第1章 第5节 一元二次函数与一元二次不等式-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“一元二次函数与一元二次不等式”核心考点，依据高考评价体系明确实根判断、实际情境抽象等考查要求，系统梳理二次函数与方程不等式关系、分式及绝对值不等式解法、恒成立条件等必备知识，归纳不含参数、含参数不等式解法及“三个二次”关系等高频题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“知识梳理+真题训练+方法总结”的实战策略，如例2含参数不等式通过二次项系数、判别式、根大小分类讨论，培养数学思维的推理能力，例3结合二次函数对称性分析解集提升解题技巧。帮助学生掌握分类讨论、数形结合等方法，教师可据此精准教学，助力高效备考。

第五节　一元二次函数与一元二次不等式 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.　2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识点一　集合的含义与表示 知识梳理 知识点一　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象 方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 _________________ {x|x≠-} R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 _________________ _______ _______ {x|x<x1,或x>x2} {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 知识点二　分式不等式 1.>0(<0)⇔ . 2.≥0(≤0)⇔ 且g(x)≠0. f(x)g(x)>0(<0) f(x)g(x)≥0(≤0) 知识点三　简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为 ,|x|<a(a>0)的解集为 . (-∞,-a)∪(a,+∞) (-a,a) 学用结论 两个恒成立的充要条件 1.一元二次不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔ 2.一元二次不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔ 自我评价 1.(北师大必修第一册P37例3改编)不等式(x+1) ·(3-2x)<0的解集为(　　) A.(-1,)　　　　　　　 B. (-∞,-1)∪(,+∞) C.(-,1) D.(-∞,-)∪(1,+∞) 解析:由(x+1)(3-2x)<0,得(x+1)·(2x-3)>0,解得x<-1或x>. B 2.已知集合A={x|x2≤25},B={x ≥0},则A∩B=(　　) A.(-∞,-5] B.[-5,-1) C.[-5,-1]∪[5,7) D.[-5,-1] 解析:因为x2≤25,所以集合A={x|-5≤x≤5}. 因为≥0,则解得x>7或x≤-1,所以集合B={x|x>7,或x≤-1},所以A∩B=[-5,-1]. D 3.已知不等式x2-ax-b<0的解集为(2,3),则a+b= .  解析:由题意知,方程x2-ax-b=0的解为x1=2,x2=3, 由根与系数的关系,得 所以a+b=5-6=-1. -1 4.若不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为 .  解析:当k=0时,满足题意; 当k≠0时, 解得-3<k<0. 综上所述,k的取值范围为(-3,0]. (-3,0] 关键能力　重点探究 考点一　不含参数的不等式的解法 [例1]　(多选)下列选项中,正确的是(　　) A.不等式-x2+2x-3>0的解集为(-1,3) B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2} C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.已知集合A={x|x-3>0},B={x|x2-3x+2>0},则A∩B= (3,+∞) BD [解析]　对于A,因为-x2+2x-3>0,所以x2-2x+3<0.因为(x-1)2+2<0无解,即原不等式的解集为⌀,故A错误. 对于B,因为-1≤0,即≤0,即(x+3)(x-2)≤0且x-2≠0,解得-3≤x<2,所以不等式的解集为{x|-3≤x<2},故B正确. 对于C,由|x-2|≥1,可得x-2≤-1或x-2≥1, 解得x≤1或x≥3,所以不等式的解集为{x|x≤1,或x≥3},故C错误. 对于D,A={x|x-3>0}={x|x>3}, B={x|x2-3x+2>0}={x|(x-2)(x-1)>0}={x|x>2,或x<1}, 所以A∩B={x|x>3}∩{x|x>2,或x<1}={x|x>3}=(3,+∞)故D正确. 解一元二次不等式的步骤 方法总结 1.不等式≥2是不等式4x2+4x+1≤0的(　　) A.充分不必要条件　　　 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B 跟踪训练 解析:因为≥2, 则-2=≥0, 等价于(1-2x)(x+2)≥0且x≠-2, 解得-2<x≤, 即不等式≥2的解集为. 因为4x2+4x+1=(2x+1)2, 所以4x2+4x+1≤0的解集为{-}. 因为-∈{x|-2<x≤},所以不等式≥2是不等式4x2+4x+1≤0的必要不充分条件. 考点二　含参数的不等式的解法 [例2]　解关于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0(a∈R). [解]　若a=0,则原不等式转化为-x+1<0,解得x>1. 若a<0,则原不等式转化为(x-)(x-1)>0,所以原不等式的解集为{x|x<,或x>1}. 若a>0,则原不等式转化为(x-)(x-1)<0,此时对应方程(x-)(x-1)=0的两个根为x1=,x2=1, 当=1,即a=1时,原不等式的解集为⌀; 当>1,即0<a<1时,原不等式的解集为{x|1<x<}; 当<1,即a>1时,原不等式的解集为{x|<x<1}. 综上所述,当a=0时,原不等式的解集为{x|x>1};当a<0时,原不等式的解集为;当0<a<1时,原不等式的解集为{x|1<x<};当a=1时,原不等式的解集为⌀;当a>1时,原不等式的解集为{x|<x<1}. 解含参数的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的分类有: 1.根据二次项系数为正、负或零进行分类. 2.根据判别式Δ与0的关系进行分类. 3.有两个根时,根据两根的大小进行分类. 方法总结 2.解下列关于x的不等式. (1)x2+ax+1<0; 解:函数y=x2+ax+1的图象开口向上,且Δ=a2-4, 当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时,x2+ax+1≥0恒成立,原不等式的解集为⌀; 当Δ=a2-4>0,即a<-2或a>2时,由x2+ax+1=0,可得x=, 跟踪训练 所以原不等式的解集为 . 综上,当-2≤a≤2时,原不等式的解集为⌀; 当a<-2或a>2时,原不等式的解集为 . (2)(x+a)(x-2a+1)<0. 解:由(x+a)(x-2a+1)=0得x=-a或x=2a-1. 当2a-1=-a,即a=时,原不等式的解集为⌀; 当2a-1>-a,即a>时,原不等式的解集为{x|-a<x<2a-1}; 当2a-1<-a,即a<时,原不等式的解集为{x|2a-1<x<-a}. 综上,当a=时,原不等式的解集为⌀; 当a>时,原不等式的解集为{x|-a<x<2a-1}; 当a<时,原不等式的解集为{x|2a-1<x<-a}. 考点三　三个二次的关系 [例3]　(1)(多选)(2026·福建福州模拟)已知关于x的不等式a(x-1)(x+3)-2>0的解集是(x1,x2),其中x1<x2,则下列结论正确的是(　　) A.x1+x2+2=0 B.-3<x1<x2<1 C.|x1-x2|>4 D.x1x2+3<0 AB [解析]　法一:由题意可得,a<0,a(x-1)(x+3)-2=a(x-x1)(x-x2),ax2+2ax-3a-2=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2,则即x1+x2+2=0,x1x2+3=->0,故A正确,D错误;令a(x-1)(x+3)=0,则其根为x3=-3,x4=1,结合二次函数的性质可得,-3<x1<x2<1,则0<x2-x1<1-(-3)=4,即|x1-x2|<4,故B正确,C错误. 法二:设y1=a(x-1)(x+3),y2=a(x-1)(x+3)-2, 则函数y2的图象由y1的图象向下平移2个单位长度得到,且a<0,开口向下. 如图,y1,y2的图象都关于x=-1对称, ∴=-1, ∴x1+x2+2=0,-3<x1<x2<1,故A,B正确; 显然|x1-x2|<4, 当x2<0时,x1<0, ∴x1x2+3>0, 当x2>0时,|x1x2|<3,即-x1x2<3, ∴x1x2+3>0,故C,D错误. (2)若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-2,4),则不等式≤0的解集为 .  [解析]　因为ax2+bx+c>0的解集为(-2,4),则a<0,且对应方程的根为-2和4, 所以-=-2+4=2,=-2×4=-8,且a<0,则b=-2a,c=-8a, 不等式≤0可化为≤0,则≤0,即≤0,即(x-8)(x-4)≥0且4-x≠0,解得x<4或x≥8. (-∞,4)∪[8,+∞) 已知一元二次不等式的解集,就能够得到相应的一元二次方程的两根,由根与系数的关系,可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负. 方法总结 3.若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2},且x2-x1=15,则a的值为 .  解析:由题知x1,x2是一元二次方程x2-2ax-8a2=0(a>0)的两个实数根, 所以Δ=4a2+32a2=36a2>0,且x1+x2=2a,x1x2=-8a2. 又因为x2-x1=15, 所以152=(x1+x2)2-4x1x2=4a2+32a2=36a2. 又a>0,解得a=. 跟踪训练 $