精品解析：福建莆田砺志学校2025-2026学年高二下学期期中质量检测数学试题

莆田砺志学校2025-2026学年（下）期中质量检测 高二年级数学 满分：150 分 考试时间：120 分钟 考生注意： 1.答题前，考生先将自己的姓名、考号等内容填写清楚. 2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.保持答题卡卷面清洁，不要折叠、不要弄破，禁用涂改液，涂改胶条. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若随机变量X的分布列为： 0 1 2 0.3 0.5 则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 3. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. B. C. D. 4. 某商场举行抽奖活动，规则如下：从一个装有3个红球和2个白球的箱子中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则中奖，则中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 6. 某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜．每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是，记比赛结束时的局数为随机变量，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若是唯一的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 B. 对于回归直线方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位 C. 回归直线必过点 D. 设具有相关关系的两个变量，的相关系数为，则越接近于0，，之间的线性相关程度越强 10. 已知函数，则（ ） A. 点是曲线的对称中心 B. 当时，函数有两个极值点 C. 当时，函数在R上单调递增 D. 过原点可作曲线的切线有且仅有两条 11. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 ，乙每次投篮的命中率均为 .由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为 ，记“第i次投篮的人是甲”为事件，前3次中甲投篮的次数为X，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 函数，则_________. 13. 已知样本数据，，，，的平均数为4，方差为2，则样本数据，，，，的平均数和方差分别为________和________． 14. 已知函数. 若在上恒成立，则的取值范围为______ 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台． （1）求这2台电脑中至多有1台B品牌电脑的概率； （2）求这2台电脑中A品牌台数X的分布列及均值和方差． 16. 已知函数． （1）求函数在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 17. 第五代移动通信技术（简称）是最新一代蜂窝移动通信技术，是实现人机物互联的网络基础设施．某市工信部门为了解本市手机用户对网络的满意情况，随机抽取了本市200名手机用户进行了调查，所得情况统计如下： 满意情况 年龄 合计 50岁以下 50岁或50岁以上 满意 95 不满意 25 合计 120 200 附： 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 ，其中． （1）完成上述列联表，并估计本市手机用户对网络满意的概率； （2）依据小概率值的独立性检验，分析本市手机用户对网络满意与年龄在50岁以下是否有关． 18. 某商场在春节期间举行过关赢奖娱乐活动，活动设有A，B两类关卡，A，B两类关卡每一次闯关成功的概率分别为.活动参与者第一次闯关等可能的选择A，B中的一类关卡，如果闯关成功，则下一次闯关继续选择同类关卡，如果失败则选择另一类关卡，以此类推.规定A类关卡闯关成功一次得20分，B类关卡闯关成功一次得10分，闯关失败均得0分.每名活动参与者有3次闯关机会. （1）已知活动参与者甲第一次闯关成功，求甲选择的是A类关卡的概率； （2）若一名活动参与者闯关总得分不低于40分则获得现金奖励1000元，低于40分则根据分数奖励其他实物小礼品.若活动参与者有1000人，求商场支出的现金奖励总金额的期望. 19. 已知函数. （1）若，讨论的单调性； （2）若时，，求的取值范围； （3）若时，方程的两个不同实数根为，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田砺志学校2025-2026学年（下）期中质量检测 高二年级数学 满分：150 分 考试时间：120 分钟 考生注意： 1.答题前，考生先将自己的姓名、考号等内容填写清楚. 2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.保持答题卡卷面清洁，不要折叠、不要弄破，禁用涂改液，涂改胶条. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 2. 若随机变量X的分布列为： 0 1 2 0.3 0.5 则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【分析】由分布列的性质结合题意可得答案. 【详解】由题，． 故选：B 3. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数，有，，即， 所以函数在区间上的平均变化率为. 4. 某商场举行抽奖活动，规则如下：从一个装有3个红球和2个白球的箱子中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则中奖，则中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知两个球的颜色依次为红红或白白，结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】若摸出的2个球颜色相同则中奖，则两个球的颜色依次为红红或白白， 所以中奖的概率为. 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数的定义域是， ， 令，解得：， 故函数在递减. 6. 某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设小明选1道类试题为事件， 小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件， 设小明答对试题为事件，则， ，， ，，， 由全概率公式得： ， . 7. 甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜．每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是，记比赛结束时的局数为随机变量，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出随机变量的分布，再利用期望的定义及方差的期望表示列式，借助二次函数求出范围. 【详解】随机变量的所有可能值为2，3， ，， 当时，令， 则， ， 因此， 二次函数的开口向下，对称轴为， 当时，，当时，， 所以， 即的取值范围为. 8. 已知函数，若是唯一的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出当时，方程无解或解为，根据导数即可求解． 【详解】由题可知，，， 因为是唯一的极值点， 所以当时，无解或解为， 设，则， 令，解得， 所以当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 又，所以，所以， 故选：A． 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 B. 对于回归直线方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位 C. 回归直线必过点 D. 设具有相关关系的两个变量，的相关系数为，则越接近于0，，之间的线性相关程度越强 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据方差定义即可判断；对于B，根据回归直线的系数含义即可判断；对于C，显然正确；对于D，正确理解相关系数的含义即可排除. 【详解】对于 A，因方差表示一组数据的波动性大小，把每一个数据都加上或减去同一个常数，不影响数据的波动性大小，即方差不变，故A正确； 对于B，对于回归直线方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位，故B不正确； 对于C，由回归直线的规定知，回归直线必过样本中心点，故C正确； 对于D，设具有相关关系的两个变量，的相关系数为，则越接近于0，，之间的线性相关程度越弱，故D不正确． 故选：BD. 10. 已知函数，则（ ） A. 点是曲线的对称中心 B. 当时，函数有两个极值点 C. 当时，函数在R上单调递增 D. 过原点可作曲线的切线有且仅有两条 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，，故点是曲线的对称中心，故A正确； 对于B，当时，， 令，解得或；令，解得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 故B正确； 对于C，当时，恒成立，故函数在R上单调递增，故C正确， 对于D，，设切点为， 所以在点处的切线方程为：， 又因为切线过点，所以，解得，， 即过点可作曲线的切线有且仅有1条，故D错误. 11. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 ，乙每次投篮的命中率均为 .由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为 ，记“第i次投篮的人是甲”为事件，前3次中甲投篮的次数为X，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，表示在第1次投篮的人是乙的条件下，第2次投篮的人的概率为甲的概率， 因为乙投篮未命中则换甲投篮，乙每次命中率均为，所以乙未命中的概率为， 所以，故A正确； 对于B，表示在第1次投篮的人是甲的条件下，第2次投篮的人的概率为甲的概率， 因为甲每次命中率均为，所以， ，故B错误； 对于C，表示前3次中甲投篮的次数为1次的概率，有三种情况： 第一种情况是第一次甲投篮未中，第二次乙投篮命中，其概率为； 第二种情况是第一次乙投篮命中，第二次乙投篮未命中，其概率为； 第三种情况是第一次乙投篮未命中，第二次甲投篮未命中， 其概率为； 所以，故C正确； 对于D，的可能取值为， ，由C选项可知， ，， 所以，故D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 函数，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导并令可求得，将代入原函数可得结果. 【详解】由可得， 令，可得，解得； 所以，可得. 故答案为： 13. 已知样本数据，，，，的平均数为4，方差为2，则样本数据，，，，的平均数和方差分别为________和________． 【答案】 ①. 10 ②. 18 【解析】 【分析】根据平均数及方差的计算公式计算即可得解. 【详解】由题意知， . 所以 . . 14. 已知函数. 若在上恒成立，则的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】方法一：先对函数求导，构造函数，分和两种情况讨论的正负，从而可得导数的正负，进而可得函数的最小值并可判断最小值是否非负可得；方法二：先验证必要性：由且，故必有得；再验证充分性：当时，由导数可判断函数在单调递增，故有恒成立，符合题意，故的取值范围. 【详解】方法一：因为，，. 令分子为，其判别式 ①当时，且二次项系数为正，所以，从而， 所以在上单调递增，故，符合题意. ②当时，，方程有两个不相等的实根，且，所以. 当时，，即；当时，，即； 因此在上递减，在上递增，在处取得极小值（也是最小值），即. 又因为在上递减，所以，不符合题意. 综上所述，的取值范围是. 方法二：先验证必要性：因为在上恒成立，且，所以必须有. 由，计算得，解得结合已知，所以. 再验证充分性：当时，由， 令分子为，其判别式. 所以二次函数开口向上且，所以，从而. 所以在上单调递增，故恒成立，符合题意. 因此的取值范围为. 故答案为： 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台． （1）求这2台电脑中至多有1台B品牌电脑的概率； （2）求这2台电脑中A品牌台数X的分布列及均值和方差． 【答案】（1） （2） 的分布列为： ， . 【解析】 【分析】（1）求出两台电脑全部是品牌的概率，利用对立事件的概率计算； （2）确定随机变量的可能取值，利用超几何分布概率公式求出概率，列出分布列，求出均值和方差. 【小问1详解】 根据题意，这2台电脑全部是品牌的概率为， 所以这2台电脑中至多有1台B品牌电脑的概率为. 【小问2详解】 依题意，的可能取值为， 则，，， 则的分布列为： 所以， . 16. 已知函数． （1）求函数在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）单调递减区间为，单调递增区间为． 【解析】 【分析】（1）求出，求导得到，利用导函数几何意义得到切线方程； （2）求导，解不等式得到单调区间. 【小问1详解】 ∵，∴， 且，∴， ∴函数在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 ∵的定义域为R， ∴由（1）得． 令，解得， ∴当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 即函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 17. 第五代移动通信技术（简称）是最新一代蜂窝移动通信技术，是实现人机物互联的网络基础设施．某市工信部门为了解本市手机用户对网络的满意情况，随机抽取了本市200名手机用户进行了调查，所得情况统计如下： 满意情况 年龄 合计 50岁以下 50岁或50岁以上 满意 95 不满意 25 合计 120 200 附： 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 ，其中． （1）完成上述列联表，并估计本市手机用户对网络满意的概率； （2）依据小概率值的独立性检验，分析本市手机用户对网络满意与年龄在50岁以下是否有关． 【答案】（1）列联表如下： 满意情况 年龄 合计 50岁以下 50岁或50岁以上 满意 95 55 150 不满意 25 25 50 合计 120 80 200 期望为 （2）认为本市手机用户对网络满意与年龄在50岁以下无关． 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； （2）根据列联表的数据，求得，结合附表，即可求解. 【小问1详解】 解：完成列联表如下： 满意情况 年龄 合计 50岁以下 50岁或50岁以上 满意 95 55 150 不满意 25 25 50 合计 120 80 200 所以本市手机用户对网络满意的概率约为． 【小问2详解】 解：零假设为：本市手机用户对网络满意与年龄在50岁以下无关． 根据列联表中的数据，计算可得， 根据小概率值的独立性检验原则，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为本市手机用户对网络满意与年龄在50岁以下无关． 18. 某商场在春节期间举行过关赢奖娱乐活动，活动设有A，B两类关卡，A，B两类关卡每一次闯关成功的概率分别为.活动参与者第一次闯关等可能的选择A，B中的一类关卡，如果闯关成功，则下一次闯关继续选择同类关卡，如果失败则选择另一类关卡，以此类推.规定A类关卡闯关成功一次得20分，B类关卡闯关成功一次得10分，闯关失败均得0分.每名活动参与者有3次闯关机会. （1）已知活动参与者甲第一次闯关成功，求甲选择的是A类关卡的概率； （2）若一名活动参与者闯关总得分不低于40分则获得现金奖励1000元，低于40分则根据分数奖励其他实物小礼品.若活动参与者有1000人，求商场支出的现金奖励总金额的期望. 【答案】（1） （2）96000元 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式求解甲第一次闯关成功的概率，进而利用条件概率公式即可求解； （2）先求解一个参与者得分大于等于40分的概率，即可根据，由二项分布的期望公式求解. 【小问1详解】 设事件表示“第i次选择的是A”事件表示“第i次选择的是B”， 设事件表示“第i次闯关成功” ， ， ， 第一次闯关成功，参与者甲选择的是A类关卡的概率为； 【小问2详解】 一个参与者得分大于等于40分有两类情形： 第一关选择A成功，第二关继续选择A也成功； 第一关选择B失败，第二关换为A成功，第三关继续选择A也成功. 故 ， 设1000人中获得现金奖励的人数为X，则商场支出的现金奖励Y＝1000X元. 由题知，， 故 ， 所以， 商场支出的现金奖励总金额的期望为96000元. 19. 已知函数. （1）若，讨论的单调性； （2）若时，，求的取值范围； （3）若时，方程的两个不同实数根为，，证明：. 【答案】（1） 当时，所以在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2） （3） 因为， 令，即， 所以， 所以在上单调递增，上单调递减，且，, 当时，， 所以不妨设，且. 令，则， 因为当时，， 所以，所以在上单调递增. 所以，即，所以， 因为，，在上单调递减， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，分类讨论参数的取值范围，确定导数的正负区间，得到函数在不同情况下的单调区间； （2）先由得到的初步范围，再结合第（1）问的单调性，证明该范围下函数在上恒非负； （3）通过构造辅助函数和，利用函数的单调性和对称性证明方程的两个根满足. 【小问1详解】 函数定义域为 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，则或，则， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 当时，令，则或，则， 所以在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 当时，，所以. 下证当时，在上恒成立. 由（1）知，时，在上递增， 所以， 所以当时，在上恒成立. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $