26.2.3 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.2.3　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

　　1．熟练掌握配方法，能把二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成顶点式 y＝a(x－h)2＋k．

　　2．能通过配方推导对应抛物线的对称轴直线、顶点坐标 ；并能依据抛物线特征，判断二次函数的开口方向、增减变化与最值．

　　3．会利用抛物线的对称性列表、描点，画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，体会数形结合、转化的数学思想．

　　1．用配方法把一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k．

2．掌握抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴、顶点，掌握二次函数的增减性与最值，能规范画图．

　　1．二次项系数a≠1的二次三项式配方．

2．结合抛物线对称轴，判断二次函数自变量的增减变化，理解抛物线顶点是函数的最值点．

       知识回顾      

　　上节课我们学习了二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与性质，请根据所学知识回答问题．

　　1．一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同．把抛物线y＝ax2向上（或向下）、向左（或向右）平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k．平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．

　　2．抛物线y＝a(x－h)2＋k的特点：

　　（1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．

　　（2）对称轴是x＝h．

　　（3）顶点是(h，k)．

　　（4）如果a＞0，当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小．

　　【设计意图】复习上一节顶点式抛物线的图象特征与函数性质，搭建新旧知识桥梁，引导学生思考：能否通过配方将一般式y＝ax2＋bx＋c转化为顶点式，借助旧知识研究新函数，渗透转化思想．

       新知探究      

一、探究新知

【过渡】

从简单的二次函数y＝ax2开始，我们逐步深入，研究了抛物线y＝a(x－h)2＋k的图象特征与对应二次函数的性质．我们还知道，通过配方法，可以将二次函数y＝ax2＋bx＋c转化为 y＝a(x－h)2＋k．这样，就可以借助抛物线y＝a(x－h)2＋k的图象与性质，来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质．先来看一个具体的例子．

【思考】对于二次函数，如何画出它的图象并讨论它的性质？

　　【师生活动】教师提示：可以先利用学过的知识画出二次函数的图象，再结合图象研究它的性质．

　　教师提问：1．我们如何画出二次函数的图象呢？

　　学生分小组讨论，教师提示：可以将二次函数转化成我们已经研究过的二次函数y＝a(x－h)2＋k的形式．

　　学生类比在学习一元二次方程的解法这一节课中的配方法，尝试解答，教师板书总结．

　　方法一：对二次函数配方，转化为y＝a(x－h)2＋k的形式．

　　．

　　教师提问：2．我们已经将二次函数的关系式转化为，如何画出它的图象？

　　学生小组交流，并派代表发言，教师板书．

　　作法：先画出二次函数的图象，然后把这个图象向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，就得到二次函数的图象．

　　教师提问：3．还有其他平移方法吗？

　　学生思考并回答，教师及时反馈学生遇到的问题．

作法：先画出二次函数的图象，然后向上平移3个单位长度，再把这个图象向右平移6个单位长度，就得到二次函数的图象．

　　教师提问：4．你能试着总结一下如何用配方法把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)转化为y＝a(x－h)2＋k的形式吗？

　　学生分小组交流讨论，派代表回答，教师总结．

　　（1）提出括号内二次项系数a；

　　（2）括号内配常数，凑完全平方式；

　　（3）整理变形，化为顶点式y＝a(x－h)2＋k．

　　教师提问：5．结合用配方法画二次函数的图象的过程，你发现了什么？