第1章 第3节 等式性质与不等式性质-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“等式性质与不等式性质”专题，依据高考评价体系梳理了等式性质掌握、数式大小比较、不等式性质应用三大考查要求，明确比较大小和不等式性质为高频考点，归纳数式比较、性质判断、取值范围等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题改编训练+方法体系构建+核心素养培养”，如以屏占比问题为例，通过作差法和构造函数法突破比较大小考点，培养运算能力与模型意识。含易错点分析及题型训练，助力学生掌握答题技巧，教师可据此系统指导复习，提升备考效率。

第三节　等式性质与不等式性质 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1.掌握等式性质.　2.会比较两个数的大小.　3.掌握不等式的性质,并能简单应用. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识点一　集合的含义与表示 知识梳理 知识点一　两个实数比较大小的方法 知识点二　不等式性质 1．如果a>b，且b>c，那么a>c. 2．如果a>b，那么a＋c>b＋c. 3．(1)如果a>b，c>0，那么ac>bc； (2)如果a>b，c<0，那么ac<bc. 4．如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. 5．(1)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd； (2)如果a>b>0，c<d<0，那么ac<bd. 学用结论 1.倒数性质 (1)a>b,ab>0⇒<. (2)a<b<0⇒>. 2.分数的性质(a>b>0,m>0) (1)真分数的性质: <<(b-m>0). (2)假分数的性质: <<(b-m>0). 自我评价 1.(北师大必修第一册P24例1改编)设A=m(m+2),B=(m+1)2,则下列不等式一定成立的是(　　) A.A≥B　　　　　　　　 B.A>B C.A≤B D.A<B 解析:因为A-B=m(m+2)-(m+1)2=(m2+2m)-(m2+2m+1)=-1<0,所以A<B. D 2.(北师大必修第一册P30A组T1改编)下列命题为真命题的是(　　) A.若a>b>0,则ac2>bc2 B.若a>b>0,则a2>b2 C.若a<b<0,则a2<ab<b2 D.若a<b<0,则< 解析:对于A,当c2=0时不成立,故A错误;对于B,因为a>b>0,所以a2-b2= (a+b)(a-b)>0,所以a2>b2,故B正确;对于C,因为a<b<0,所以a2>ab>b2,故C错误;对于D,因为a<b<0,所以>,故D错误. B 3.已知b克糖水中有a克糖(b>a>0),再添加m克水(m>0),糖水变淡了.下列式子可以说明这一事实的是(　　) A.< B.> C.< D.< 解析:向糖水溶液中加入m克水,糖水的浓度变为,此时浓度变小,糖水变淡,即<. A 4.已知2<a<3,-2<b<-1,则a+2b的取值范围为 .  解析: 因为-2<b<-1,所以-4<2b<-2.又2<a<3,所以-2<a+2b<1. (-2,1) 关键能力　重点探究 考点一　比较数(式)的大小 [例1]　(1)若正实数a,b,c满足c<cb<ca<1,则(　　) A.aa<ab<ba　　　　　　 B.aa<ba<ab C.ab<aa<ba D.ab<ba<aa C [解析]　∵c是正实数,且c<1,∴0<c<1, 由c<cb<ca<1,得0<a<b<1. ∵=aa-b>1,∴ab<aa. ∵=,0<<1,a>0, ∴<1,即aa<ba. 综上可知,ab<aa<ba. (2)手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中一个重要参数,其值通常在(0,1)之间.设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量,升级为一款新的手机外观,则该手机“屏占比”和升级前比(　　) A.不变 B.变小 C.变大 D.变化不确定 C [解析]　设原来手机屏幕面积为b,整机面积为a, 则“屏占比”为(a>b>0),设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为m(m>0),升级后“屏占比”为.∵a>b>0, ∴-==>0, 即该手机“屏占比”和升级前比变大. (3)若a=,b=,则a与b的大小关系是 .(用“>”连接)   a>b  [解析]　法一(作商法):因为a=>0,b=>0,所以=×===log89>1,所以a>b. 法二(作差法):a-b=-=(2ln 3-3ln 2)=(ln 9-ln 8)>0,即a>b. 法三(构造法):由题意,构造函数f(x)=(x≥3). 因为f'(x)=<0, 所以f(x)在[3,+∞)上单调递减, 所以f(3)>f(4), 所以>=, 所以a>b. 比较大小的常用方法 1.作差法:(1)作差;(2)变形;(3)定号;(4)得出结论. 2.作商法:(1)作商;(2)变形;(3)判断商与1的大小关系;(4)得出结论. 3.构造法:构造函数,利用函数的单调性比较大小. 方法总结 1.若a<0,b<0,则p=+与q=a+b的大小关系为(　　) A.p<q　　　　　　　　 B.p≤q C.p>q D.p≥q 解析:根据题意,得p-q=+-a-b=+=(b2-a2)·(-)==.因为a<0,b<0,所以a+b<0,ab>0.若a=b,则p-q=0,此时p=q;若a≠b,则p-q<0,此时p<q.综上所述,p≤q. B 跟踪训练 2.已知M=,N=,则M,N的大小关系为 .   M>N 解析:法一:M-N=- = = =>0. ∴M>N. 法二:令f(x)= ==+, 显然f(x)是R上的减函数, ∴f(2 025)>f(2 026),即M>N. 考点二　不等式的性质 [例2]　(多选)对于实数a,b,c,下列命题正确的是(　　 ) A.若a>b,则ac<bc B.若a<b<0,则a2>ab>b2 C.若c>a>b>0,则> D.若a>b,>,则a>0,b<0 BCD [解析]　若c>0,则由a>b得ac>bc,A错误;若a<b<0,则a2>ab>b2,B正确;若c>a>b>0,则c-b>c-a>0,∴>>0, ∴>,C正确;若a>b,且a,b同号,则有<,因此由a>b,>得a>0,b<0,D正确. 3.设a,b,c,d为实数,且c<d,则“a<b”是“a-c<b-d”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B 跟踪训练 解析:由a<b不能推出a-c<b-d,如a=2,b=3,c=0,d=1, 满足a<b,但是a-c=b-d,故充分性不成立; 当a-c<b-d时,由c<d,可得a-c+c<b-d+d,即a<b,故必要性成立, 综上“a<b”是“a-c<b-d”的必要不充分条件. 4.(多选)已知a,b,c,d均为实数,则下列说法正确的是(　　) A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若ab>0,bc-ad>0,则->0 C.若a>b,c>d,则a-d>b-c D.若a>b,c>d>0,则> BC 解析:若a>0>b,0>c>d,则ac<0<bd,故A错误;若ab>0,bc-ad>0,则>0,化简得->0,故B正确;若c>d,则-d>-c,又a>b,所以a-d>b-c,故C正确;取a=-1, b=-2,c=2,d=1,则=-1,=-1,=,故D错误. 考点三　不等式性质的应用 [例3]　(1)(多选)已知1≤a≤2,3≤b≤5,则(　　) A.a+b的取值范围为[4,7] B.b-a的取值范围为[2,3] C.ab的取值范围为[3,10] D.的取值范围为 AC [解析]　因为1≤a≤2,3≤b≤5, 所以4≤a+b≤7,-2≤-a≤-1,1≤b-a≤4, 所以a+b的取值范围为[4,7],b-a的取值范围为[1,4],故A正确,B错误; 因为1≤a≤2,3≤b≤5, 所以3≤ab≤10,≤≤,≤≤, 所以ab的取值范围为[3,10],,故C正确,D错误. (2)已知-1<x+y<4,2<x-y<3,则z=2x-3y的取值范围是 .   (3,8) [解析]　设2x-3y=λ(x+y)+μ(x-y), 则2x-3y=(λ+μ)x+(λ-μ)y, ∴ ∴2x-3y=-(x+y)+(x-y). 由-1<x+y<4得-2<-(x+y)<, 由2<x-y<3得5<(x-y)<, ∴3<2x-3y<8. 利用不等式性质求代数式取值范围的注意点 一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,再通过“一次性”不等关系的运算求解取值范围. 方法总结 5.(2026·重庆质检)已知π<α+β<,-π<α-β<-,那么2α-β的取值范围是 .  （-π,） 跟踪训练 解析:设2α-β=m(α+β)+n(α-β),则 所以2α-β=(α+β)+(α-β).因为π<α+β<,-π<α-β<-,所以<(α+β)<,-<(α-β)<-,所以-π<(α+β)+(α-β)<,即-π<2α-β<,所以2α-β的取值范围是(-π,). 1.作差法 2.作商法 6．当a>b>0时，>，其中n∈N＋，n≥2. $