26.2.2 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质（讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质，梳理从y=ax²到y=ax²+k、y=a(x-h)²再到顶点式的递进脉络，构建从基础图象绘制、性质分析到平移规律应用的学习支架。 资料以考点突破为基础，题型探究为核心，分层通关为延伸，通过例题与变式训练培养学生几何直观（数学眼光）、推理能力（数学思维），如平移规律应用和待定系数法题型，助力教师授课，学生课后可分层练习查漏补缺。

26.2.2 y=a(x-h)²+k的图象和性质 目录 Part1考点突破 考点1：二次函数y=a(x-h)²+k的图象 考点2：二次函数y=a(x-h)²+k的性质 考点3：顶点式的应用与平移规律 Part2 题型探究 题型1：y=ax²+k的图象和性质 题型2：y=a(x-h)²的图象和性质 题型3：y=a(x-h)²+k的图象和性质 题型4：二次函数图象的平移规律 题型5：待定系数法求解析式 题型6：与几何的综合问题 Part3 分层通关 【考点1：二次函数y=a(x-h)²+k的图象】 1、平移法画图象 二次函数的图象可由抛物线经过平移得到：①先将左右平移得到，当时向右平移个单位，当时向左平移个单位，简记为"左加右减"；②再将上下平移得到，当时向上平移个单位，当时向下平移个单位，简记为"上加下减"。 2、图象特征 二次函数的图象是一条抛物线，对称轴为直线，顶点坐标为。 当时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是最高点。越大，开口越小；越小，开口越大。 【考点2：二次函数y=a(x-h)²+k的性质】 1、增减性 当时，在对称轴左侧（），随的增大而减小；在对称轴右侧（），随的增大而增大。 当时，在对称轴左侧（），随的增大而增大；在对称轴右侧（），随的增大而减小。 2、最值 当时，时，有最小值；当时，时，有最大值。 3、顶点式 形如（）的二次函数叫做顶点式，可直接读出顶点和对称轴。 【考点3：顶点式的应用与平移规律】 1、待定系数法求解析式 已知抛物线的顶点时，可设顶点式，再将图象上另一个已知点的坐标代入，求出的值，即可确定函数解析式。 2、平移规律的应用 抛物线的平移遵循"左加右减，上加下减"的规律：左右平移改变自变量x（左加右减），上下平移改变常数项（上加下减）。平移不改变抛物线的形状和开口方向，即二次项系数a不变。已知平移前后的顶点坐标，可直接判断平移方向和距离。 3、函数值大小比较 比较顶点式抛物线上两点函数值的大小：①先确定开口方向和对称轴x=h；②当a>0时，点到对称轴的距离越远，函数值越大；当a<0时，点到对称轴的距离越远，函数值越小；③也可直接代入计算或利用对称性转化。 【题型1：y=ax²+k的图象和性质】 【例1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的判断，二次函数的图象形状由二次项系数和顶点坐标决定． 先根据解析式确定抛物线的开口方向，再计算顶点坐标，即可确定函数图象的大致位置． 【详解】解：二次函数中，， 二次项系数， 该二次函数的图象开口向下， ，， 该二次函数的顶点坐标为， 选项符合题意． 故选：． 【变式1】关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ） A．其图象开口向上 B．其图象的对称轴是直线 C．其最大值为1 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数性质，由解析式判断出开口方向、对称轴、最值及增减性，即可得解． 【详解】解：∵ ， ∴ ，开口向下； 对称轴 为直线； 最大值为 ； ∵ ， ∴当 时，y 随 x 增大而减小，故当 时，y 随 x 增大而减小； ∴选项D正确， 故选：D． 【变式2】下列关于二次函数的图象性质说法不正确的是（   ） A．因为，所以抛物线开口向上 B．当时，函数有最大值1 C．当时，函数随的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标是 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数性质，时开口向上，顶点为最小值点；对称轴为直线，当时函数递增；顶点坐标可直接由解析式得出，然后问题可求解． 【详解】解：∵二次函数，， ∴抛物线开口向上，A正确； 当时，，因为，顶点为最小值点，故B错误； 对称轴为直线，，当时，y随x增大而增大，C正确； 顶点坐标为，D正确； 故选B． 【变式3】函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数之间的关系，根据二次函数的开口方向和与y轴的交点位置分别判定a的符号，以及对称轴是y轴，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：函数的对称轴为y轴， A、抛物线开口向上，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者不一致，不符合题意； B、抛物线开口向上，则，与y轴交于负半轴，则，即，但是对称轴不是y轴，不符合题意； C、抛物线开口向下，则，与y轴交于负半轴，则，即，二者不一致，不符合题意； D、抛物线开口向下，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者一致，且对称轴是y轴，符合题意； 故选：D． 【题型2：y=a(x-h)²的图象和性质】 【例2】二次函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，关键是利用顶点式快速确定顶点坐标和开口方向，再通过这两个核心要素筛选选项．熟练掌握二次函数顶点式的结构是解题的关键． 【详解】解：二次函数的顶点式为 ，其中顶点坐标为， 二次函数的顶点坐标为， ， 二次函数图像开口向下，   结合顶点坐标和开口向下的特征，只有选项B的图象满足． 故选：B． 【变式1】下列函数的图象中，与的函数图象形状一致的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的形状由二次项系数决定，系数的绝对值相同则形状一致，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，与的函数图象形状一致的二次函数的二次项系数的绝对值要为3， ∴四个选项中，只有A选项中的函数符合题意， 故选：A． 【变式2】关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．当时，函数值最小 D．将抛物线向左平移1个单位长度得到 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质． 抛物线的二次项系数为正，开口向上，顶点为是最小值点；向左平移1个单位得；当时，随增大而增大． 【详解】解：∵中， ∴开口向上，A正确； ∵ ∴顶点坐标为， ∴当时，取最小值，C正确； 将抛物线向左平移1个单位，替换为， 得，D正确； 当时，，且随增大而增大，随增大而增大，故B错误． 故选：B． 【变式3】在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数y=a（x-h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，即可解答． 【详解】二次函数（）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上， 故选D． 【题型3：y=a(x-h)²+k的图象和性质】 【例3】二次函数（a、h为常数，）的部分与的对应值如下表： x … 1 2 3 4 … y … 7 4 … 则关于该二次函数的说法不正确的是（ ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴为 C．当时，的值随值的增大而减小 D．当时， 【答案】C 【分析】根据表格给出的值代入二次函数顶点式，求出和的值，得到完整解析式，再根据二次函数的图象与性质逐一判断各选项，找出说法错误的选项． 【详解】解：已知二次函数解析式为由表格可知，当时，；当时，，将两组值代入解析式得， 解得：， ∴该二次函数解析式为， ∵， ∴图象开口向下，选项A正确； 由顶点式可知，图象的对称轴为直线，选项B正确； ∵开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，因此“当时，的值随值的增大而减小”的说法错误，选项C不正确； 当时，，选项D正确． 【变式1】已知二次函数，其顶点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标，利用二次函数顶点式的性质即可直接求解． 【详解】解：二次函数顶点式的形式为，其顶点坐标为． ∵已知二次函数为，对比顶点式可得， ∴该二次函数的顶点坐标为． 【变式2】对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据二次函数顶点式的性质，确定开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性即可． 【详解】解：∵抛物线为， ∴，，. ①∵，∴开口向下，正确； ②对称轴为直线，正确； ③顶点坐标为，即，正确； ④∵，开口向下，∴当时，随增大而减小，正确. ∴所有结论均正确，共4个. 故选：D． 【变式3】对于抛物线，以下说法正确的是（ ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 【题型4：二次函数图象的平移规律】 【例4】将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的规律即可求得答案． 【详解】解：将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是． 【变式1】将抛物线向左平移2个单位后，所得到的新抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位后，所得到的新抛物线， ∴新抛物线的顶点坐标是． 【变式2】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变． 【详解】解：∵ ， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即新顶点坐标为， ∵抛物线平移后二次项系数不变， ∴平移后抛物线的解析式为． 【变式3】将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是， 故选：A． 【题型5：待定系数法求解析式】 【例5】已知抛物线的对称轴为直线，且过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式，根据抛物线的对称轴为直线，得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， ， 抛物线解析式为， 抛物线经过， ， 解得， 抛物线解析式为． 【变式1】已知抛物线经过点，解答下列问题： (1)求此抛物线的解析式； (2)填空： ①此抛物线的开口 ；顶点坐标是 ；对称轴是 ； ②当x 时，y 随 x 的增大而减小； ③当x 时，函数有最 值为 ； 【答案】(1)此抛物线的解析式为 (2)①向上；；；②；③，小， 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数图像和性质，掌握这些知识是解题的关键； （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据二次函数图像和性质即可得出． 【详解】（1）解：把代入解析式得： ， 解得， ∴此抛物线的解析式为：； （2）①∵， ∴所以此抛物线开口向上； ∵顶点为，对称轴为， ∴此抛物线顶点坐标是；对称轴是； ②∵此抛物线开口向上，对称轴是， ∴当时，y 随 x 的增大而减小； ③∵，顶点坐标是， ∴当 时，函数有最小值为； 故答案为：①向上；；；②；③，小，． 【变式2】如图，抛物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式； (2)求抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)顶点为，对称轴为直线 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是正确求出函数解析式． （1）由待定系数法，将、代入抛物线表达式解方程组即可得到答案； （2）先将一般式化为顶点式，即可求解对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：抛物线过、， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：， ∴顶点为，对称轴为直线． 【变式3】如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)若点在该抛物线上，求t的值． (3)请在第二象限中的抛物线上找一点C，使的面积等于面积的2倍． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据一次函数解析式求出点和点的坐标，代入抛物线解析式即可解题； （2）将点代入抛物线解析式即可； （3）过点作轴交于点，根据计算． 【详解】（1）解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， 当时，；当时，； ∴，， ∵抛物线的顶点为A， ∴抛物线的解析式为， 代入，可得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：由题意知，， 解得或； （3）解：由题意知，， 如图，过点作轴交于点， 设，则，有， ∴ ， ∴， 即， ， 解得（正值舍去）， ∴． 【题型6：与几何的综合问题】 【例6】如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）根据二次函数的性质解答即可； （2）设点的坐标为，根据抛物线的对称性可求出点的坐标，再由，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴点， 当时，， ∴点； （2）设点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点为点关于对称轴对称的点，点， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵点在抛物线上，将代入抛物线得， ， 解得：， ∵在第一象限内， ∴， ∴点的坐标为． 【变式1】当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质与图象的轴对称变换，得出两条关于轴对称的抛物线开口大小方向一致，顶点关于轴对称，先求出的顶点坐标，再得到对称顶点，对应得到和的值，即可计算出结果 【详解】解：抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线， 二者开口大小方向一致，顶点坐标关于轴对称， 对配方得 ， 的顶点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标为，即的顶点坐标为， 又的顶点式为，其顶点坐标为， ，， 【变式2】若抛物线向右平移2个单位，所得的抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像的平移，二次函数的图像和性质，第一象限内点的坐标特征． 根据平移规律可得平移后的抛物线的解析式，从而可得平移后的顶点坐标，由第一象限内的点的坐标特征，列不等式组，求解即可． 【详解】解：抛物线向右平移2个单位，所得的抛物线为， 平移后的顶点坐标为， 根据题意可得， 解得， ∴的取值范围是． 故选：B． 【变式3】九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． (1)函数的自变量x的取值范围是____________； (2)①列表：如表是x，y的几组对应值，其中____________，____________； x … 0 1 2 3 4 … y … 9 0 m 3 n 0 9 … ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整； (3)请观察函数图象，当y随x的增大而增大时，x的取值范围为____________． (4)若点，均在该函数图象上，且，则p与q的大小关系是____________． 【答案】(1)全体实数 (2)①，；②图象见详解；③图象见详解 (3)或 (4) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据函数解析式可直接进行求解； （2）把或代入函数解析式进行求解即可；②根据描点可进行作图；③根据描点、连线可进行作图； （3）根据函数图象可直接进行求解； （4）由图象易得点A、B在之间的函数图象上，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由可知：自变量为全体实数； 故答案为全体实数； （2）解：①当时，则有； 当时，则有； 故答案为，； ②所描点，如图所示； ③所作函数图象如图所示： （3）解：由（2）中函数图象可知：当y随x的增大而增大时，x的取值范围为或； 故答案为或； （4）解：∵点，均在该函数图象上，且， ∴根据（2）中函数图象可知：点A、B在之间的函数图象上， 由图象可知在之间的函数图象开口向下，对称轴为直线， ∴根据开口向下，离对称轴越近，其对应的函数值也就越大， ∴当时，p与q的大小关系是； 故答案为． 【基础通关练】 1．已知二次函数（其中a是常数，且），下列叙述中正确的是（ ） A．当时，二次函数图象开口向下 B．二次函数图象与y轴的交点的坐标为 C．顶点坐标是 D．当时，顶点是二次函数图象的最低点 【答案】C 【分析】二次项系数大于0，则函数图象开口向上，二次项系数小于0，则函数图象开口向下，且函数图象有最高点，据此可判断A、D；求出时，y的值可判断B；根据解析式可得顶点的坐标，则可判断C． 【详解】解：A、当时，二次函数图象开口向上，原说法错误，不符合题意； B、当时，，则二次函数图象与y轴的交点的坐标为， ∵， ∴， ∴二次函数图象与y轴的交点的坐标不是，原说法错误，不符合题意； C、由解析式可得顶点坐标为，原说法正确，符合题意； D、当时，顶点是二次函数图象的最高点，原说法错误，不符合题意； 2．若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象性质，根据抛物线不经过三四象限的条件，分析开口方向与顶点位置，即可确定、的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的图象不经过第三、四象限， ∴抛物线开口向上，且顶点在轴非负半轴上，即，， 故选：D． 3．把二次函数的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位可得抛物线的表达式为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的平移规律，涉及知识点：二次函数图象平移的“左加右减、上加下减”法则．根据平移方向，对函数表达式中的自变量和常数项进行相应变换；解题关键是准确应用平移法则，易错点是混淆“左加右减”的操作对象（是对自变量x进行加减）．解题思路：先按“左加”处理向左平移1个单位，再按“下减”处理向下平移2个单位，得到新的抛物线表达式． 【详解】解：∵将二次函数向左平移1个单位，得； 再向下平移2个单位，得． ∴平移后的表达式为， 故选：B． 4．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及开口方向．根据二次函数的性质，由二次函数得到其顶点坐标与开口方向； 然后根据顶点坐标与开口方向，判定出函数图象即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上， 又∵， ∴开口向上． 故选：D． 5．若点、是函数上的两点，若且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据已知条件判断点A和点B到对称轴的距离大小，根据二次函数的性质比较和的大小． 【详解】解：对于二次函数， ， 抛物线开口向上，对称轴为轴（即直线），开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，点到轴的距离为横坐标的绝对值，因此比较与的大小， ，， ， 当时，，可得，即； 当时，，可得，即， 综上可得，即点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，又抛物线开口向上，故． 6．若，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________（请按从小到大的顺序排列）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 通过计算二次函数在各点的函数值，比较，，的大小． 【详解】解：对于点，， 对于点，， 对于点，， ∴． 故答案为：． 【提升通关练】 1．k为任意实数，抛物线的顶点总在（） A．直线上 B．直线上 C．x轴上 D．y轴上 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数顶点的求法和一次函数的性质是解题的关键． 求出抛物线的顶点为，可以得到顶点在直线上． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， ∵为任意实数， ∴顶点坐标满足， ∴顶点总在直线上． 故选：B 2．现有一组抛物线：，…，则这组抛物线的顶点都在（   ） A．直线上 B．直线上 C．抛物线上 D．抛物线上 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的顶点及一次函数的性质，设这组抛物线的顶点为，再代入各个选项一一判断即可． 【详解】解：由题意可设这组抛物线的顶点为， A、将代入中，得，顶点在直线上，本选项符合题意； B、将代入中，得，顶点不在直线上，本选项不符合题意； C、将代入中，得，顶点不在抛物线上，本选项不符合题意； D、将代入中，得，顶点不在抛物线上，本选项不符合题意； 故选：A 3．若二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，由二次函数的解析式可知二次函数开口向下，对称轴为直线，在对称轴左侧随增大而增大，要求当时随增大而增大，故需对称轴在直线右侧或重合，即． 【详解】解： 二次函数中， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随增大而增大， 当时，随的增大而增大， ． 故选：A． 4．若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的开口方向与对称轴，结合增减性确定对称轴的位置． 先判断二次函数的开口方向，确定其增减性与对称轴的关系；再根据“时随 增大而减小”的条件，得出对称轴与的位置关系，进而求出的取值范围． 【详解】解：二次函数，其二次项系数，故抛物线开口向上． ∵开口向上的二次函数，在对称轴左侧随的增大而减小，且该函数的对称轴为， 又∵当时，随的增大而减小， ∴对称轴需满足． 故选：C． 5．抛物线与抛物线的开口方向和开口大小相同，则__． 【答案】2 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向和开口大小由的值决定是解题的关键． 根据二次函数的性质，开口方向由二次项系数的正负决定，开口大小由二次项系数的绝对值决定．由于两抛物线开口方向和大小相同，故二次项系数相等． 【详解】解：∵抛物线 与抛物线 的开口方向和开口大小相同， ∴． 故答案为 ：2． 6．当时，二次函数的最大值为8，则______． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的求值．先计算二次函数的对称轴为直线，然后分两种情况进行分类讨论求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线， 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ； 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ． 故答案为：或． 7．已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据点在抛物线上得到与的表达式，对和作差，结合已知条件和判断差的符号，即可比较和的大小． 【详解】解：∵，是抛物线上的两点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 8．当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 【答案】2或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，最大值可能出现在顶点或区间端点，需结合对称轴位置与的关系分类讨论． 【详解】函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，最大值在顶点处，则， 解得或（舍去）， ； 当时，在时，随的增大而减小， 最大值在处取得，即， 解得，且，符合条件； 当时，在时，随的增大而增大， 最大值在处取得，即， 解得，但，不符合，故舍去； 因此的值为或． 9．确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) 抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标； (2)抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标； (3)抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标； (4)抛物线的开口向下，对称轴为直线（轴），顶点坐标； (5)抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标； (6)抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标． 【分析】将抛物线解析式化为顶点式即可解答． 【详解】（1）解：，且， 则抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：，且， 则抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：，且， 则抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （4）解：，且， 则抛物线的开口向下，对称轴为直线（轴），顶点坐标为； （5）解：，且， 则抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （6）解：，且， 则抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 10．将抛物线向下平移1个单位，再向右平移4个单位，求所得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题先将原抛物线配方化为顶点式，再利用抛物线平移的规律“左加右减自变量，上加下减常数项”得到平移后抛物线的顶点式，根据二次项系数判断开口方向，从顶点式直接得到对称轴和顶点坐标． 【详解】解：先将原抛物线配方化为顶点式： 抛物线平移不改变二次项系数，因此平移后二次项系数仍为，开口方向向下． 根据平移规则，向下平移1个单位，再向右平移4个单位后，顶点坐标变化为：横坐标，纵坐标，即新顶点坐标为． 平移后抛物线的顶点式为，可得对称轴为直线． 因此所得抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 11．如图，点在抛物线上，且在抛物线C的对称轴的右侧． (1)写出抛物线C的对称轴和y的最大值，并求m的值． (2)在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数表达式恰为．求点移动的最短路程． 【答案】(1)对称轴为直线，y的最大值为4， (2) 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的性质以及平移的方法是解题的关键． （1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）根据顶点坐标，得出抛物线是向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，然后即可求出点移动的最短路程． 【详解】（1）解：拋物线， 抛物线C的对称轴为直线，y的最大值为4． 将代入，得， 解得，． 点P在抛物线C的对称轴的右侧， ， ． （2）解：平移后的抛物线的表达式为， 平移后抛物线的顶点坐标为． 平移前抛物线的顶点坐标为， 胶片的平移过程为先向左平移3个单位，再向下平移4个单位， 点移动的最短路程为． 【培优通关练】 1．要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 【答案】A 【分析】主要考查了函数图象的平移，抛物线的顶点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据抛物线顶点的变换规律得到正确的选项 【详解】解：抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是， 所以将顶点向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到顶点， 即将函数的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到函数的图象． 故选：A． 2．已知二次函数经过点，若，则下列说法正确的为（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】根据解析式可得对称轴，当时，函数图象开口向上，离对称轴越远，函数值越大，当时，函数图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，据此根据讨论求解即可． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，则函数图象开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵二次函数经过点，， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时，则函数图象开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵二次函数经过点，， ∴， ∴， ∴， 解得． 3．抛物线，当时，随增大而增大，则的取值范围是___________． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于的不等式，求解即可得答案．根据二次函数解析式得出对称轴为是解题关键． 【详解】解：∵抛物线解析式为， 且二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴右侧随增大而增大， ∵当时，随增大而增大， ∴， 解得：， 即的取值范围是． 故答案为：． 4．已知抛物线（a，b，c为常数，，）的顶点为P，与y轴交于点C，O为坐标原点． (1)当，，时，则该抛物线顶点P的坐标为________； (2)若．M是抛物线上第一象限内一点，设，，且，求c的值 【答案】(1) (2)1； 【分析】（1）将，，代入，把抛物线化为顶点式即可； （2）过M点作轴于点N，过P点作轴于点E，先证，进而得到，再代入抛物线求解； 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∴该抛物线顶点P的坐标为； （2）解：如图1，过M点作轴于点N，过P点作轴于点E． ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴P点坐标为， ∵P为抛物线的顶点， ∴P点坐标为， ∴， ∴M点坐标为， 将，代入，得： ， 解得：， ∴c的值为1； 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.2 y=a(x-h)²+k的图象和性质 目录 Part1考点突破 考点1：二次函数y=a(x-h)²+k的图象 考点2：二次函数y=a(x-h)²+k的性质 考点3：顶点式的应用与平移规律 Part2 题型探究 题型1：y=ax²+k的图象和性质 题型2：y=a(x-h)²的图象和性质 题型3：y=a(x-h)²+k的图象和性质 题型4：二次函数图象的平移规律 题型5：待定系数法求解析式 题型6：与几何的综合问题 Part3 分层通关 【考点1：二次函数y=a(x-h)²+k的图象】 1、平移法画图象 二次函数的图象可由抛物线经过平移得到：①先将左右平移得到，当时向右平移个单位，当时向左平移个单位，简记为"左加右减"；②再将上下平移得到，当时向上平移个单位，当时向下平移个单位，简记为"上加下减"。 2、图象特征 二次函数的图象是一条抛物线，对称轴为直线，顶点坐标为。 当时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是最高点。越大，开口越小；越小，开口越大。 【考点2：二次函数y=a(x-h)²+k的性质】 1、增减性 当时，在对称轴左侧（），随的增大而减小；在对称轴右侧（），随的增大而增大。 当时，在对称轴左侧（），随的增大而增大；在对称轴右侧（），随的增大而减小。 2、最值 当时，时，有最小值；当时，时，有最大值。 3、顶点式 形如（）的二次函数叫做顶点式，可直接读出顶点和对称轴。 【考点3：顶点式的应用与平移规律】 1、待定系数法求解析式 已知抛物线的顶点时，可设顶点式，再将图象上另一个已知点的坐标代入，求出的值，即可确定函数解析式。 2、平移规律的应用 抛物线的平移遵循"左加右减，上加下减"的规律：左右平移改变自变量x（左加右减），上下平移改变常数项（上加下减）。平移不改变抛物线的形状和开口方向，即二次项系数a不变。已知平移前后的顶点坐标，可直接判断平移方向和距离。 3、函数值大小比较 比较顶点式抛物线上两点函数值的大小：①先确定开口方向和对称轴x=h；②当a>0时，点到对称轴的距离越远，函数值越大；当a<0时，点到对称轴的距离越远，函数值越小；③也可直接代入计算或利用对称性转化。 【题型1：y=ax²+k的图象和性质】 【例1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【变式1】关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ） A．其图象开口向上 B．其图象的对称轴是直线 C．其最大值为1 D．当时，随的增大而减小 【变式2】下列关于二次函数的图象性质说法不正确的是（   ） A．因为，所以抛物线开口向上 B．当时，函数有最大值1 C．当时，函数随的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标是 【变式3】函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【题型2：y=a(x-h)²的图象和性质】 【例2】二次函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【变式1】下列函数的图象中，与的函数图象形状一致的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．当时，函数值最小 D．将抛物线向左平移1个单位长度得到 【变式3】在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【题型3：y=a(x-h)²+k的图象和性质】 【例3】二次函数（a、h为常数，）的部分与的对应值如下表： x … 1 2 3 4 … y … 7 4 … 则关于该二次函数的说法不正确的是（ ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴为 C．当时，的值随值的增大而减小 D．当时， 【变式1】已知二次函数，其顶点坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式2】对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】对于抛物线，以下说法正确的是（ ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【题型4：二次函数图象的平移规律】 【例4】将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 【变式1】将抛物线向左平移2个单位后，所得到的新抛物线的顶点坐标是_____． 【变式2】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【变式3】将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A． B． C． D． 【题型5：待定系数法求解析式】 【例5】已知抛物线的对称轴为直线，且过点，求抛物线的解析式． 【变式1】已知抛物线经过点，解答下列问题： (1)求此抛物线的解析式； (2)填空： ①此抛物线的开口 ；顶点坐标是 ；对称轴是 ； ②当x 时，y 随 x 的增大而减小； ③当x 时，函数有最 值为 ； 【变式2】如图，抛物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式； (2)求抛物线的对称轴和顶点坐标． 【变式3】如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)若点在该抛物线上，求t的值． (3)请在第二象限中的抛物线上找一点C，使的面积等于面积的2倍． 【题型6：与几何的综合问题】 【例6】如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 【变式1】当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 【变式2】若抛物线向右平移2个单位，所得的抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3】九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． (1)函数的自变量x的取值范围是____________； (2)①列表：如表是x，y的几组对应值，其中____________，____________； x … 0 1 2 3 4 … y … 9 0 m 3 n 0 9 … ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整； (3)请观察函数图象，当y随x的增大而增大时，x的取值范围为____________． (4)若点，均在该函数图象上，且，则p与q的大小关系是____________． 【基础通关练】 1．已知二次函数（其中a是常数，且），下列叙述中正确的是（ ） A．当时，二次函数图象开口向下 B．二次函数图象与y轴的交点的坐标为 C．顶点坐标是 D．当时，顶点是二次函数图象的最低点 2．若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．把二次函数的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位可得抛物线的表达式为（） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B． C． D． 5．若点、是函数上的两点，若且，则________．（填“”、“”或“”） 6．若，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________（请按从小到大的顺序排列）． 【提升通关练】 1．k为任意实数，抛物线的顶点总在（） A．直线上 B．直线上 C．x轴上 D．y轴上 2．现有一组抛物线：，…，则这组抛物线的顶点都在（   ） A．直线上 B．直线上 C．抛物线上 D．抛物线上 3．若二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．抛物线与抛物线的开口方向和开口大小相同，则__． 6．当时，二次函数的最大值为8，则______． 7．已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”） 8．当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 9．确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 10．将抛物线向下平移1个单位，再向右平移4个单位，求所得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 11．如图，点在抛物线上，且在抛物线C的对称轴的右侧． (1)写出抛物线C的对称轴和y的最大值，并求m的值． (2)在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数表达式恰为．求点移动的最短路程． 【培优通关练】 1．要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 2．已知二次函数经过点，若，则下列说法正确的为（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 3．抛物线，当时，随增大而增大，则的取值范围是___________． 4．已知抛物线（a，b，c为常数，，）的顶点为P，与y轴交于点C，O为坐标原点． (1)当，，时，则该抛物线顶点P的坐标为________； (2)若．M是抛物线上第一象限内一点，设，，且，求c的值. 学科网（北京）股份有限公司 $