26.2.3 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，通过复习顶点式y=a(x-h)²+k的图象特征，搭建新旧知识桥梁，引导学生用配方法将一般式转化为顶点式，形成学习支架。 特色在于递进式问题串引导“配方—识图—归纳”，以y=-2x²-4x+1配方为例培养抽象能力和推理意识，结合描点画图发展几何直观，典例分层突破a≠1配方难点，助力学生深化数形结合，教师教学流程清晰易操作。

26.2.3　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 教学目标 　　1．熟练掌握配方法，能把二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成顶点式 y＝a(x－h)2＋k． 　　2．能通过配方推导对应抛物线的对称轴直线、顶点坐标 ；并能依据抛物线特征，判断二次函数的开口方向、增减变化与最值． 　　3．会利用抛物线的对称性列表、描点，画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，体会数形结合、转化的数学思想． 教学重点 　　1．用配方法把一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k． 2．掌握抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴、顶点，掌握二次函数的增减性与最值，能规范画图． 教学难点 　　1．二次项系数a≠1的二次三项式配方． 2．结合抛物线对称轴，判断二次函数自变量的增减变化，理解抛物线顶点是函数的最值点． 教学过程 知识回顾 　　上节课我们学习了二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与性质，请根据所学知识回答问题． 　　1．一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同．把抛物线y＝ax2向上（或向下）、向左（或向右）平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k．平移的方向、距离要根据h，k的值来决定． 　　2．抛物线y＝a(x－h)2＋k的特点： 　　（1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下． 　　（2）对称轴是x＝h． 　　（3）顶点是(h，k)． 　　（4）如果a＞0，当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小． 　　【设计意图】复习上一节顶点式抛物线的图象特征与函数性质，搭建新旧知识桥梁，引导学生思考：能否通过配方将一般式y＝ax2＋bx＋c转化为顶点式，借助旧知识研究新函数，渗透转化思想． 新知探究 一、探究新知 【过渡】 从简单的二次函数y＝ax2开始，我们逐步深入，研究了抛物线y＝a(x－h)2＋k的图象特征与对应二次函数的性质．我们还知道，通过配方法，可以将二次函数y＝ax2＋bx＋c转化为 y＝a(x－h)2＋k．这样，就可以借助抛物线y＝a(x－h)2＋k的图象与性质，来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质．先来看一个具体的例子． 【思考】对于二次函数，如何画出它的图象并讨论它的性质？ 　　【师生活动】教师提示：可以先利用学过的知识画出二次函数的图象，再结合图象研究它的性质． 　　教师提问：1．我们如何画出二次函数的图象呢？ 　　学生分小组讨论，教师提示：可以将二次函数转化成我们已经研究过的二次函数y＝a(x－h)2＋k的形式． 　　学生类比在学习一元二次方程的解法这一节课中的配方法，尝试解答，教师板书总结． 　　方法一：对二次函数配方，转化为y＝a(x－h)2＋k的形式． 　　． 　　教师提问：2．我们已经将二次函数的关系式转化为，如何画出它的图象？ 　　学生小组交流，并派代表发言，教师板书． 　　作法：先画出二次函数的图象，然后把这个图象向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，就得到二次函数的图象． 　　教师提问：3．还有其他平移方法吗？ 　　学生思考并回答，教师及时反馈学生遇到的问题． 作法：先画出二次函数的图象，然后向上平移3个单位长度，再把这个图象向右平移6个单位长度，就得到二次函数的图象． 　　教师提问：4．你能试着总结一下如何用配方法把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)转化为y＝a(x－h)2＋k的形式吗？ 　　学生分小组交流讨论，派代表回答，教师总结． 　　（1）提出括号内二次项系数a； 　　（2）括号内配常数，凑完全平方式； 　　（3）整理变形，化为顶点式y＝a(x－h)2＋k． 　　教师提问：5．结合用配方法画二次函数的图象的过程，你发现了什么？ 　　学生尝试总结自己的发现，教师及时给予帮助，纠正学生出现的错误． 教师总结： ①二次函数y＝ax2＋bx＋c可以通过配方转化为y＝a(x－h)2＋k的形式，所以二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与y＝ax2的图象形状相同，只是位置不同； ②二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以看成由y＝ax2 的图象平移得到，对于图象的平移，要先化成y＝a(x－h)2＋k的形式，再利用“左加右减，上加下减”的规则来平移． 　　教师提问：6．还有其他作图方法吗？ 　　学生思考并回答，可以利用描点法画出二次函数的图象，学生说出作法，教师板书． 　　方法二：直接画二次函数的图象． 　　由配方的结果可知，抛物线的顶点是(6，3)，对称轴是直线x＝6． 　　先利用图象的对称性列表，然后描点画图，得到的图象（如图）． 　　教师提问：7．结合所画图象，说一下二次函数的性质． 学生思考并回答，教师总结： 从二次函数的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升．也就是说，当x＜6时，y随x的增大而减小；当x＞6时，y随x的增大而增大；当x＝6时，y取最小值，最小值是3． 　　【探究】你能用上面的方法研究二次函数y＝－2x2－4x＋1的图象和性质吗？ 　　【师生活动】教师提出问题，学生根据所学知识，思考并独立作答，教师总结并板书． 【答案】 解：通过配方，可以将二次函数y＝－2x2－4x＋1化成y＝a(x－h)2＋k的形式． 　　y＝－2x2－4x＋1＝－2(x2＋2x)＋1＝－2(x2＋2x＋12－12)＋1＝－2(x＋1)2＋3． 　　由配方的结果可知，抛物线y＝－2x2－4x＋1的顶点是(－1，3)，对称轴是直线x＝－1． 　　再利用图象的对称性列表，然后描点画图，得到y＝－2x2－4x＋1的图象（如图）． 　　结合所画图象可得，当x＜－1时，y随x的增大而增大；当x＞－1时，y随x的增大而减小． 　　【新知】一般地，通过配方，可以将二次函数y＝ax2＋bx＋c化成．因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线，顶点是． 　　如图，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以看出： 　　（1）如果a＞0，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； （2）如果a＜0，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 因此，当a＞0（或a＜0）时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低点（或最高点）．也就是说，当时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小值（或最大值）． 【设计意图】依托递进式问题串开展探究，渗透转化思想，引导学生借助配方法将二次函数一般式转化为顶点式；经历“配方—识图—归纳”完整过程，自主推导抛物线的对称轴、顶点坐标，掌握二次函数增减性与最值规律；区分抛物线几何特征与函数代数性质，深化数形结合思想． 二、典例精讲 　　【例1】画二次函数y＝x2－2x－1的图象． 　　【师生活动】教师提出问题，学生思考并独立作图，教师巡视，及时纠正学生错误． 　　【答案】解：配方可得，y＝x2－2x－1＝x2－2x＋12－12－1＝(x－1)2－2． 　　由配方的结果可知，抛物线y＝x2－2x－1的顶点是(1，－2)，对称轴是直线x＝1． 　　再利用图象的对称性列表： x ··· －1 0 1 2 3 ··· y＝(x－1)2－2 ··· 2 －1 －2 －1 2 ··· 　　【例2】求下列二次函数的图象的顶点． 　　（1）y＝x2－3x＋2； （2）y＝－2x2－8x－3． 　　【师生活动】教师提出问题，学生思考并独立作答． 　　【答案】解：（1）配方可得，y＝x2－3x＋2＝＝． 　　∴二次函数y＝x2－3x＋2的图象的顶点是． 　　（2）配方可得，y＝－2x2－8x－3＝－2(x2＋4x＋22－22)－3＝－2(x＋2)2＋5． 　　∴二次函数y＝－2x2－8x－3的图象的顶点是(－2，5)． 小结两种求抛物线顶点的路径： ①配方法（本节课重点）：将一般式化为顶点式，直接读出顶点坐标； ②公式法：先利用直线求出对称轴横坐标，再代入解析式求出纵坐标，从而得到顶点坐标． 【设计意图】借助两道梯度典例，巩固配方法技能；例 1 实现“配方—识图—描点作图”完整训练，例 2 强化a≠1（含负系数）的配方难点；让学生熟练由一般式得到抛物线顶点，灵活运用本节课知识解决基础问题． 课堂小结 板书设计 一、配方法：一般式→顶点式 y＝ax2＋bx＋c 步骤：①提出二次项系数；②括号内配方；③整理成顶点式 二、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 1．图象 （1）对称轴：直线 （2）顶点： 2．性质 a＞0：开口向上；左减右增；顶点处取最小值 a＜0：开口向下；左增右减；顶点处取最大值 三、求顶点两种途径 1．配方法（本节课重点） 2．公式法 课后任务 　　完成教材第43～44页练习第1，2题． 教学反思 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $