x2-2x,二次函数u=x2-2x的单调递增区间是(1,+∞),单调递减区间是(-∞,1), 所以f(x)的单调递增区间是[2,+∞). [2,+∞) 关键能力　重点探究 考点一　函数单调性的判断 [例1]　(1)下列函数中,满足“对任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,使得 <0”的是(　　) A.f(x)=-x2-2x+1　 B.f(x)=x- C.f(x)=x+1 D.f(x)=log2(2x)+1 A [解析]　根据题意,满足“对任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,使得<0”,则函数f(x)在(0,+∞)上为减函数. 对于A,f(x)=-x2-2x+1为二次函数,其对称轴为x=-1,在(0,+∞)上单调递减,符合题意; 对于B,f(x)=x-,其导数f'(x)=1+>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,不符合题意; 对于C,f(x)=x+1为一次函数,且在(0,+∞)上单调递增,不符合题意; 对于D,由复合函数单调性“同增异减”知,f(x)=log2(2x)+1在(0,+∞)上单调递增,不符合题意. (2)已知奇函数y=f(x)是定义域为R的连续函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,则下列说法正确的是(　　) A.函数y=f(x)+x2在R上单调递增 B.函数y=f(x)-x2在(0,+∞)上单调递增 C.函数y=x2f(x)在R上单调递增 D.函数y=在(0,+∞)上单调递增 C [解析]　因为y=f(x)是奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,所以y=f(x)在 (-∞,0)上也单调递增. 不妨令f(x)=x,y=f(x)+x2=x+x2=(x+)2-,所以y=f(x)+x2在(-∞ ,-)上单调递减,在(-,+∞)上单调递增,故A错误; 不妨令f(x)=x,y=f(x)-x2=x-x2=-(x-)2+,所以y=f(x)-x2在(-∞ ,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,故B错误; y=x2f(x),其定义域为R,又(-x)2f(-x)=-x2f(x),所以y=x2f(x)是奇函数,任取0<x1<x2,则0<<,0<f(x1)<f(x2),故f(x1)<f(x2),所以y1-y2=f(x1) -f(x2)<0,则函数y=x2f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以函数y=x2f(x)在(-∞,0)上也单调递增,且当x=0时,y=x2f(x)=0, 所以y=x2f(x)在R上单调递增,故C正确; 不妨令f(x)=x,y===,x≠0,由反比例函数的单调性可知y=在 (-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,故D错误. 方法总结 确定函数单调性的方法:定义法、导数法、图象法和性质法. 跟踪训练 1.(多选)下列说法中,正确的是(　 　) A.函数y=-在(-∞,0)上单调递减 B.若f(x),g(x)都是R上的增函数,则h(x)=f(x)+g(x)也是R上的增函数 C.函数y=2|x+1|的单调递减区间是(-∞,-1) D.函数f(x)=的单调递增区间为(1,+∞) ABC 解析:在(-∞,0)上函数y=e-x与y=-都单调递减,所以y=e-x-在(-∞,0)上单调递减,故A正确; 两个增函数的和为增函数,故B正确; 作出函数y=2|x+1|的图象,如图所示, 由图象可知,函数y=2|x+1|的单调递减区间是(-∞,-1),故C正确; 由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得f(x)的单调递增区间为(-∞,1),故D错误. 考点二　利用定义证明函数的单调性 [例2]　讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性. [解]　设-1<x1<x2<1, 因为f(x)=a·=a(1+), 所以f(x1)-f(x2) =a(1+)-a(1+) =, 由于-1<x1<x2<1, 所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0, 故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减; 当a<0时,f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递增. 方法总结 利用定义法证明函数单调性的步骤 1.取值并规定大小:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2. 2.作差变形:作差f(x1)-f(x2)或f(x2)-f(x1),并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法,转化为易判断正负的关系式. 3.定号:确定f(x1)-f(x2)或f(x2)-f(x1)的符号,当符号不确定时,进行分类讨论. 4.结论:根据定义确定单调性. 跟踪训练 2.已知函数f(x)=,判断函数y=f(x)在区间[1,+∞)上的单调性,并根据定义证明. 解:f(x)在[1,+∞)上单调递减,证明如下: 任取x1,x2∈[1,+∞)且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=- ==. 因为x2>x1≥1,所以x2-x1>0,x1x2-1>0, 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故函数f(x)在[1,+∞)上单调递减. 考点三　求函数的单调区间 [例3]　(1)函数y=的单调递减区间是(　　) A.(-∞,1) B.(-∞,0) C.(1,+∞) D.(2,+∞) D [解析]　要使函数y=有意义,则x2-2x>0, 即x(x-2)>0,解得x<0或x>2,∴函数定义域为(-∞,0)∪(2,+∞). 令t=x2-2x,则y=(t>0),y=在(0,+∞)上单调递减, t=x2-2x图象的对称轴为x=1,开口向上, 在(-∞,0)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, 根据复合函数“同增异减”原则,可知y=的单调递减区间是(2,+∞). (2)函数g(x)=x|x-1|+1的单调递减区间为(　　) A.(-∞,) B.(,1) C.(1,+∞) D.(-∞,)∪(1,+∞) [解析]　g(x)=x|x-1|+1= 画出函数图象,如图可知,函数的单调递减区间为(,1). B 方法总结 1.求函数单调区间时,若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等,可以根据其单调性写出函数的单调区间,若函数不是上述函数且函数图象容易作出,可以作出其图象,根据图象写出其单调区间. 2.一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接两个单调区间,而要用“和”或“,”连接. 跟踪训练 3.函数y=x2-3|x|+1的单调递减区间为　 　　　.  解析:因为y=x2-3|x|+1= 由此画出函数y=x2-3|x|+1的图象如图所示, 由图可知,函数y=x2-3|x|+1的单调递减区间为(-∞,-),(0,). (-∞,-),(0,) 4.函数f(x)=的单调递增区间为　 　　　.  解析:f(x)===2-, 由2x+3≠0,得x≠-, 当x∈(-∞,-)时,y=单调递减,f(x)单调递增; 当x∈(-,+∞)时,y=单调递减,f(x)单调递增, 所以f(x)的单调增区间为(-∞,-),(-,+∞). (-∞,-),(-,+∞) $